Números reales positivos

En matemáticas , el conjunto de números reales positivos ,${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$es el subconjunto de aquellos números reales que son mayores que cero. Los números reales no negativos ,${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$también incluyen el cero. Aunque los símbolos${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$se utilizan de forma ambigua para cualquiera de estos, la notación${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$o${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$para${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$y${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$o${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$para${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$También se ha empleado ampliamente, está en consonancia con la práctica algebraica de denotar la exclusión del elemento cero con un asterisco, y debería ser comprensible para la mayoría de los matemáticos en ejercicio. ^{[ 1 ]}

En un plano complejo ,${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$se identifica con el eje real positivo (o semieje real positivo ) y generalmente se dibuja como un rayo horizontal . Este rayo se utiliza como referencia en la forma polar de un número complejo . El eje real positivo corresponde a los números complejos .${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$con argumento${\displaystyle \varphi =0.}$

El conjunto${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$es cerrado bajo la suma, la multiplicación y la división. Hereda una topología de la recta real y, por lo tanto, tiene la estructura de un grupo topológico multiplicativo o de un semigrupo topológico aditivo .

Para un número real positivo dado${\displaystyle x,}$la secuencia${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$de sus poderes integrales tiene tres destinos diferentes: Cuando${\displaystyle x\in (0,1),}$el límite es cero; cuando${\displaystyle x=1,}$la secuencia es constante; y cuando${\displaystyle x>1,}$La secuencia no está acotada .

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$y la función inversa multiplicativa intercambia los intervalos. Las funciones piso ,${\displaystyle \operatorname {floor}$ :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,} y exceso ,${\displaystyle \operatorname {exceso}$ :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,} se han utilizado para describir un elemento${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$como fracción continua${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$que es una secuencia de enteros obtenida de la función piso después de que se haya recíproco el exceso. Para racional${\displaystyle x,}$La secuencia termina con una expresión fraccionaria exacta de${\displaystyle x,}$y para números irracionales cuadráticos${\displaystyle x,}$La secuencia se convierte en una fracción continua periódica .

El conjunto ordenado${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$forma un orden total pero no es un conjunto bien ordenado . La progresión geométrica doblemente infinita${\displaystyle 10^{n},}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero , se encuentra completamente en${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$y sirve para dividirlo en secciones para facilitar el acceso.${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$forma una escala de razón , el nivel más alto de medición . Los elementos pueden escribirse en notación científica como${\displaystyle a\times 10^{b},}$dónde${\displaystyle 1\leq a<10}$y${\displaystyle b}$es el número entero en la progresión doblemente infinita, y se denomina década . En el estudio de las magnitudes físicas, el orden de las décadas proporciona ordinales positivos y negativos que se refieren a una escala ordinal implícita en la escala de razón.

En el estudio de los grupos clásicos , para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$el determinante proporciona un mapa desde${\displaystyle n\times n}$matrices sobre los números reales a los números reales:${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$Restringirnos a matrices invertibles nos da una aplicación del grupo lineal general a números reales distintos de cero:${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$Restringirnos a matrices con determinante positivo da como resultado el mapa${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$; interpretando la imagen como un grupo cociente por el subgrupo normal${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$llamado grupo lineal especial , expresa los números reales positivos como un grupo de Lie .

Entre los niveles de medición , la escala de razón proporciona el mayor nivel de detalle. La función de división toma el valor de uno cuando el numerador y el denominador son iguales. Otras razones se comparan con uno mediante logaritmos, a menudo el logaritmo común en base 10. La escala de razón segmenta entonces por órdenes de magnitud utilizados en ciencia y tecnología, expresados ​​en diversas unidades de medida .

Una expresión temprana de la escala de razón fue articulada geométricamente por Eudoxo : "fue... en lenguaje geométrico que se desarrolló la teoría general de la proporción de Eudoxo, que es equivalente a una teoría de los números reales positivos". ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$es un intervalo , entonces${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$determina una medida en ciertos subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$correspondiente al retroceso de la medida de Lebesgue usual en los números reales bajo el logaritmo: es la longitud en la escala logarítmica . De hecho, es una medida invariante con respecto a la multiplicación.${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$por un${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$Así como la medida de Lebesgue es invariante bajo la suma. En el contexto de los grupos topológicos, esta medida es un ejemplo de una medida de Haar .

La utilidad de esta medida se demuestra en su uso para describir magnitudes estelares y niveles de ruido en decibelios , entre otras aplicaciones de la escala logarítmica . Para los fines de las normas internacionales ISO 80000-3 , las cantidades adimensionales se denominan niveles .

Los números reales no negativos sirven como representación gráfica de las métricas , las normas y las medidas en matemáticas.

Incluyendo 0, el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$tiene una estructura de semianillo (siendo 0 la identidad aditiva ), conocida como el semianillo de probabilidad ; tomar logaritmos (con una elección de base que da una unidad logarítmica ) da un isomorfismo con el semianillo log (con 0 correspondiente a${\displaystyle -\infty }$), y sus unidades (los números finitos, excluyendo ), y sus unidades (los números finitos, excluyendo${\displaystyle -\infty }$) corresponden a los números reales positivos.

• Semicampo – Estructura algebraica 
• Signo (matemáticas) : propiedad numérica de ser positivo o negativo. 

• Kist, José; Leetsma, Sanford (1970). "Semigrupos aditivos de números reales positivos". Annalen Matemáticas . 188 (3): 214– 218. doi : 10.1007/BF01350237 .