Órbita (dinámica)

En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función de evolución del sistema. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fases cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Dado que una trayectoria en el espacio de fases está determinada de forma única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fases, no es posible que diferentes órbitas se intersequen en dicho espacio; por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico constituye una partición del espacio de fases. Comprender las propiedades de las órbitas mediante métodos topológicos es uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos.

Para los sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para los sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para los sistemas dinámicos holomorfos , las órbitas son superficies de Riemann .

Definición

Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución

\Phi :U\to M

dónde

U\subset T\times M

con

\Phi (0,x)=x

definimos

I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},

luego el conjunto

\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M

se llama órbita que pasa por x . Una órbita que consta de un solo punto se llama órbita constante . Una órbita no constante se llama cerrada o periódica si existe una $t\neq 0$ en $I(x)$ de tal manera que

\Phi (t,x)=x

.

Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decir $I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})$ . Para cualquier x en M

\gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}

se denomina semiórbita positiva a través de x y

\gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}

se denomina semiórbita negativa a través de x .

Sistema dinámico de tiempo discreto

Para un sistema dinámico de tiempo discreto con una función de evolución invariante en el tiempo $f$ :

La órbita hacia adelante de x es el conjunto :

\gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}

Si la función es invertible, la órbita hacia atrás de x es el conjunto :

\gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}

y la órbita de x es el conjunto :

\gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}

dónde :

$f$ is the evolution function $f:X\to X$
set $X$ is the dynamical space,
$t$ is number of iteration, which is natural number and $t\in T$
$x$ is initial state of system and $x\in X$

General dynamical system

For a general dynamical system, especially in homogeneous dynamics, when one has a "nice" group $G$ acting on a probability space $X$ in a measure-preserving way, an orbit $Gx\subset X$ will be called periodic (or equivalently, closed) if the stabilizer $Stab_{G}(x)$ is a lattice inside $G$ .

In addition, a related term is a bounded orbit, when the set $Gx$ is pre-compact inside $X$ .

The classification of orbits can lead to interesting questions with relations to other mathematical areas, for example the Oppenheim conjecture (proved by Margulis) and the Littlewood conjecture (partially proved by Lindenstrauss) are dealing with the question whether every bounded orbit of some natural action on the homogeneous space $SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )$ is indeed periodic one, this observation is due to Raghunathan and in different language due to Cassels and Swinnerton-Dyer . Such questions are intimately related to deep measure-classification theorems.

Notes

It is often the case that the evolution function can be understood to compose the elements of a group, in which case the group-theoretic orbits of the group action are the same thing as the dynamical orbits.

Examples

Critical orbit of discrete dynamical system based on complex quadratic polynomial. It tends to weakly attracting fixed point with multiplier=0.99993612384259
Critical orbit tends to weakly attracting point. One can see spiral from attracting fixed point to repelling fixed point ( z= 0) which is a place with high density of level curves.

The orbit of an equilibrium point is a constant orbit.

Stability of orbits

A basic classification of orbits is

constant orbits or fixed points
periodic orbits
non-constant and non-periodic orbits

An orbit can fail to be closed in two ways. It could be an asymptotically periodic orbit if it converges to a periodic orbit. Such orbits are not closed because they never truly repeat, but they become arbitrarily close to a repeating orbit. An orbit can also be chaotic. These orbits come arbitrarily close to the initial point, but fail to ever converge to a periodic orbit. They exhibit sensitive dependence on initial conditions, meaning that small differences in the initial value will cause large differences in future points of the orbit.

There are other properties of orbits that allow for different classifications. An orbit can be hyperbolic if nearby points approach or diverge from the orbit exponentially fast.

Referencias

Hale, Jack K.; Koçak, Hüseyin (1991). «Órbitas periódicas». Dinámica y bifurcaciones . Nueva York: Springer. págs. 365–388 . ISBN 0-387-97141-6.
Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
Perko, Lawrence (2001). «Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos separatriz» . Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera ed.). Nueva York: Springer. pp. 202–211 . ISBN 0-387-95116-4.