criterio de Peres-Horodecki

El criterio de Peres-Horodecki es una condición necesaria para la matriz de densidad conjunta.${\displaystyle \rho }$de dos sistemas mecánicos cuánticos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, ser separable . También se le llama criterio PPT , por transposición parcial positiva . En los casos de 2×2 y 2×3 dimensiones, la condición también es suficiente. Se utiliza para decidir la separabilidad de estados mixtos , donde no se aplica la descomposición de Schmidt . El teorema fue descubierto en 1996 por Asher Peres ^{[ 1 ]} y la familia Horodecki ( Michał , Paweł y Ryszard ) ^{[ 2 ].}

En dimensiones superiores, la prueba no es concluyente y se debe complementar con pruebas más avanzadas, como las basadas en testigos de entrelazamiento .

Si tenemos un estado general${\displaystyle \rho }$que actúa sobre el espacio de Hilbert de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Su transpuesta parcial (con respecto a la parte B) se define como

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Nótese que el término "parcial" en el nombre implica que solo una parte del estado está transpuesta. Más precisamente,${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$es el mapa de identidad aplicado a la parte A y el mapa de transposición aplicado a la parte B.

Esta definición se puede ver más claramente si escribimos el estado como una matriz de bloques :

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Dónde${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$y cada bloque es una matriz cuadrada de dimensión${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$. Entonces la transpuesta parcial es

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

El criterio establece que si${\displaystyle \rho \;\!}$es separable entonces todos los valores propios de${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$son no negativos. En otras palabras, si${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$tiene un valor propio negativo,${\displaystyle \rho \;\!}$está garantizado que estará entrelazado . Lo contrario de estas afirmaciones es cierto si y solo si la dimensión del espacio producto es${\displaystyle 2\times 2}$o${\displaystyle 2\times 3}$.

El resultado es independiente del partido que fue transpuesto, porque${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$.

Consideremos esta familia de estados de Werner de 2 cúbits :

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Puede considerarse como la combinación convexa de${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$, un estado máximamente entrelazado , y el elemento identidad , un estado máximamente mezclado .

Su matriz de densidad es

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

y la transposición parcial

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Su menor valor propio es${\displaystyle (1-3p)/4}$Por lo tanto, el estado está entrelazado para${\displaystyle 1\geq p>1/3}$.

Si ρ es separable, se puede escribir como

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

En este caso, el efecto de la transposición parcial es trivial:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Como el mapa de transposición conserva los valores propios, el espectro de${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$es lo mismo que el espectro de${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$y en particular${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$debe seguir siendo semidefinido positivo. Por lo tanto${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$También debe ser semidefinida positiva. Esto demuestra la necesidad del criterio PPT.

Demostrar que ser PPT también es suficiente para los casos 2 x 2 y 3 x 2 (o equivalentemente 2 x 3) es más complejo. Los Horodeckis demostraron que para cada estado entrelazado existe un testigo de entrelazamiento . Este es un resultado de naturaleza geométrica que invoca el teorema de Hahn-Banach (véase la referencia a continuación).

A partir de la existencia de testigos de entrelazamiento, se puede demostrar que${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$Que sea positivo para todos los mapas positivos Λ es una condición necesaria y suficiente para la separabilidad de ρ, donde Λ mapea${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$a${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Además, cada mapa positivo de${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$a${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$puede descomponerse en una suma de mapas completamente positivos y completamente copositivos, cuando${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$y${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$En otras palabras, cada aplicación Λ de este tipo puede escribirse como

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

dónde${\displaystyle \Lambda _{1}}$y${\displaystyle \Lambda _{2}}$son completamente positivos y T es la aplicación de transposición. Esto se deduce del teorema de Størmer-Woronowicz.

En términos generales, el mapa de transposición es, por lo tanto, el único que puede generar valores propios negativos en estas dimensiones. Entonces, si${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$es positivo,${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$es positivo para cualquier Λ. Por lo tanto, concluimos que el criterio de Peres-Horodecki también es suficiente para la separabilidad cuando${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$.

En dimensiones superiores, sin embargo, existen mapas que no pueden descomponerse de esta manera, y el criterio ya no es suficiente. En consecuencia, existen estados entrelazados con transposición parcial positiva. Dichos estados poseen la interesante propiedad de estar entrelazados ligados , es decir, no pueden destilarse para fines de comunicación cuántica .

El criterio de Peres-Horodecki se ha extendido a sistemas de variables continuas. Rajiah Simon ^{[ 3 ]} formuló una versión particular del criterio PPT en términos de los momentos de segundo orden de operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para${\displaystyle 1\oplus 1}$Estados gaussianos de modo - (véase la Ref. ^{[ 4 ]} para un enfoque aparentemente diferente pero esencialmente equivalente). Posteriormente se descubrió ^{[ 5 ]} que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para${\displaystyle 1\oplus n}$estados gaussianos de -modo, pero ya no son suficientes para${\displaystyle 2\oplus 2}$Estados gaussianos de modo -. La condición de Simon puede generalizarse teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[ 6 ] [ 7 ]} o utilizando medidas entrópicas. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Para estados simétricos de sistemas bipartitos, la positividad de la transpuesta parcial de la matriz de densidad está relacionada con el signo de ciertas correlaciones de dos cuerpos. Aquí, la simetría significa que

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

sostiene, donde${\displaystyle F_{AB}}$es el operador de intercambio o volteo que intercambia las dos partes${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. Una base completa del subespacio simétrico tiene la forma${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$con ${\displaystyle m\neq n}$y${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$Aquí para${\displaystyle n}$y${\displaystyle m,}$${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$debe sostenerse, donde${\displaystyle d}$ es la dimensión de las dos partes.

Se puede demostrar que para tales estados,${\displaystyle \rho }$tiene una transpuesta parcial positiva si y solo si ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

Se aplican a todos los operadores.${\displaystyle M.}$Por lo tanto, si${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$se sostiene para algunos${\displaystyle M}$entonces el estado posee entrelazamiento no PPT .

Además, un estado PPT simétrico bipartito se puede escribir como

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}\otimes M_{k},}$

dónde${\displaystyle p_{k}}$son probabilidades y${\displaystyle M_{k}}$realizar ${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k})=1}$ y${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{2})=1.}$ Sin embargo, para un subsistema más grande que un cúbit,${\displaystyle M_{k}}$no son necesariamente matrices de densidad puramente físicas ya que pueden tener valores propios negativos. En este caso, incluso los estados entrelazados pueden escribirse como una mezcla de productos tensoriales de estados afísicos de una sola parte, muy similar a la forma de los estados separables . En el caso del cúbit,${\displaystyle M_{k}}$son matrices de densidad física, lo cual es consistente con el hecho de que para dos cúbits todos los estados PPT son separables.

El concepto de tales pseudomezclas se ha extendido a estados no simétricos y al caso multipartito, mediante la definición de estados pseudoseparables ^{[ 11 ].}

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}^{(1)}\otimes M_{k}^{(2)}\otimes ...\otimes M_{k}^{(N)},}$

dónde${\displaystyle N}$es el número de subsistemas y${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$ realizar${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{(n)})=1}$ y${\displaystyle {\rm {Tr}}[(M_{k}^{(n)})^{2}]=1.}$ Los estados afísicos del subsistema único${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$Son simplemente estados que residen en el equivalente de dimensión superior de la esfera de Bloch, incluso para sistemas mayores que un cúbit. Los estados separables son un subconjunto del conjunto de estados pseudoseparables, mientras que para los cúbits ambos conjuntos coinciden. Para sistemas mayores que los cúbits, dichos estados cuánticos pueden estar entrelazados, y en este caso pueden tener biparticiones PPT o no PPT.

• Karol Życzkowski e Ingemar Bengtsson, Geometría de los estados cuánticos , Cambridge University Press, 2006
• Woronowicz, SL (1976). "Aplicaciones positivas de álgebras de matrices de baja dimensión". Reports on Mathematical Physics . 10 (2): 165– 183. Bibcode : 1976RpMP...10..165W . doi : 10.1016/0034-4877(76)90038-0 .