Postulados de la relatividad especial

Albert Einstein derivó la teoría de la relatividad especial en 1905, ^{[ 1 ]} a partir de principios que ahora se denominan postulados de la relatividad especial . La formulación de Einstein solo requiere dos postulados , ^{[ 2 ]} aunque su derivación implica algunas suposiciones más.

La idea de que la relatividad especial dependía únicamente de dos postulados, ambos aparentemente derivados de la teoría y el experimento de la época, fue uno de los argumentos más convincentes a favor de la corrección de la teoría (Einstein 1912: " Esta teoría es correcta en la medida en que los dos principios en los que se basa son correctos. Dado que estos parecen ser correctos en gran medida,... ") ^{[ 3 ]}

1. Primer postulado ( principio de relatividad )

Las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales .

2. Segundo postulado (invariancia de c )

Medida en cualquier sistema de referencia inercial, la luz siempre se propaga en el vacío con una velocidad definida c , independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. En otras palabras: la velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor c en todos los sistemas de referencia inerciales.

La base de dos postulados para la relatividad especial es la que utilizó históricamente Einstein, y a veces es el punto de partida en la actualidad. Como el propio Einstein reconoció posteriormente, la derivación de la transformación de Lorentz utiliza tácitamente algunas suposiciones adicionales, incluyendo homogeneidad espacial, isotropía y ausencia de memoria . ^{[ 4 ]} Hermann Minkowski también utilizó implícitamente ambos postulados cuando introdujo la formulación del espacio de Minkowski , aunque demostró que c puede considerarse una constante espacio-temporal, y la identificación con la velocidad de la luz se deriva de la óptica. ^{[ 5 ]}

Históricamente, Hendrik Lorentz y Henri Poincaré (1892-1905) derivaron la transformación de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell , la cual sirvió para explicar el resultado negativo de todas las mediciones de la deriva del éter. De este modo, el éter luminífero se vuelve indetectable, en concordancia con lo que Poincaré denominó el principio de relatividad (véase Historia de las transformaciones de Lorentz y Teoría del éter de Lorentz ). Un ejemplo más moderno de derivación de la transformación de Lorentz a partir de la electrodinámica (sin utilizar en absoluto el concepto histórico de éter) fue proporcionado por Richard Feynman . ^{[ 6 ]}

George Francis FitzGerald ya había planteado un argumento similar al de Einstein en 1889, en respuesta al experimento de Michelson-Morley, que parecía demostrar la veracidad de ambos postulados. Escribió que la contracción de la longitud es «casi la única hipótesis que puede conciliar» las aparentes contradicciones. Lorentz llegó de forma independiente a conclusiones similares y, posteriormente, escribió: «La principal diferencia radica en que Einstein simplemente postula lo que nosotros hemos deducido».

Tras estas derivaciones, se han propuesto muchas derivaciones alternativas, basadas en diversos conjuntos de supuestos. A menudo se ha argumentado (como por Vladimir Ignatowski en 1910, ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} o Philipp Frank y Hermann Rothe en 1911, ^{[ 10 ] [ 11 ]} y muchos otros en años posteriores ^{[ 12 ]} ) que una fórmula equivalente a la transformación de Lorentz, salvo un parámetro libre no negativo, se deduce del propio postulado de la relatividad, sin postular primero la velocidad universal de la luz. ^{[ 13 ]} Estas formulaciones se basan en los supuestos mencionados, como la isotropía. El valor numérico del parámetro en estas transformaciones puede determinarse experimentalmente, al igual que los valores numéricos del par de parámetros c y la permitividad del vacío se dejan a determinar experimentalmente incluso cuando se utilizan los postulados originales de Einstein. El experimento descarta la validez de las transformaciones galileanas. Cuando se han hallado los valores numéricos tanto en el método de Einstein como en otros enfoques, estos diferentes enfoques dan como resultado la misma teoría.

La derivación de Einstein de 1905 no está completa. Se produce una ruptura en su lógica cuando, tras haber establecido la ley de la constancia de la velocidad de la luz para el espacio vacío, la aplica a situaciones donde el espacio ya no está vacío. ^{[ 1 ]} Para que la derivación se aplique a objetos físicos, se requiere un postulado adicional o una hipótesis de conexión: que la geometría derivada para el espacio vacío también se aplica cuando un espacio está poblado. Esto equivaldría a afirmar que sabemos que la introducción de materia en una región, y su movimiento relativo, no afectan la geometría del haz de luz.

Tal afirmación sería problemática, ya que Einstein rechazó la idea de que un proceso como la propagación de la luz pudiera ser inmune a otros factores (1914: « No cabe duda de que este principio tiene una importancia trascendental; sin embargo, no puedo creer en su validez exacta. Me parece increíble que el curso de cualquier proceso (por ejemplo, el de la propagación de la luz en el vacío) pueda concebirse como independiente de todos los demás acontecimientos del mundo. ») ^{[ 14 ]}

Incluir este "puente" como un tercer postulado explícito también podría haber perjudicado la credibilidad de la teoría, ya que el índice de refracción y el efecto Fizeau habrían sugerido que la presencia y el comportamiento de la materia sí influyen en la propagación de la luz, en contra de la teoría. Si esta hipótesis del puente se hubiera planteado como un tercer postulado, se podría haber afirmado que el tercer postulado (y, por lo tanto, la teoría) quedaban refutados por la evidencia experimental.

Sin una "hipótesis puente" como tercer postulado, la derivación de 1905 está expuesta a la crítica de que sus relaciones derivadas solo pueden aplicarse en el vacío , es decir, en ausencia de materia.

La controvertida sugerencia de que la teoría de 1905, derivada al asumir el espacio vacío, podría aplicarse únicamente al espacio vacío, aparece en el libro de Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler, « Física del espacio-tiempo » (Recuadro 3-1: « El principio de relatividad se basa en el vacío »). ^{[ 15 ]}

Una sugerencia similar, según la cual la reducción de la geometría de la RG al espaciotiempo plano de la SR sobre pequeñas regiones podría ser "no física" (porque las regiones puntuales planas no pueden contener materia capaz de actuar como observadores físicos), fue reconocida pero rechazada por Einstein en 1914 (" Las ecuaciones de la nueva teoría de la relatividad se reducen a las de la teoría original en el caso especial en que g _μν puede considerarse constante... la única objeción que se puede plantear contra la teoría es que las ecuaciones que hemos establecido podrían, tal vez, carecer de contenido físico. Pero es poco probable que alguien piense seriamente que esta objeción está justificada en el presente caso "). ^{[ 14 ]}

Einstein retomó el problema en 1919 (" No está en absoluto establecido a priori que una transición límite de este tipo tenga algún significado posible. Porque si los campos gravitatorios juegan un papel esencial en la estructura de las partículas de materia, la transición al caso límite de g _μν constante perdería, para ellas, su justificación, ya que, en efecto, con g _μν constante no podría haber partículas de materia ") . ^{[ 16 ]}

Otro argumento a favor de la no fisicalidad se puede extraer de la solución de Einstein al "problema del agujero" bajo la relatividad general, en la que Einstein rechaza la fisicalidad de las relaciones del sistema de coordenadas en un espacio verdaderamente vacío. ^{[ 17 ]}

La teoría especial de Einstein no es la única que combina una forma de constancia de la velocidad de la luz con el principio de relatividad. Una teoría similar a la propuesta por Heinrich Hertz (en 1890) ^{[ 18 ]} permite que la luz sea arrastrada completamente por todos los objetos, lo que da lugar a una constancia local de la velocidad de la luz para todos los observadores físicos . La posibilidad lógica de una teoría hertziana demuestra que los dos postulados estándar de Einstein ( sin la hipótesis puente) no son suficientes para llegar de forma unívoca a la solución de la relatividad especial (aunque esta podría considerarse la solución más minimalista ).

Einstein coincidió en que la teoría de Hertz era lógicamente consistente (« Es sobre la base de esta hipótesis que Hertz desarrolló una electrodinámica de cuerpos en movimiento libre de contradicciones. »), ^{[ 19 ]} pero la descartó por su escasa concordancia con el resultado de Fizeau , dejando la relatividad especial como la única opción restante. Dado que la relatividad especial tampoco pudo reproducir el resultado de Fizeau sin introducir reglas auxiliares adicionales (para abordar el comportamiento diferente de la luz en un medio particulado), esta comparación quizás no fue justa.

En la formulación matemática rigurosa de la relatividad especial, suponemos que el universo existe en un espaciotiempo de cuatro dimensiones M. Los puntos individuales en el espaciotiempo se conocen como eventos ; los objetos físicos en el espaciotiempo se describen mediante líneas de universo (si el objeto es una partícula puntual) o hojas de universo (si el objeto es mayor que un punto). La línea de universo o la hoja de universo solo describen el movimiento del objeto; este también puede tener otras características físicas como energía-momento , masa , carga , etc.

Además de los eventos y los objetos físicos, existe una clase de marcos de referencia inerciales . Cada marco de referencia inercial proporciona un sistema de coordenadas.${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$para eventos en el espaciotiempo M. Además, este marco de referencia también proporciona coordenadas a todas las demás características físicas de los objetos en el espaciotiempo; por ejemplo, proporcionará coordenadas${\ Displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, E)}$para el momento y la energía de un objeto, coordenadas${\ Displaystyle (E_ {1}, E_ {2}, E_ {3}, B_ {1}, B_ {2}, B_ {3})}$para un campo electromagnético , y así sucesivamente.

Suponemos que, dados dos sistemas de referencia inerciales cualesquiera, existe una transformación de coordenadas que convierte las coordenadas de un sistema de referencia a las coordenadas de otro sistema de referencia. Esta transformación no solo proporciona una conversión para las coordenadas espaciotemporales${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$pero también proporcionará una conversión para todas las demás coordenadas físicas, como una ley de conversión para el momento y la energía.${\ Displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}, E)}$etc. (En la práctica, estas leyes de conversión se pueden manejar de manera eficiente utilizando las matemáticas de los tensores ).

También asumimos que el universo obedece a una serie de leyes físicas. Matemáticamente, cada ley física puede expresarse con respecto a las coordenadas dadas por un sistema de referencia inercial mediante una ecuación matemática (por ejemplo, una ecuación diferencial ) que relaciona las distintas coordenadas de los distintos objetos en el espacio-tiempo. Un ejemplo típico son las ecuaciones de Maxwell . Otro ejemplo es la primera ley de Newton .

1. Primer postulado ( Principio de relatividad )

Durante las transiciones entre sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de todas las leyes fundamentales de la física permanecen invariantes en su forma, mientras que todas las constantes numéricas que intervienen en dichas ecuaciones conservan sus valores. Por lo tanto, si una ley física fundamental se expresa mediante una ecuación matemática en un sistema de referencia inercial, debe expresarse mediante una ecuación idéntica en cualquier otro sistema de referencia inercial, siempre que ambos sistemas estén parametrizados con cartas del mismo tipo. (Esta condición sobre las cartas se flexibiliza si se emplean conexiones para escribir la ley en forma covariante).

2. Segundo postulado (Invariancia de c )

Existe una constante absoluta${\displaystyle 0<c<\infty }$con la siguiente propiedad. Si A y B son dos eventos que tienen coordenadas${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$y${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$en un marco inercial${\displaystyle F}$y tienen coordenadas${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$y${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$en otro sistema de referencia inercial${\displaystyle F'}$, entonces

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}=c(st)\quad }$si y solo si${\displaystyle \quad {\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}=c(s'-t')}$.

De manera informal, el segundo postulado afirma que los objetos que se desplazan a velocidad c en un sistema de referencia necesariamente se desplazarán a velocidad c en todos los sistemas de referencia. Este postulado es un subconjunto de los postulados que subyacen a las ecuaciones de Maxwell en la interpretación que se les da en el contexto de la relatividad especial. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell se basan en otros postulados, algunos de los cuales ahora se sabe que son falsos (por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar las propiedades cuánticas de la radiación electromagnética).

El segundo postulado puede usarse para implicar una versión más fuerte de sí mismo, a saber, que el intervalo espacio-temporal es invariante bajo cambios de marco de referencia inercial. En la notación anterior, esto significa que

${\displaystyle c^{2}(st)^{2}-(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2}}$

${\displaystyle =c^{2}(s'-t')^{2}-(x'_{1}-y'_{1})^{2}-(x'_{2}-y'_{2})^{2}-(x'_{3}-y'_{3})^{2}}$

para cualesquiera dos eventos A , B. Esto a su vez puede usarse para deducir las leyes de transformación entre sistemas de referencia; véase la transformación de Lorentz .

Los postulados de la relatividad especial pueden expresarse de forma muy concisa utilizando el lenguaje matemático de las variedades pseudoriemannianas . El segundo postulado afirma que el espaciotiempo tetradimensional M es una variedad pseudoriemanniana dotada de una métrica g de signatura (1,3), que viene dada por la métrica de Minkowski cuando se mide en cada sistema de referencia inercial. Esta métrica se considera una de las magnitudes físicas de la teoría; por lo tanto, se transforma de cierta manera al cambiar el sistema de referencia y puede utilizarse legítimamente para describir las leyes de la física. El primer postulado afirma que las leyes de la física son invariantes cuando se representan en cualquier sistema de referencia para el cual g viene dada por la métrica de Minkowski. Una ventaja de esta formulación es que ahora resulta sencillo comparar la relatividad especial con la relatividad general , en la que se mantienen los mismos dos postulados, pero se prescinde de la condición de que la métrica sea de Minkowski.

La teoría de la relatividad galileana es el caso límite de la relatividad especial en el límite${\displaystyle c\to \infty }$(que a veces se denomina límite no relativista ). En esta teoría, el primer postulado permanece sin cambios, pero el segundo postulado se modifica a:

Si A y B son dos eventos que tienen coordenadas${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},t)}$y${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},s)}$en un marco inercial${\displaystyle F}$y tienen coordenadas${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},x'_{3},t')}$y${\displaystyle (y'_{1},y'_{2},y'_{3},s')}$en otro sistema de referencia inercial${\displaystyle F'}$, entonces${\displaystyle s-t=s'-t'}$. Además, si${\displaystyle s-t=s'-t'=0}$, entonces

${\displaystyle \quad {\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(x'_{1}-y'_{1})^{2}+(x'_{2}-y'_{2})^{2}+(x'_{3}-y'_{3})^{2}}}}$.

La teoría física dada por la mecánica clásica y la gravedad newtoniana es consistente con la relatividad galileana, pero no con la relatividad especial. Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell no son consistentes con la relatividad galileana a menos que se postule la existencia de un éter físico. En varios casos, las leyes de la física en la relatividad especial (como la ecuación${\displaystyle E=mc^{2}}$) se puede deducir combinando los postulados de la relatividad especial con la hipótesis de que las leyes de la relatividad especial se aproximan a las leyes de la mecánica clásica en el límite no relativista.