espacio poliádico

Existe un análogo del teorema de Ramsey de la combinatoria para espacios poliádicos. Para ello, describimos la relación entre espacios booleanos y espacios poliádicos. Sea${\displaystyle CO(X)}$denotamos el álgebra clopen de todos los subconjuntos clopen de${\displaystyle X}$. Definimos un espacio booleano como un espacio compacto de Hausdorff cuya base es${\displaystyle CO(X)}$. El elemento${\displaystyle G\in CO(X)'}$de tal manera que${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$se llama conjunto generador para${\displaystyle CO(X)}$Decimos${\displaystyle G}$es un${\displaystyle (\tau,\kappa)}$-colección disjunta si${\displaystyle G}$es la unión de como máximo${\displaystyle \tau }$subcolecciones${\displaystyle G_{\alpha }}$donde para cada${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle G_{\alpha }}$es una colección disjunta de cardinalidad como máximo${\displaystyle \kappa }$Petr Simon demostró que${\displaystyle X}$es un espacio booleano con el conjunto generador${\displaystyle G}$de${\displaystyle CO(X)}$ser${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$-disjunto si y solo si${\displaystyle X}$es homeomorfo a un subespacio cerrado de${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$. ^{[ 8 ]} La propiedad tipo Ramsey para espacios poliádicos, tal como la enunció Murray Bell para espacios booleanos, es la siguiente: toda colección clopen no numerable contiene una subcolección no numerable que es vinculada o disjunta. ^{[ 13 ]}

Definimos el número de compacidad de un espacio${\displaystyle X}$, denotado por${\displaystyle \mathrm {cmpn} (X)}$, ser el número más pequeño${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle X}$tiene una subbase cerrada n-aria . Podemos construir espacios poliádicos con un número de compacidad arbitrario. Demostraremos esto usando dos teoremas probados por Murray Bell en 1985. Sea${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ser una colección de conjuntos y dejar${\displaystyle S}$Sea un conjunto. Denotamos el conjunto${\displaystyle \left\{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\right\}}$por${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$; todos los subconjuntos de${\displaystyle S}$de tamaño${\displaystyle n}$por${\displaystyle [S]^{n}}$; y todos los subconjuntos de tamaño como máximo${\displaystyle n}$por${\displaystyle [S]^{\leq n}}$. Si${\displaystyle 2\leq n<\omega }$y${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$a pesar de${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$, entonces decimos que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es n-linked. Si cada subconjunto n-linked de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$tiene una intersección no vacía, entonces decimos que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es n-ario. Tenga en cuenta que si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es n-ario, entonces también lo es${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$y por lo tanto cada espacio${\displaystyle X}$con${\displaystyle \mathrm {cmpn} (X)\leq n}$tiene una subbase cerrada n-aria${\displaystyle {\mathcal {S}}}$con${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$. Tenga en cuenta que una colección${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$de subconjuntos cerrados de un espacio compacto${\displaystyle X}$es una subbase cerrada si y solo si para cada cerrada${\displaystyle K}$en un conjunto abierto${\displaystyle U}$, existe un número finito${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$y${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$. ^{[ 14 ]}

Dejar${\displaystyle S}$Sea un conjunto infinito y sea${\displaystyle n}$por un número tal que${\displaystyle 1\leq n<\omega }$. Definimos la topología del producto en${\displaystyle [S]^{\leq n}}$de la siguiente manera: para${\displaystyle s\in S}$, dejar${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$y dejar${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ser la colección${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$Tomamos.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$como una subbase clopen para nuestra topología en${\displaystyle [S]^{\leq n}}$Esta topología es compacta y de Hausdorff. Para${\displaystyle k}$y${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle 0\leq k\leq n}$, tenemos eso${\displaystyle [S]^{k}}$es un subespacio discreto de${\displaystyle [S]^{\leq n}}$y por lo tanto que${\displaystyle [S]^{\leq n}}$es una unión de${\displaystyle n+1}$subespacios discretos. ^{[ 14 ]}

Teorema (Límite superior en${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([S]^{\leq n}\right)}$): Para cada pedido total${\displaystyle <}$en${\displaystyle S}$, hay un${\displaystyle n+1}$-aria subbase cerrada${\displaystyle {\mathcal {R}}}$de${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$.

Prueba : Para${\displaystyle s\in S}$, definir${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$y${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$. Colocar${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$. Para${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$de tal manera que${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$, dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un${\displaystyle n+1}$-subconjunto vinculado de${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Demuestra que${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$.${\displaystyle \blacksquare }$

Para un espacio topológico${\displaystyle X}$y un subespacio${\displaystyle A\in X}$, decimos que una función continua${\displaystyle r:X\rightarrow A}$es una retractación si${\displaystyle r|_{A}}$es el mapa de identidad en${\displaystyle A}$Decimos que${\displaystyle A}$es una retractación de${\displaystyle X}$Si existe un conjunto abierto${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle A\subset U\subset X}$, y${\displaystyle A}$es una retractación de${\displaystyle U}$, entonces decimos que${\displaystyle A}$es una retracción del vecindario de${\displaystyle X}$.

Teorema (Límite inferior en${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([S]^{\leq n}\right)}$) Dejar${\displaystyle n}$ser tal que${\displaystyle 2\leq n<\omega }$. Entonces${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$no se puede integrar como una retracción de vecindario en ningún espacio${\displaystyle K}$con${\displaystyle \mathrm {cmpn} (K)\leq n}$.

De los dos teoremas anteriores, se puede deducir que para${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle 1\leq n<\omega }$, tenemos eso${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n-1}\right)=n+1=\mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n}\right)}$.

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​la compactificación de un punto de Alexandroff del espacio discreto${\displaystyle S}$, de modo que${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$. Definimos la sobreyección continua${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$por${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$De ello se deduce que${\displaystyle [S]^{\leq n}}$es un espacio poliádico. Por lo tanto${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$es un espacio poliádico con número de compacidad${\displaystyle \mathrm {cmpn} \left([\omega _{1}]^{\leq 2n-1}\right)=n+1}$. ^{[ 14 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ser una colección de conjuntos. Decimos que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$está centrado si${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$para todos los subconjuntos finitos${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$. ^{[ 17 ]} Definir el espacio booleano${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$, con la topología de subespacio de${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$Decimos que un espacio${\displaystyle X}$es un espacio centrado si existe una colección${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de tal manera que${\displaystyle X}$es una imagen continua de${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$. ^{[ 18 ]}

Los espacios centrados fueron introducidos por Murray Bell en 2004.

Dejar${\displaystyle X}$Sea un conjunto no vacío y consideremos una familia de sus subconjuntos.${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$Decimos que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una familia adecuada si:

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• dado${\displaystyle A\subseteq X}$, si cada subconjunto finito de${\displaystyle A}$está en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, entonces${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Podemos tratar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$como un espacio topológico al considerarlo un subconjunto del cubo de Cantor${\displaystyle D^{X}}$y en este caso, lo denotamos${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$.

Dejar${\displaystyle K}$ser un espacio compacto. Si existe un conjunto${\displaystyle X}$y una familia adecuada${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$, de tal manera que${\displaystyle K}$es la imagen continua de${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$, entonces decimos que${\displaystyle K}$es un espacio AD-compacto.

Los espacios AD-compactos fueron introducidos por Grzegorz Plebanek. Demostró que son cerrados bajo productos arbitrarios y compactificaciones de Alexandroff de uniones disjuntas . De ello se deduce que todo espacio poliádico es, por lo tanto, un espacio AD-compacto. Lo contrario no es cierto, ya que existen espacios AD-compactos que no son poliádicos. ^{[ 15 ]}

Dejar${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle \tau }$sean cardenales, y que${\displaystyle X}$sea ​​un espacio de Hausdorff. Si existe una sobreyección continua desde${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$a${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle X}$Se dice que es un espacio ξ-ádico. ^{[ 16 ]}

Los espacios ξ-ádicos fueron propuestos por S. Mrówka, y János Gerlits dio los siguientes resultados sobre ellos (también se aplican a los espacios poliádicos, ya que son un caso especial de espacios ξ-ádicos). ^{[ 19 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$Sea un cardinal infinito, y sea${\displaystyle X}$Sea un espacio topológico. Decimos que${\displaystyle X}$tiene la propiedad${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$si para alguna familia${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$de subconjuntos abiertos no vacíos de${\displaystyle X}$, dónde${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$, podemos encontrar un conjunto${\displaystyle B\subset A}$y un punto${\displaystyle p\in X}$de tal manera que${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$y para cada barrio${\displaystyle N}$de${\displaystyle p}$, tenemos eso${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$.

Si${\displaystyle X}$es un espacio ξ-ádico, entonces${\displaystyle X}$tiene la propiedad${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$para cada cardinal infinito${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$. De este resultado se deduce que ningún espacio de Hausdorff ξ-ádico infinito puede ser un espacio extremadamente disconexo . ^{[ 19 ]}

Los espacios hiádicos fueron introducidos por Eric van Douwen . ^{[ 20 ]} Se definen de la siguiente manera.

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio de Hausdorff. Lo denotamos por${\displaystyle H(X)}$el hiperespacio de${\displaystyle X}$. Definimos el subespacio${\displaystyle J_{2}(X)}$de${\displaystyle H(X)}$por${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$. Una base de${\displaystyle H(X)}$es la familia de todos los conjuntos de la forma${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$, dónde${\displaystyle n}$es cualquier número entero, y${\displaystyle U_{i}}$están abiertos en${\displaystyle X}$. Si${\displaystyle X}$Si es compacto, entonces decimos que es un espacio de Hausdorff.${\displaystyle Y}$es hiádico si existe una sobreyección continua desde${\displaystyle H(X)}$a${\displaystyle Y}$. ^{[ 21 ]}

Los espacios poliádicos son hiádicos. ^{[ 22 ]}