Homología (matemáticas)

En matemáticas , el término homología , introducido originalmente en la topología algebraica , tiene tres usos principales estrechamente relacionados. Primero, está la homología de un complejo de cadenas , una secuencia de grupos abelianos , llamados grupos de homología , que se consideran invariantes fundamentales del complejo de cadenas. Segundo, cuando se puede asociar un complejo de cadenas a un objeto matemático diferente, también se puede asociar su homología a ese objeto. Los distintos procedimientos para asociar complejos de cadenas a un objeto dado se agrupan en teorías de homología . Finalmente, la homología es importante en el estudio de los espacios topológicos . Bajo ciertas condiciones en las que distintas teorías de homología para un mismo espacio topológico producen los mismos grupos de homología, se puede definir una única homología de un espacio topológico . Esta última noción de homología está estrechamente relacionada con ideas topológicas frecuentemente discutidas en matemáticas populares, como los agujeros de una superficie o los ciclos de un grafo . También existe una noción relacionada de cohomología de un complejo de cocadenas , que da lugar a varias teorías de cohomología, además de la noción de cohomología de un espacio topológico .

Comenzamos con un complejo de cadena, que es una secuencia${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$de grupos abelianos${\displaystyle C_{n}}$(cuyos elementos se denominan cadenas ) y homomorfismos de grupo${\displaystyle d_{n}}$(denominados mapas de límites ):

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots }$,

de tal manera que la composición de cualesquiera dos mapas consecutivos sea cero:

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

El${\displaystyle n}$grupo de ciclos ,${\displaystyle Z_{n}}$, viene dado por el subgrupo del núcleo

${\displaystyle Z_{n}=\ker d_{n}=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$,

y el${\displaystyle n}$grupo de límites ,${\displaystyle B_{n}}$, viene dado por el subgrupo de imágenes

${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$.

El${\displaystyle n}$grupo de homología th${\displaystyle H_{n}}$de este complejo de cadena es entonces el grupo cociente${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$de ciclos módulo límites.

Se puede dotar a los complejos de cadena de una estructura adicional: por ejemplo, tomando los grupos${\displaystyle C_{n}}$ser módulos sobre un anillo de coeficientes${\displaystyle R}$y tomando los mapas de límites${\displaystyle d_{n}}$ser${\displaystyle R}$- Los homomorfismos de módulos dan como resultado grupos de homología${\displaystyle H_{n}}$que también son módulos cociente .

Se pueden utilizar herramientas del álgebra homológica para relacionar grupos de homología de diferentes complejos de cadenas.

Para asociar una teoría de homología a otros tipos de objetos matemáticos, primero se prescribe la asociación de complejos de cadena a dicho objeto y, a continuación, se calcula la homología de un complejo de cadena de este tipo. Para que la teoría de homología sea válida, todos los complejos de cadena asociados al mismo objeto matemático deben tener la misma homología. La teoría de homología resultante suele denominarse según el tipo de complejo de cadena especificado. Por ejemplo, la homología singular , la homología de Morse , la homología de Khovanov y la homología de Hochschild se obtienen, respectivamente, a partir de complejos de cadena singulares, complejos de Morse, complejos de Khovanov y complejos de Hochschild. En otros casos, como en la homología de grupos , existen varios métodos comunes para calcular los mismos grupos de homología.

En el lenguaje de la teoría de categorías , una teoría de homología es un tipo de functor de la categoría del objeto matemático estudiado a la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupos, o más generalmente a la categoría correspondiente a los complejos de cadenas asociados. También se pueden formular teorías de homología como functores derivados sobre categorías abelianas apropiadas, midiendo la falta de exactitud de un functor apropiado . Esta última construcción se puede describir explícitamente en términos de resoluciones , o de forma más abstracta desde la perspectiva de categorías derivadas o categorías modelo .

Independientemente de cómo se formulen, las teorías de homología ayudan a proporcionar información sobre la estructura de los objetos matemáticos a los que están asociadas y, en ocasiones, pueden ayudar a distinguir diferentes objetos.

Quizás el uso más común del término homología sea para referirse a la homología de un espacio topológico . Para espacios topológicos suficientemente buenos y elecciones compatibles de anillos de coeficientes, cualquier teoría de homología que satisfaga los axiomas de Eilenberg-Steenrod produce los mismos grupos de homología que la homología singular (véase más adelante) de ese espacio topológico, con la consecuencia de que a menudo uno simplemente se refiere a la "homología" de ese espacio, en lugar de especificar qué teoría de homología se utilizó para calcular los grupos de homología en cuestión.

Para espacios topológicos unidimensionales, probablemente la teoría de homología más sencilla sea la homología de grafos , que puede considerarse un caso especial unidimensional de la homología simplicial . Esta última implica una descomposición del espacio topológico en símplices . (Los símplices son una generalización de los triángulos a dimensiones arbitrarias; por ejemplo, una arista en un grafo es homeomorfa a un símplice unidimensional, y una pirámide basada en triángulos es un 3-símplice). La homología simplicial, a su vez, puede generalizarse a la homología singular , que permite mapeos más generales de símplices en el espacio topológico. Reemplazar los símplices por discos de diversas dimensiones da como resultado una construcción relacionada llamada homología celular .

También hay otras formas de calcular estos grupos de homología, por ejemplo a través de la homología de Morse , o tomando el resultado del teorema del coeficiente universal cuando se aplica a una teoría de cohomología como la cohomología de Čech o (en el caso de coeficientes reales) la cohomología de De Rham .

La homología de un espacio topológico X es un conjunto de invariantes topológicos de X representados por sus grupos de homología.$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$ donde el${\displaystyle k^{\rm {th}}}$grupo de homología${\displaystyle H_{k}(X)}$describe, informalmente, el número de agujeros en X con un límite k -dimensional. Un agujero con límite 0-dimensional es simplemente un espacio entre dos componentes . En consecuencia,${\displaystyle H_{0}(X)}$^{describe los componentes conectados por} caminos de X. ^{[ 1} ]

El círculo o 1-esfera${\displaystyle S^{1}}$

La esfera 2${\displaystyle S^{2}}$es la capa exterior, no el interior, de una pelota

Una esfera unidimensional${\displaystyle S^{1}}$es un círculo . Tiene un único componente conexo y un agujero en el límite unidimensional, pero no agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes se dan como $${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el grupo de los números enteros y${\displaystyle \{0\}}$es el grupo trivial . El grupo${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$representa un grupo abeliano finitamente generado , con un único generador que representa el agujero unidimensional contenido en un círculo. ^{[ 2 ]}

Una esfera bidimensional${\displaystyle S^{2}}$tiene un único componente conectado, ningún agujero de frontera unidimensional, un agujero de frontera bidimensional y ningún agujero de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son ^{[ 2 ].}$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$

En general, para una esfera n -dimensional${\displaystyle S^{n},}$Los grupos de homología son $${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$

El disco sólido o de 2 bolas${\displaystyle B^{2}}$

El toroide${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

Una pelota bidimensional${\displaystyle B^{2}}$es un disco sólido. Tiene un único componente conectado por caminos, pero a diferencia del círculo, no tiene agujeros de dimensiones superiores. Los grupos de homología correspondientes son todos triviales excepto${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$En general, para una bola n -dimensional${\displaystyle B^{n},}$^{[ 2 ]}$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$

El toroide se define como el producto de dos círculos.${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$El toro tiene un único componente conectado por caminos, dos agujeros unidimensionales independientes (indicados por círculos en rojo y azul) y un agujero bidimensional como interior del toro. Los grupos de homología correspondientes son ^{[ 3 ].}$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$

Si n productos de un espacio topológico X se escribe como${\displaystyle X^{n}}$, entonces en general, para un toro n -dimensional${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$, $${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$ (Véase Torus §  Toro n-dimensional y Número de Betti §  Más ejemplos para obtener más detalles).

Los dos agujeros unidimensionales independientes forman generadores independientes en un grupo abeliano finitamente generado, expresado como el grupo producto.${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}.}$

Para el plano proyectivo P , un cálculo simple muestra (donde${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$es el grupo cíclico de orden 2): $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$$${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$corresponde, como en los ejemplos anteriores, al hecho de que hay un único componente conectado.${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$es un fenómeno nuevo: intuitivamente, corresponde al hecho de que hay un único "bucle" no contraíble, pero si hacemos el bucle dos veces, se vuelve contraíble a cero. Este fenómeno se llama torsión .

El siguiente texto describe un algoritmo general para la construcción de grupos de homología. Para facilitar la comprensión, el lector puede consultar primero algunos ejemplos sencillos: homología de grafos y homología simplicial .

La construcción general comienza con un objeto como un espacio topológico X , sobre el cual primero se define un complejo de cadenas C ( X ) que codifica información sobre X. Un complejo de cadenas es una secuencia de grupos o módulos abelianos.${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$conectados por homomorfismos${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$que se denominan operadores de frontera . ^{[ 3 ]} Es decir,

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

donde 0 denota el grupo trivial y${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$para i < 0. También se requiere que la composición de cualesquiera dos operadores de frontera consecutivos sea trivial. Es decir, para todo n ,

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

es decir, el mapa constante que envía cada elemento de${\displaystyle C_{n+1}}$a la identidad grupal en${\displaystyle C_{n-1}.}$

La afirmación de que el límite de un límite es trivial es equivalente a la afirmación de que${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$, dónde${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$denota la imagen del operador de frontera y${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$su núcleo . Elementos de${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$se denominan límites y elementos de${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$se llaman ciclos .

Dado que cada grupo de cadenas C _n es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Entonces, porque${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$es un subgrupo de C _n ,${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$es abeliano, y dado que${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$por lo tanto${\displaystyle \operatorname {im} (\partial _{n+1})}$es un subgrupo normal de${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$Entonces se puede crear el grupo cociente .

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\operatorname {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

llamado el n -ésimo grupo de homología de X. Los elementos de H _n ( X ) se llaman clases de homología . Cada clase de homología es una clase de equivalencia sobre ciclos y dos ciclos en la misma clase de homología se dicen homólogos . ^{[ 4 ]}

Se dice que un complejo de cadena es exacto si la imagen del ( n +1)-ésimo mapeo es siempre igual al núcleo del n- ésimo mapeo. Por lo tanto, los grupos de homología de X miden "cuán lejos" está el complejo de cadena asociado a X de ser exacto. ^{[ 5 ]}

Los grupos de homología reducidos de un complejo de cadena C ( X ) se definen como homologías del complejo de cadena aumentado ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

donde el operador de frontera${\displaystyle \varepsilon }$es

${\displaystyle \varepsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

para una combinación${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$de puntos${\displaystyle \sigma _{i},}$que son los generadores fijos de C ₀ . Los grupos de homología reducidos${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$coincidir con${\displaystyle H_{i}(X)}$para${\displaystyle i\neq 0.}$El extra${\displaystyle \mathbb {Z} }$en el complejo de la cadena representa el mapa único${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$del simplex vacío a X.

Calculando el ciclo${\displaystyle Z_{n}(X)}$y límite${\displaystyle B_{n}(X)}$Gestionar grupos suele ser bastante difícil, ya que cuentan con un gran número de generadores. Por otro lado, existen herramientas que facilitan la tarea.

Los grupos de homología simplicial H _n ( X ) de un complejo simplicial X se definen utilizando el complejo de cadena simplicial C ( X ), donde C _n ( X ) es el grupo abeliano libre generado por los n -símplices de X . Véase homología simplicial para más detalles.

Los grupos de homología singular H _n ( X ) se definen para cualquier espacio topológico X , y coinciden con los grupos de homología simplicial para un complejo simplicial.

Los grupos de cohomología son formalmente similares a los grupos de homología: se comienza con un complejo de cocadenas , que es lo mismo que un complejo de cadenas pero cuyas flechas, ahora denotadas${\displaystyle d_{n},}$apuntan en la dirección de aumentar n en lugar de disminuir n ; entonces los grupos${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$de cociclos y${\displaystyle \operatorname {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$de cofronteras se derivan de la misma descripción. El n -ésimo grupo de cohomología de X es entonces el grupo cociente.

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

en analogía con el n -ésimo grupo de homología.

El enésimo grupo de homotopía${\displaystyle \pi _{n}(X)}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$es el grupo de clases de homotopía de mapas que preservan el punto base del${\displaystyle n}$-esfera${\displaystyle S^{n}}$a${\displaystyle X}$, bajo la operación de grupo de concatenación. El grupo de homotopía más fundamental es el grupo fundamental.${\displaystyle \pi _{1}(X)}$Para conectados.${\displaystyle X}$, el teorema de Hurewicz describe un homomorfismo${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$llamado homomorfismo de Hurewicz. Para${\displaystyle n>1}$, este homomorfismo puede ser complicado, pero cuando${\displaystyle n=1}$, el homomorfismo de Hurewicz coincide con la abelianización . Es decir,${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$es sobreyectiva y su núcleo es el subgrupo conmutador de${\displaystyle \pi _{1}(X)}$, con la consecuencia de que${\displaystyle H_{1}(X)}$es isomorfo a la abelianización de${\displaystyle \pi _{1}(X)}$Los grupos de homotopía superiores a veces son difíciles de calcular. Por ejemplo, los grupos de homotopía de las esferas se comprenden mal y, en general, se desconocen, a diferencia de la descripción directa que se dio anteriormente para los grupos de homología.

Para un${\displaystyle n=1}$Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle X}$es la figura ocho . Como es habitual, su primer grupo de homotopía, o grupo fundamental ,${\displaystyle \pi _{1}(X)}$es el grupo de clases de homotopía de bucles dirigidos que comienzan y terminan en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro). Es isomorfo al grupo libre de rango 2,${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$, que no es conmutativo: dar vueltas alrededor del ciclo izquierdo y luego alrededor del ciclo derecho es diferente de dar vueltas alrededor del ciclo derecho y luego alrededor del ciclo izquierdo. Por el contrario, el primer grupo de homología de la figura ocho${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$es abeliano. Para expresar esto explícitamente en términos de clases de homología de ciclos, se podría tomar la clase de homología${\displaystyle l}$del ciclo de la mano izquierda y la clase de homología${\displaystyle r}$del ciclo de la derecha como elementos básicos de${\displaystyle H_{1}(X)}$, lo que nos permite escribir${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$.

Los distintos tipos de teoría de homología surgen de funtores que mapean desde diversas categorías de objetos matemáticos a la categoría de complejos de cadenas. En cada caso, la composición del funtor de objetos a complejos de cadenas y el funtor de complejos de cadenas a grupos de homología define el funtor de homología global para la teoría. ^{[ 7 ]}

Los complejos de cadena forman una categoría : Un morfismo del complejo de cadena (${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$) al complejo de cadena (${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$) es una secuencia de homomorfismos${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$de tal manera que${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$para todo n . La homología n -ésima H _n puede verse como un functor covariante de la categoría de complejos de cadena a la categoría de grupos abelianos (o módulos).

Si el complejo de cadenas depende del objeto X de manera covariante (lo que significa que cualquier morfismo${\displaystyle X\to Y}$si induce un morfismo del complejo de cadenas de X al complejo de cadenas de Y ), entonces los H _n son functores covariantes de la categoría a la que pertenece X en la categoría de grupos abelianos (o módulos).

La única diferencia entre homología y cohomología es que en cohomología los complejos de cadena dependen de manera contravariante de X , y que por lo tanto los grupos de homología (que en este contexto se denominan grupos de cohomología y se denotan por H ⁿ ) forman functores contravariantes de la categoría a la que pertenece X en la categoría de grupos o módulos abelianos.

Si (${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$Si A n es un complejo de cadenas tal que todos los A _n, excepto un número finito de ellos , son cero, y los demás son grupos abelianos finitamente generados (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces podemos definir la característica de Euler.

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(utilizando el rango en el caso de grupos abelianos y la dimensión de Hamel en el caso de espacios vectoriales). Resulta que la característica de Euler también se puede calcular a nivel de homología:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

y, especialmente en topología algebraica, esto proporciona dos maneras de calcular el invariante importante${\displaystyle \chi }$para el objeto X que dio origen al complejo de cadena.

Cada secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

La formación de complejos de cadena da lugar a una larga secuencia exacta de grupos de homología.

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Todos los mapas en esta larga secuencia exacta son inducidos por los mapas entre los complejos de cadena, excepto los mapas${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$Estos últimos se denominan homomorfismos de conexión y se obtienen mediante el lema en zigzag . Este lema puede aplicarse a la homología de diversas maneras que facilitan el cálculo de grupos de homología, como las teorías de la homología relativa y las secuencias de Mayer-Vietoris .

Se han desarrollado varios paquetes de software para el cálculo de grupos de homología de complejos celulares finitos. Linbox es una biblioteca de C++ para realizar operaciones matriciales rápidas, incluyendo la forma normal de Smith ; se integra con Gap y Maple . Chomp , CAPD::Redhom ( archivado el 15 de julio de 2013 en Wayback Machine) y Perseus también están escritos en C++. Los tres implementan algoritmos de preprocesamiento basados ​​en la equivalencia de homotopía simple y la teoría discreta de Morse para realizar reducciones que preservan la homología de los complejos celulares de entrada antes de recurrir al álgebra matricial. Kenzo está escrito en Lisp y, además de la homología, también puede utilizarse para generar presentaciones de grupos de homotopía de complejos simpliciales finitos. Gmsh incluye un solucionador de homología para mallas de elementos finitos, que puede generar bases de cohomología directamente utilizables por software de elementos finitos. ^{[ 12 ]}

• Número de Betti
• Espacio para bicicletas
• Cohomología de De Rham
• Axiomas de Eilenberg-Steenrod
• Teoría de homología extraordinaria
• álgebra homológica
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• conectividad homológica
• Dimensión homológica
• Grupo de homotopía
• Teorema de Künneth
• Lista de teorías de cohomología – también tiene una lista de teorías de homología
• Dualidad de Poincaré

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• Grupo de homología en la Enciclopedia de Matemáticas
• Topología algebraica Allen Hatcher – Capítulo 2 sobre homología