Corriente positiva

En matemáticas, más particularmente en geometría compleja , geometría algebraica y análisis complejo , una corriente positiva es una forma positiva ( np , np ) sobre una variedad compleja n -dimensional , que toma valores en distribuciones.

Para una definición formal, considere una variedad M . Las corrientes en M son (por definición) formas diferenciales con coeficientes en distribuciones ; integrando sobre M , podemos considerar las corrientes como "corrientes de integración", es decir, funcionales.

${\displaystyle \eta \mapsto \int _{M}\eta \cuña \rho }$

sobre formas lisas con soporte compacto. De esta manera, las corrientes se consideran como elementos en el espacio dual al espacio de formas con soporte compacto. $Estilo de visualización: lambda _{c}^{*}(M)}$

Ahora, sea M una variedad compleja. La descomposición de Hodge se define en corrientes, de manera natural, siendo las (p,q) -corrientes funcionales en . ${\displaystyle \Lambda ^{i}(M)=\bigoplus _{p+q=i}\Lambda ^{p,q}(M)}$$Estilo de visualización: lambda _{c}^{p,q}(M)}$

Una corriente positiva se define como una corriente real de tipo Hodge (p,p) , que toma valores no negativos en todas las formas positivas (p,p) .

Utilizando el teorema de Hahn-Banach , Harvey y Lawson demostraron el siguiente criterio de existencia de las métricas de Kähler . ^[1]

Teorema: Sea M una variedad compleja compacta. Entonces M no admite una estructura de Kähler si y sólo si M admite una corriente (1,1) positiva distinta de cero que sea una parte (1,1) de una corriente 2 exacta. ${\estilo de visualización \Theta}$

Nótese que la diferencial de De Rham asigna 3-corrientes a 2-corrientes, por lo tanto es una diferencial de una 3-corriente; si es una corriente de integración de una curva compleja , esto significa que esta curva es una (1,1)-parte de un límite. ${\estilo de visualización \Theta}$${\estilo de visualización \Theta}$

Cuando M admite una función sobreyectiva en una variedad de Kähler con fibras unidimensionales, este teorema conduce al siguiente resultado de geometría algebraica compleja. ${\displaystyle \pi :\;M\mapsto X}$

Corolario: En esta situación, M no es Kähler si y sólo si la clase de homología de una fibra genérica es una (1,1)-parte de un límite. ${\estilo de visualización \pi}$

• P. Griffiths y J. Harris (1978), Principios de geometría algebraica , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• J.-P. Demailly , Teoremas de desaparición de $L^2$ para fibrados de líneas positivos y teoría de la adjunción, Notas de clase de un curso del CIME sobre "Métodos trascendentales de geometría algebraica" (Cetraro, Italia, julio de 1994)