Anillo de funciones polinómicas

En matemáticas , el anillo de funciones polinómicas en un espacio vectorial V sobre un cuerpo k proporciona un análogo independiente de coordenadas de un anillo de polinomios . Se denota por k [ V ]. Si V es de dimensión finita y se considera una variedad algebraica , entonces k [ V ] es precisamente el anillo de coordenadas de V.

La definición explícita del anillo se puede dar de la siguiente manera. Dado un anillo de polinomios${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$, podemos ver${\displaystyle t_{i}}$como una función de coordenadas en${\displaystyle k^{n}}$; es decir,${\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}$dónde${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}).}$Esto sugiere lo siguiente: dado un espacio vectorial V , sea k [ V ] el k -álgebra conmutativa generada por el espacio dual.${\displaystyle V^{*}}$, que es un subanillo del anillo de todas las funciones${\displaystyle V\to k}$. Si fijamos una base para V y escribimos${\displaystyle t_{i}}$para su base dual, entonces k [ V ] consta de polinomios en${\displaystyle t_{i}}$.

Si k es infinito, entonces k [ V ] es el álgebra simétrica del espacio dual.${\displaystyle V^{*}}$.

En las aplicaciones, también se define k [ V ] cuando V está definido sobre algún subcampo de k (por ejemplo, k es el campo complejo y V es un espacio vectorial real ). La misma definición sigue siendo válida.

A lo largo del artículo, por simplicidad, se supone que el campo base k es infinito.

Dejar${\displaystyle A=K[x]}$Sea A el conjunto de todos los polinomios sobre un cuerpo K y sea B el conjunto de todas las funciones polinómicas en una variable sobre K. Tanto A como B son álgebras sobre K dadas por la multiplicación y suma estándar de polinomios y funciones. Podemos mapear cada${\displaystyle f}$en A a${\displaystyle {\hat {f}}}$en B por la regla${\displaystyle {\hat {f}}(t)=f(t)}$Una comprobación rutinaria muestra que el mapeo${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$es un homomorfismo de las álgebras A y B. Este homomorfismo es un isomorfismo si y solo si K es un cuerpo infinito. Por ejemplo, si K es un cuerpo finito, entonces sea${\displaystyle p(x)=\prod \limits _{t\in K}(xt)}$. p es un polinomio no nulo en K [ x ], sin embargo${\displaystyle p(t)=0}$para todo t en K , entonces${\displaystyle {\hat {p}}=0}$es la función cero y nuestro homomorfismo no es un isomorfismo (y, de hecho, las álgebras no son isomorfas, ya que el álgebra de polinomios es infinita mientras que la de funciones polinómicas es finita).

Si K es infinito, entonces elija un polinomio f tal que${\displaystyle {\hat {f}}=0}$Queremos demostrar que esto implica que${\displaystyle f=0}$. Dejar${\displaystyle \deg f=n}$y dejar${\displaystyle t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}}$Sean n + 1 elementos distintos de K. Entonces${\displaystyle f(t_{i})=0}$para${\displaystyle 0\leq i\leq n}$y por interpolación de Lagrange tenemos${\displaystyle f=0}$Por lo tanto, el mapeo${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}}$es inyectiva . Dado que esta aplicación es claramente sobreyectiva , es biyectiva y, por lo tanto , un isomorfismo de álgebra de A y B.

Sea k un campo infinito de característica cero (o al menos muy grande) y V un espacio vectorial de dimensión finita.

Dejar${\displaystyle S^{q}(V)}$denotamos el espacio vectorial de funcionales multilineales${\displaystyle \textstyle \lambda$ :\prod _{1}^{q}V\to k} que son simétricos;${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots,v_{q})}$es lo mismo para todas las permutaciones de${\displaystyle v_{i}}$'s.

Cualquier λ en${\displaystyle S^{q}(V)}$da lugar a una función polinómica homogénea f de grado q : simplemente dejamos${\displaystyle f(v)=\lambda (v,\dots,v).}$Para ver que f es una función polinómica, elija una base.${\displaystyle e_{i},\,1\leq i\leq n}$de V y${\displaystyle t_{i}}$su dual. Entonces

${\displaystyle \lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})}$,

lo que implica que f es un polinomio en los t _i 's.

Por lo tanto, existe un mapa lineal bien definido :

${\displaystyle \phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).}$

Demostramos que es un isomorfismo. Eligiendo una base como antes, cualquier función polinómica homogénea f de grado q se puede escribir como:

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}}$

dónde${\displaystyle a_{i_{1}\cdots i_{q}}}$son simétricos en${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{q}}$. Dejar

${\displaystyle \psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).}$

Claramente,${\displaystyle \phi \circ \psi }$es la identidad; en particular, φ es sobreyectiva. Para ver que φ es inyectiva, supongamos que φ(λ) = 0. Consideremos

${\displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}$,

que es cero. El coeficiente de t ₁ t ₂ ... t _q en la expresión anterior es q ! veces λ( v ₁ , ..., v _q ); de ello se deduce que λ = 0.

Nota: φ es independiente de la elección de una base; por lo tanto, la demostración anterior muestra que ψ también es independiente de una base, un hecho que no es obvio a priori .

Ejemplo: Un funcional bilineal da lugar a una forma cuadrática de una manera única, y cualquier forma cuadrática surge de esta manera.

Dada una función suave , localmente se puede obtener una derivada parcial de la función a partir de su desarrollo en serie de Taylor y, a la inversa, se puede recuperar la función a partir del desarrollo en serie. Este hecho sigue siendo válido para funciones polinómicas en un espacio vectorial. Si f está en k [ V ], entonces escribimos: para x , y en V ,

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)}$

donde g _n (x, y) son homogéneas de grado n en y , y solo un número finito de ellas son distintas de cero. Entonces dejamos

${\displaystyle (P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),}$

lo que resulta en el endomorfismo lineal P _y de k [ V ]. Se le llama operador de polarización. Entonces tenemos, como prometimos:

Demostración: Primero observamos que ( P _y f ) ( x ) es el coeficiente de t en f ( x + t y ); en otras palabras, dado que g ₀ ( x , y ) = g ₀ ( x , 0) = f ( x ),

${\displaystyle P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)}$

donde el lado derecho es, por definición,

${\displaystyle \left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.}$

El teorema se deduce de esto. Por ejemplo, para n = 2, tenemos:

${\displaystyle P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).}$

El caso general es similar.${\displaystyle \square }$

Cuando los polinomios no se valoran sobre un cuerpo k , sino sobre algún álgebra, se puede definir una estructura adicional. Así, por ejemplo, se puede considerar el anillo de funciones sobre GL(n,m) , en lugar de para k = GL(1,m) . En este caso, se puede imponer un axioma adicional.

El álgebra de producto de operadores es un álgebra asociativa de la forma

${\displaystyle A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)}$

Las constantes de estructura${\displaystyle f_{k}^{ij}(x,y,z)}$Se requiere que sean funciones de valor único, en lugar de secciones de algún fibrado vectorial . Los campos (u operadores)${\displaystyle A^{i}(x)}$se requieren para abarcar el anillo de funciones . En los cálculos prácticos, generalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de un radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de${\displaystyle |x-y|}$. Por lo tanto, el anillo de funciones puede considerarse como el anillo de funciones polinómicas.

Lo anterior puede considerarse un requisito adicional impuesto al anillo; a veces se le llama bootstrap . En física , un caso especial del álgebra de producto de operadores se conoce como expansión de producto de operadores .

• Geometría algebraica de espacios proyectivos
• Anillo de polinomios
• Álgebra simétrica
• espacio tangente de Zariski

• Kobayashi, S.; Nomizu , K. (1963), Fundamentos de geometría diferencial, vol. 2 (nueva  ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004).