Polinomios de Stirling

En matemáticas , los polinomios de Stirling son una familia de polinomios que generalizan secuencias importantes de números que aparecen en combinatoria y análisis , que están estrechamente relacionadas con los números de Stirling , los números de Bernoulli y los polinomios de Bernoulli generalizados . Hay múltiples variantes de la secuencia de polinomios de Stirling que se consideran a continuación, entre las que destaca la forma de secuencia de Sheffer de la secuencia,${\displaystyle S_{k}(x)}$, definida característicamente a través de la forma especial de su función generadora exponencial y los polinomios de Stirling (convolución) ,${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$que también satisfacen una función generadora ordinaria característica y que son útiles para generalizar los números de Stirling (de ambos tipos) a entradas complejas arbitrarias . Consideramos la variante de " polinomio de convolución " de esta secuencia y sus propiedades en segundo lugar en la última subsección del artículo. Otras variantes de los polinomios de Stirling se estudian en los enlaces complementarios a los artículos que se proporcionan en las referencias.

Para enteros no negativos k , los polinomios de Stirling, S _k ( x ), son una secuencia de Sheffer para${\displaystyle (g(t),{\bar {f}}(t)):=\left(e^{-t},\log \left({\frac {t}{1-e^{-t}}}\right)\right)}$^{[ 1 ]} definida por la función generadora exponencial

${\displaystyle \left({t \over {1-e^{-t}}}\right)^{x+1}=\sum _{k=0}^{\infty }S_{k}(x){t^{k} \over k!}.}$

Los polinomios de Stirling son un caso especial de los polinomios de Nørlund (o polinomios de Bernoulli generalizados ) ^{[ 2 ],} cada uno con una función generadora exponencial.

${\displaystyle \left({t \over {e^{t}-1}}\right)^{a}e^{zt}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{(a)}(z){t^{k} \over k!},}$

dada por la relación${\displaystyle S_{k}(x)=B_{k}^{(x+1)}(x+1)}$.

Los primeros 10 polinomios de Stirling se muestran en la siguiente tabla:

^{En [ 3 ]} se considera otra variante de los polinomios de Stirling (véase también la subsección sobre polinomios de convolución de Stirling más adelante). En particular, el artículo de I. Gessel y RP Stanley define las secuencias de polinomios de Stirling modificados,${\displaystyle f_{k}(n):=S(n+k,n)}$y${\displaystyle g_{k}(n):=c(n,nk)}$dónde${\displaystyle c(n,k):=(-1)^{nk}s(n,k)}$son los números de Stirling sin signo de primera especie , en términos de los dos triángulos de números de Stirling para enteros no negativos${\displaystyle n\geq 1,\ k\geq 0}$. Para fijo${\displaystyle k\geq 0}$, ambos${\displaystyle f_{k}(n)}$y${\displaystyle g_{k}(n)}$son polinomios de la entrada${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$cada uno de grado${\displaystyle 2k}$y con coeficiente principal dado por el término doble factorial${\displaystyle (1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1))/(2k)!}$.

Abajo${\displaystyle B_{k}(x)}$denotamos los polinomios de Bernoulli y${\displaystyle B_{k}=B_{k}(0)}$los números de Bernoulli según la convención${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}};}$${\displaystyle s_{m,n}}$denota un número de Stirling de primera especie ; y${\displaystyle S_{m,n}}$denota los números de Stirling de segunda especie .

• Valores especiales:$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(-m)&={\frac {(-1)^{k}}{k+m-1 \choose k}}S_{k+m-1,m-1}&&0<m\in \mathbb {Z} \\[6pt]S_{k}(-1)&=\delta _{k,0}\\[6pt]S_{k}(0)&=(-1)^{k}B_{k}\\[6pt]S_{k}(1)&=(-1)^{k+1}((k-1)B_{k}+kB_{k-1})\\[6pt]S_{k}(2)&={\tfrac {(-1)^{k}}{2}}((k-1)(k-2)B_{k}+3k(k-2)B_{k-1}+2k(k-1)B_{k-2})\\[6pt]S_{k}(k)&=k!\\[6pt]\end{aligned}}}$$
• Si${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle m<k}$entonces: $${\displaystyle S_{k}(m)={(m+1)}{\binom {k}{m+1}}\sum _{j=0}^{m}(-1)^{m-j}s_{m+1,m+1-j}{\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$
• Si${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle m\geq k}$entonces: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle S_{k}(m)=(-1)^{k}B_{k}^{(m+1)}(0),}$$y:$${\displaystyle S_{k}(m)={(-1)^{k} \over {m \choose k}}s_{m+1,m+1-k}.}$$

• La secuencia${\displaystyle S_{k}(x-1)}$es de tipo binomial , ya que$${\displaystyle S_{k}(x+y-1)=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}S_{i}(x-1)S_{k-i}(y-1).}$$Además, se cumple esta recursión básica:$${\displaystyle S_{k}(x)=(x-k){S_{k}(x-1) \over x}+kS_{k-1}(x+1).}$$
• Las representaciones explícitas que involucran números de Stirling se pueden deducir con la fórmula de interpolación de Lagrange :$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}(x)&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{k-n}S_{k+n,n}{{x+n \choose n}{x+k+1 \choose k-n} \over {k+n \choose n}}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}s_{k+n+1,n+1}{{x-k \choose n}{x-k-n-1 \choose k-n} \over {k+n \choose k}}\\[6pt]&=k!\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\sum _{m=j}^{k}{x+m \choose m}{m \choose j}L_{k+m}^{(-k-j)}(-j)\\[6pt]\end{aligned}}}$$Aquí,${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$son polinomios de Laguerre .
• También se cumplen las siguientes relaciones:$${\displaystyle {k+m \choose k}S_{k}(x-m)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k+m \choose i}S_{k-i+m,m}\cdot S_{i}(x),}$$$${\displaystyle {k-m \choose k}S_{k}(x+m)=\sum _{i=0}^{k}{k-m \choose i}s_{m,m-k+i}\cdot S_{i}(x).}$$
• Al diferenciar la función generadora se deduce fácilmente que$${\displaystyle S_{k}^{\prime }(x)=-\sum _{j=0}^{k-1}{k \choose j}S_{j}(x){\frac {B_{k-j}}{k-j}}.}$$

• Polinomios de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Secuencias de Sheffer y Appell
• Polinomios de diferencias
• Funciones generadoras de polinomios especiales
• coeficientes de Gregory

• Erdeli, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F. y Tricomi, FG. Funciones trascendentales superiores. Volumen III . Nueva York.
• Graham ; Knuth y Patashnik (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática .
• S. Roman (1984). El cálculo umbral .

• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Stirling" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Nørlund" . MundoMatemático .
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