Teorema de la energía positiva

El teorema de la energía positiva (también conocido como teorema de la masa positiva ) se refiere a un conjunto de resultados fundamentales de la relatividad general y la geometría diferencial . En términos generales, su formulación estándar afirma que la energía gravitacional de un sistema aislado es no negativa y solo puede ser cero cuando el sistema no tiene objetos gravitantes. Si bien estas afirmaciones suelen considerarse principalmente de naturaleza física, pueden formalizarse como teoremas matemáticos que pueden demostrarse mediante técnicas de geometría diferencial , ecuaciones diferenciales parciales y teoría de la medida geométrica .

Richard Schoen y Shing-Tung Yau , en 1979 y 1981 respectivamente, fueron los primeros en demostrar el teorema de la masa positiva. Edward Witten , en 1982, esbozó una demostración alternativa, que posteriormente fue desarrollada con rigor por otros matemáticos. Witten y Yau recibieron la Medalla Fields de matemáticas, en parte, por su trabajo en este campo.

Una formulación imprecisa del teorema de energía positiva de Schoen-Yau/Witten establece lo siguiente:

Dado un conjunto de datos inicial asintóticamente plano , se puede definir el momento energético de cada región infinita como un elemento del espacio de Minkowski . Siempre que el conjunto de datos inicial sea geodésicamente completo y satisfaga la condición de energía dominante , cada elemento debe estar en el futuro causal del origen. Si alguna región infinita tiene un momento energético nulo, entonces el conjunto de datos inicial es trivial en el sentido de que puede incrustarse geométricamente en el espacio de Minkowski.

El significado de estos términos se analiza a continuación. Existen formulaciones alternativas y no equivalentes para diferentes nociones de energía-momento y para diferentes clases de conjuntos de datos iniciales. No todas estas formulaciones han sido demostradas rigurosamente, y actualmente sigue siendo un problema abierto determinar si la formulación anterior es válida para conjuntos de datos iniciales de dimensión arbitraria.

Resumen histórico

La demostración original del teorema para la masa ADM fue proporcionada por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en 1979 utilizando métodos variacionales y superficies mínimas . Edward Witten ofreció otra demostración en 1981 basada en el uso de espinores , inspirada en teoremas de energía positiva en el contexto de la supergravedad . Una extensión del teorema para la masa de Bondi fue proporcionada por Ludvigsen y James Vickers, Gary Horowitz y Malcolm Perry , y Schoen y Yau.

Gary Gibbons , Stephen Hawking , Horowitz y Perry demostraron extensiones del teorema a los espaciotiempos asintóticamente anti-de Sitter y a la teoría de Einstein-Maxwell . La masa de un espaciotiempo asintóticamente anti-de Sitter es no negativa y solo es igual a cero para el espaciotiempo anti-de Sitter. En la teoría de Einstein-Maxwell, para un espaciotiempo con carga eléctrica $Q$ y carga magnética $P$ , la masa del espaciotiempo satisface (en unidades gaussianas )

M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},

con igualdad para las soluciones extremales de agujeros negros de Majumdar - Papapetrou .

conjuntos de datos iniciales

Un conjunto de datos inicial consiste en una variedad riemanniana $(M, g)$ y un campo tensorial simétrico de 2 dimensiones $k$ sobre $M$ . Se dice que un conjunto de datos inicial $(M, g, k)$ :

es simétrico en el tiempo si $k$ es cero
es máximo si $tr g k = 0$ ^{[ 1 ]}
satisface la condición de energía dominante si

R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}kd(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},

donde

R g

denota la curvatura escalar de

g

. ^{[ 2 ]}

Nótese que un conjunto de datos inicial simétrico en el tiempo $(M, g, 0 )$ satisface la condición de energía dominante si y solo si la curvatura escalar de $g$ es no negativa. Se dice que una variedad lorentziana $(M, g)$ es un desarrollo de un conjunto de datos inicial $(M, g, k)$ si hay una incrustación de hipersuperficie (necesariamente de tipo espacial) de $M$ en $M$ , junto con un campo vectorial normal unitario continuo, tal que la métrica inducida es $g$ y la segunda forma fundamental con respecto al vector normal unitario dado es $k$ .

Esta definición está motivada por la geometría lorentziana . Dada una variedad lorentziana $(M, g)$ de dimensión $n + 1$ y una inmersión espacial $f$ de una variedad conexa $n -dimensional$ $M$ en $M$ que tiene un fibrado normal trivial, se puede considerar la métrica riemanniana inducida $g = f * g$ , así como la segunda forma fundamental $k$ de $f$ con respecto a cualquiera de las dos opciones de campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de $f$ . La terna $(M, g, k)$ es un conjunto de datos inicial. Según las ecuaciones de Gauss-Codazzi , se tiene

{\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}

donde $G$ denota el tensor de Einstein $Ric g - ⁠ 1 / 2 ⁠ R g g$ de g y $ν$ denota el campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de $f$ utilizado para definir $k$ . Por lo tanto, la condición de energía dominante dada anteriormente es, en este contexto lorentziano, idéntica a la afirmación de que $G (ν, \cdot)$ , cuando se considera como un campo vectorial a lo largo de $f$ , es de tipo temporal o nulo y está orientado en la misma dirección que $ν$ . ^{[ 3 ]}

Los extremos de conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos

En la literatura existen diversas nociones de "asintóticamente plano" que no son mutuamente equivalentes. Generalmente se define en términos de espacios de Hölder ponderados o espacios de Sobolev ponderados.

Sin embargo, existen algunas características comunes a prácticamente todos los enfoques. Se considera un conjunto de datos inicial $(M, g, k)$ que puede o no tener frontera; sea $n$ su dimensión. Se requiere que exista un subconjunto compacto $K$ de $M$ tal que cada componente conexa del complemento $M - K$ sea difeomorfa al complemento de una bola cerrada en el espacio euclidiano $ℝ n$ . Dichas componentes conexas se denominan extremos de $M.$

Declaraciones formales

Schoen y Yau (1979)

Sea $(M, g, 0)$ un conjunto de datos iniciales simétrico en el tiempo que satisface la condición de energía dominante. Supongamos que $(M, g)$ es una variedad riemanniana tridimensional suave y orientada con frontera, y que cada componente de la frontera tiene curvatura media positiva. Supongamos que tiene un extremo y que es asintóticamente Schwarzschild en el siguiente sentido:

Supongamos que $K$ es un subconjunto precompacto abierto de $M$ tal que existe un difeomorfismo $Φ : ℝ 3 - B 1 (0) \to M - K$ , y supongamos que existe un número $m$ tal que el 2-tensor simétrico
$h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}$
en $ℝ 3 - B 1 (0)$ es tal que para cualesquiera $i, j, p, q$ , las funciones $|x|^{2}h_{ij}(x),$ $|x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),$ y $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ todos están delimitados.

El teorema de Schoen y Yau afirma que $m$ debe ser no negativo. Si, además, las funciones $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),$ $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),$ y $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)$ están limitados por cualquier $i,j,p,q,r,s,t,$ entonces $m$ debe ser positivo a menos que el límite de $M$ esté vacío y $(M, g)$ sea isométrico a $ℝ 3$ con su métrica riemanniana estándar.

Nótese que las condiciones sobre $h$ afirman que $h$ , junto con algunas de sus derivadas, son pequeñas cuando $x$ es grande. Dado que $h$ mide el defecto entre $g$ en las coordenadas $Φ$ y la representación estándar de la sección $t = constante de la$ métrica de Schwarzschild , estas condiciones son una cuantificación del término "asintóticamente Schwarzschild". Esto puede interpretarse en un sentido puramente matemático como una forma fuerte de "asintóticamente plano", donde el coeficiente de la parte $| x | -1$ de la expansión de la métrica se declara como un múltiplo constante de la métrica euclidiana, en contraposición a un 2-tensor simétrico general.

Cabe señalar también que el teorema de Schoen y Yau, como se indicó anteriormente, es en realidad (a pesar de las apariencias) una forma fuerte del caso de "extremos múltiples". Si $(M, g)$ es una variedad riemanniana completa con extremos múltiples, entonces el resultado anterior se aplica a cualquier extremo individual, siempre que exista una esfera de curvatura media positiva en todos los demás extremos. Esto se garantiza, por ejemplo, si cada extremo es asintóticamente plano en el sentido mencionado; se puede elegir una esfera de coordenadas grande como frontera y eliminar el resto correspondiente de cada extremo hasta obtener una variedad riemanniana con frontera y un solo extremo.

Schoen y Yau (1981)

Sea $(M, g, k)$ un conjunto de datos inicial que satisface la condición de energía dominante. Supongamos que $(M, g)$ es una variedad riemanniana completa, lisa y orientada tridimensional (sin frontera); supongamos que tiene un número finito de extremos, cada uno de los cuales es asintóticamente plano en el siguiente sentido.

Supongamos que $K\subset M$ es un subconjunto precompacto abierto tal que $M\smallsetminus K$ tiene un número finito de componentes conectados $M_{1},\ldots ,M_{n},$ y para cada $i=1,\ldots ,n$ Hay un difeomorfismo $\Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}$ de tal manera que el 2-tensor simétrico $h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}$ Cumple las siguientes condiciones:

$|x|h_{ij}(x),$ $|x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),$ y $|x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ están limitados para todos $i,j,p,q.$

Supongamos también que

$|x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ y $|x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ están limitados por cualquier $p$
$|x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),$ $|x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),$ y $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)$ para cualquier $p,q,i,j$
$|x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))$ está delimitado.

La conclusión es que la energía ADM de cada $M_{1},\ldots ,M_{n},$ definido como

{\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),

es no negativo. Además, suponiendo además que

$|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)$ y $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)$ están limitados por cualquier $i,j,p,q,r,s,$

la suposición de que ${\text{E}}(M_{i})=0$ para algunos $i\in \{1,\ldots ,n\}$ implica que $n = 1$ , que $M$ es difeomorfo a $ℝ 3$ , y que el espacio de Minkowski $ℝ 3,1$ es un desarrollo del conjunto de datos inicial $(M, g, k)$ .

Witten (1981)

Dejar $(M,g)$ Sea una variedad riemanniana completa, lisa y orientada tridimensional (sin frontera). $k$ sea un 2-tensor simétrico suave en $M$ de tal manera que

R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.

Supongamos que $K\subset M$ es un subconjunto precompacto abierto tal que $M\smallsetminus K$ tiene un número finito de componentes conectados $M_{1},\ldots ,M_{n},$ y para cada $\alpha =1,\ldots ,n$ Hay un difeomorfismo $\Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}$ de tal manera que el 2-tensor simétrico $h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}$ Cumple las siguientes condiciones:

$|x|h_{ij}(x),$ $|x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),$ y $|x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ están limitados para todos $i,j,p,q.$
$|x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)$ y $|x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),$ están limitados para todos $i,j,p.$

Para cada $\alpha =1,\ldots ,n,$ Definir la energía y el momento lineal del ADM mediante

{\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),

{\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).

Para cada $\alpha =1,\ldots ,n,$ considérelo como un vector $({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))$ en el espacio de Minkowski. La conclusión de Witten es que para cada $\alpha$ es necesariamente un vector no espacial que apunta hacia el futuro. Si este vector es cero para cualquier $\alpha ,$ entonces $n=1,$ $M$ es difeomorfo a $\mathbb {R} ^{3},$ y el desarrollo hiperbólico global máximo del conjunto de datos inicial $(M,g,k)$ tiene curvatura cero.

Ampliaciones y observaciones

Según las afirmaciones anteriores, la conclusión de Witten es más fuerte que la de Schoen y Yau. Sin embargo, un tercer artículo de Schoen y Yau ^{[ 4 ]} muestra que su resultado de 1981 implica el de Witten, manteniendo solo la suposición adicional de que $|x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ y $|x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ están limitados por cualquier $p.$ También debe señalarse que el resultado de Schoen y Yau de 1981 se basa en su resultado de 1979, que se demuestra por contradicción; por lo tanto, su extensión de su resultado de 1981 también es por contradicción. Por el contrario, la demostración de Witten es lógicamente directa, mostrando la energía ADM directamente como una cantidad no negativa. Además, la demostración de Witten en el caso $\operatorname {tr} _{g}k=0$ puede extenderse sin mucho esfuerzo a variedades de dimensiones superiores, bajo la condición topológica de que la variedad admita una estructura de espín. ^{[ 5 ]} El resultado y la demostración de Schoen y Yau de 1979 pueden extenderse al caso de cualquier dimensión menor que ocho. ^{[ 6 ]} Más recientemente, el resultado de Witten, utilizando los métodos de Schoen y Yau (1981), se ha extendido al mismo contexto. ^{[ 7 ]} En resumen: siguiendo los métodos de Schoen y Yau, el teorema de energía positiva se ha demostrado en dimensión menor que ocho, mientras que siguiendo a Witten, se ha demostrado en cualquier dimensión pero con una restricción al entorno de variedades de espín.

A partir de abril de 2017, Schoen y Yau publicaron una preimpresión que demuestra el caso general de dimensiones superiores en el caso especial $\operatorname {tr} _{g}k=0,$ Sin ninguna restricción en cuanto a dimensión o topología. Sin embargo, aún no ha aparecido (a mayo de 2020) en ninguna revista académica.

Aplicaciones

En 1984, Schoen utilizó el teorema de la masa positiva en su trabajo, con el que completó la solución del problema de Yamabe .
El teorema de la masa positiva se utilizó en la demostración de Hubert Bray de la desigualdad de Penrose riemanniana .

Véase también

Burbuja de la nada

Referencias

↑ En coordenadas locales, esto significa $g ij k ij = 0$
↑ En coordenadas locales, esto dice $R - g ik g jl k ij k kl + (g ij k ij) 2 \geq 2(g pq (g ij k pi; j - (g ij k ij); p)(g kl k qk; l - (g kl k kl); q)) 1/2$ o, en la notación habitual de "índice elevado y reducido", esto dice $R - k ij k ij + (k i i) 2 \geq 2((k pi; i - (k i i); p)(k pj; j - (k j j); p)) 1/2$
↑ Es típico suponer que $M$ está orientado en el tiempo y que $ν$ se define específicamente como el campo vectorial normal unitario que apunta hacia el futuro a lo largo de $f$ ; en este caso, la condición de energía dominante dada anteriormente para un conjunto de datos inicial que surge de una inmersión de tipo espacial en $M$ es automáticamente verdadera si se supone la condición de energía dominante en su forma espaciotemporal habitual .
↑ Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). "La energía y el momento lineal de los espaciotiempos en la relatividad general" (PDF) . Comm. Math. Phys . 79 (1): 47– 51. Bibcode : 1981CMaPh..79...47S . doi : 10.1007/BF01208285 . S2CID 120151656 .
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↑ Schoen, Richard M. (1989). "Teoría variacional para el funcional de curvatura escalar total para métricas riemannianas y temas relacionados". Temas en cálculo de variaciones (Montecatini Terme, 1987) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1365. Berlín: Springer. pp. 120–154 .
↑ Eichmair, Michael; Huang, Lan-Hsuan ; Lee, Dan A.; Schoen, Richard (2016). "El teorema de la masa positiva del espacio-tiempo en dimensiones menores que ocho" . Journal of the European Mathematical Society . 18 (1): 83–121 . arXiv : 1110.2087 . doi : 10.4171/JEMS/584 . S2CID 119633794 .

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[1] En coordenadas locales, esto significa $g ij k ij = 0$

[2] En coordenadas locales, esto dice $R - g ik g jl k ij k kl + (g ij k ij) 2 \geq 2(g pq (g ij k pi; j - (g ij k ij); p)(g kl k qk; l - (g kl k kl); q)) 1/2$ o, en la notación habitual de "índice elevado y reducido", esto dice $R - k ij k ij + (k i i) 2 \geq 2((k pi; i - (k i i); p)(k pj; j - (k j j); p)) 1/2$

[3] Es típico suponer que $M$ está orientado en el tiempo y que $ν$ se define específicamente como el campo vectorial normal unitario que apunta hacia el futuro a lo largo de $f$ ; en este caso, la condición de energía dominante dada anteriormente para un conjunto de datos inicial que surge de una inmersión de tipo espacial en $M$ es automáticamente verdadera si se supone la condición de energía dominante en su forma espaciotemporal habitual .

[4] Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). "La energía y el momento lineal de los espaciotiempos en la relatividad general" (PDF) . Comm. Math. Phys . 79 (1): 47– 51. Bibcode : 1981CMaPh..79...47S . doi : 10.1007/BF01208285 . S2CID 120151656 .

[5] Bartnik, Robert (1986). "La masa de una variedad asintóticamente plana". Comm. Pure Appl. Math . 39 (5): 661– 693. CiteSeerX 10.1.1.625.6978 . doi : 10.1002/cpa.3160390505 .

[6] Schoen, Richard M. (1989). "Teoría variacional para el funcional de curvatura escalar total para métricas riemannianas y temas relacionados". Temas en cálculo de variaciones (Montecatini Terme, 1987) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1365. Berlín: Springer. pp. 120–154 .

[7] Eichmair, Michael; Huang, Lan-Hsuan ; Lee, Dan A.; Schoen, Richard (2016). "El teorema de la masa positiva del espacio-tiempo en dimensiones menores que ocho" . Journal of the European Mathematical Society . 18 (1): 83–121 . arXiv : 1110.2087 . doi : 10.4171/JEMS/584 . S2CID 119633794 .

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