Policubo

Un policubo es un poliedro ortogonal formado al unir uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos . El cubo Soma , el cubo Bedlam , el cubo Diabólico , el rompecabezas Slothouber-Graatsma y el rompecabezas Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados ​​en policubos. ^{[ 1 ]}

Al igual que los poliominós , los policubos se pueden enumerar de dos maneras, dependiendo de si los pares quirales de policubos (aquellos equivalentes por reflexión especular , pero no usando solo traslaciones y rotaciones) se cuentan como un policubo o dos. Por ejemplo, 6 tetracubos son aquirales y uno es quiral, lo que da un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente. ^{[ 2 ]} A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan distinguiendo los pares especulares, porque no se puede girar un policubo para reflejarlo como se puede hacer con un poliominó en tres dimensiones. En particular, el cubo Soma utiliza ambas formas del tetracubo quiral.

Los policubos se clasifican según la cantidad de celdas cúbicas que tienen: ^{[ 3 ]}

Se han enumerado policubos fijos (tanto reflexiones como rotaciones se cuentan como distintas (secuencia A001931 en la OEIS ) ), policubos unilaterales y policubos libres hasta n = 22. También se han investigado familias específicas de policubos. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Al igual que los poliominós, los policubos se pueden clasificar según la cantidad de simetrías que poseen. Las simetrías de los policubos (clases de conjugación de subgrupos del grupo octaédrico aquiral ) fueron enumeradas por primera vez por WF Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, llegando incluso al grupo de simetría completo del cubo con 48 elementos. Existen 33 tipos de simetría diferentes que puede tener un policubo (incluida la asimetría). ^{[ 2 ]}

Doce pentacubos son planos y corresponden a los pentominós . Cinco de los diecisiete restantes tienen simetría especular, y los otros doce forman seis pares quirales.

Las cajas delimitadoras de los pentacubos tienen tamaños de 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 3×2×2 y 2×2×2. ^{[ 6 ]}

Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la red cúbica, o 48 si se permite la reflexión. De los pentacubos, dos planos (5-1-1 y la cruz) presentan simetría especular en los tres ejes; estos tienen solo tres orientaciones. Diez presentan una simetría especular; estos tienen 12 orientaciones. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.

El teseracto ( hipercubo de cuatro dimensiones ) tiene ocho cubos como caras , y así como el cubo se puede desplegar en un hexominó , el teseracto se puede desplegar en un octacubo. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de un cubo en una cruz latina : consiste en cuatro cubos apilados uno encima del otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo cubo desde arriba de la pila, para formar una figura tridimensional de doble cruz . Salvador Dalí utilizó esta forma en su pintura de 1954 Crucifixión (Corpus Hypercubus) ^{[ 7 ]} y se describe en el cuento de Robert A. Heinlein de 1940 " Y construyó una casa torcida ". ^{[ 8 ]} En honor a Dalí, este octacubo ha sido llamado la cruz de Dalí . ^{[ 9 ] [ 10 ]} Puede teselar el espacio . ^{[ 9 ]}

De manera más general (respondiendo a una pregunta planteada por Martin Gardner en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son despliegues del teseracto. ^{[ 9 ] [ 11 ]}

Aunque los cubos de un policubo deben estar conectados cuadrado con cuadrado, los cuadrados de su frontera no tienen por qué estar conectados arista con arista. Por ejemplo, el 26-cubo formado al crear una cuadrícula de 3×3×3 cubos y luego eliminar el cubo central es un policubo válido, en el que la frontera del vacío interior no está conectada a la frontera exterior. Tampoco es necesario que la frontera de un policubo forme una variedad . Por ejemplo, uno de los pentacubos tiene dos cubos que se encuentran arista con arista, de modo que la arista entre ellos es el lado de cuatro cuadrados de la frontera.

Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran cuadrado con cuadrado, entonces los cuadrados del borde del policubo están necesariamente también conectados por caminos de cuadrados que se encuentran arista con arista. ^{[ 12 ]} Es decir, en este caso el borde forma un poliominoide .

Todo k -cubo con k < 7, así como la cruz de Dalí (con k = 8 ), puede desplegarse en un poliomino que recubre el plano. Es un problema abierto si todo policubo con un borde conectado puede desplegarse en un poliomino, o si esto siempre puede hacerse con la condición adicional de que el poliomino recubra el plano. ^{[ 10 ]}

La estructura de un policubo se puede visualizar mediante un "grafo dual" que tiene un vértice por cada cubo y una arista por cada par de cubos que comparten un cuadrado. ^{[ 13 ]} Esto es diferente de las nociones de nombre similar de poliedro dual y del grafo dual de un grafo incrustado en una superficie.

Los grafos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de los policubos, como aquellos cuyo grafo dual es un árbol. ^{[ 14 ]}

• Cuadrado de Herzberger
• Embalaje del trípode

• Rompecabezas hexagonal de madera de Kadon
• Sicherman, George. "Simetrías de policubo" .
• Lepage, Marc. "Solucionador de policubos" .Programa (con código fuente Lua) para rellenar cajas con policubos usando el Algoritmo X.
• Gong, Kevin. "enumeración de policubos" .
• STL común: 7 tetracubos , 23 pentacubos , 29 pentacubos , 112 hexacubos , 166 hexacubos , 1023 heptacubos