matriz polifásica

El caso en que una matriz polifásica permite la reconstrucción de una señal procesada a partir de los datos filtrados se denomina propiedad de reconstrucción perfecta . Matemáticamente, esto equivale a la invertibilidad. Según el teorema de invertibilidad de una matriz sobre un anillo, la matriz polifásica es invertible si y solo si su determinante es una delta de Kronecker , que es cero en todos los puntos excepto en uno.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=h_{\mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\exists A\ A\cdot P&=I\iff \exists c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{aligned}}}$

Según la regla de Cramer, el inverso de${\displaystyle \scriptstyle P}$puede administrarse inmediatamente.

${\displaystyle P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}}$

Ortogonalidad significa que la matriz adjunta${\displaystyle \scriptstyle P^{*}}$es también la matriz inversa de${\displaystyle \scriptstyle P}$. La matriz adjunta es la matriz transpuesta con filtros adjuntos .

${\displaystyle P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}^{*}&g_{\mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}}$

Esto implica que se conserva la norma euclidiana de las señales de entrada. Es decir, la transformada wavelet correspondiente es una isometría .

${\displaystyle \left\|a_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|d_{1}\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}}$

La condición de ortogonalidad

${\displaystyle P\cdot P^{*}=I}$

se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}}$

Para matrices polifásicas no ortogonales surge la pregunta de qué normas euclidianas puede asumir la salida. Esto se puede acotar con la ayuda de la norma del operador .

${\displaystyle \forall x\ \left\|P\cdot x\right\|_{2}\in \left[\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P\|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]}$

Para el${\displaystyle \scriptstyle 2\,\times \,2}$La norma del operador euclidiano para matrices polifásicas se puede expresar explícitamente utilizando la norma de Frobenius.${\displaystyle \scriptstyle \|\cdot \|_{F}}$y la transformada z${\displaystyle \scriptstyle Z}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&={\frac {1}{2}}\cdot \left\|ZP(z)\right\|_{F}^{2}\\q(z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z)+{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}}$

Este es un caso especial de la${\displaystyle n\times n}$matriz donde la norma del operador se puede obtener mediante la transformada Z y el radio espectral de una matriz o la norma espectral correspondiente .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P\right\|_{2}&={\sqrt {\max \left\{\lambda _{\text{max}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}}$

Una señal, donde se asumen estos límites, puede derivarse del vector propio correspondiente al valor propio que maximiza y minimiza.

El concepto de matriz polifásica permite la descomposición de matrices . Por ejemplo, la descomposición en matrices de suma conduce al esquema de elevación . ^{[ 3 ]} Sin embargo, las descomposiciones de matrices clásicas como la descomposición LU y QR no se pueden aplicar inmediatamente, porque los filtros forman un anillo con respecto a la convolución, no un campo .