Número poderoso

Un número poderoso es un entero positivo m tal que para todo número primo p que divide a m , p² también divide a m . De forma equivalente, un número poderoso es el producto de un cuadrado y un cubo, es decir, un número m de la forma m = a²b³ ^{, donde} a y b son enteros positivos ^. Paul Erdős y George Szekeres estudiaron estos números y Solomon W. Golomb los denominó poderosos . Los números poderosos también se conocen como cuadrados completos o 2 -completos . ^{[ 1 ]} (No confundir con el término cuadrado completo , que se refiere a números que no son libres de cuadrados . ^{[ 2 ] [ 3 ]} )

La siguiente es una lista de todos los números poderosos entre 1 y 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (secuencia A001694 en el OEIS ) .

Si m = a ² b ³ , entonces cada primo en la factorización prima de a aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos dos, y cada primo en la factorización prima de b aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos tres; por lo tanto, m es potente.

En la otra dirección, supongamos que m es potente, con factorización prima.

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

donde cada α _i ≥ 2. Definimos γ _i como tres si α _i es impar, y cero en caso contrario, y definimos β _i = α _i − γ _i . Entonces, todos los valores β _i son enteros pares no negativos, y todos los valores γ _i son cero o tres, por lo que

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

proporciona la representación deseada de m como producto de un cuadrado y un cubo.

De manera informal, dada la factorización prima de m , tomemos b como el producto de los factores primos de m que tienen un exponente impar (si no hay ninguno, entonces tomemos b igual a 1). Como m es potente, cada factor primo con un exponente impar tiene un exponente de al menos 3, por lo que m / b³ es un número entero. Además, cada factor primo de ^m / b³ tiene ^un exponente par, por lo que m / b³ es un cuadrado perfecto, así que llamemos a esto ^a² ; ^entonces m = a² b³ . ^{Por ejemplo} :

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

La representación m = a ² b ³ calculada de esta manera tiene la propiedad de que b es libre de cuadrados y está definida de forma única por esta propiedad.

La suma de los recíprocos de los números poderosos converge. El valor de esta suma se puede escribir de varias otras maneras, incluyendo como el producto infinito.

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368\ldots ,}$

donde p recorre todos los números primos, ζ ( s ) denota la función zeta de Riemann y ζ (3) es la constante de Apéry . ^{[ 4 ]} (secuencia A082695 en la OEIS ) De manera más general, la suma de los recíprocos de las potencias s de los números poderosos (una función generadora de la serie de Dirichlet ) es igual a

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

siempre que converge.

Sea k ( x ) el número de números potentes en el intervalo [1, x ]. Entonces k ( x ) es proporcional a la raíz cuadrada de x . Más precisamente,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Golomb, 1970).

Los dos números potentes consecutivos más pequeños son 8 y 9. Dado que la ecuación de Pell${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$tiene infinitas soluciones enteras, hay infinitos pares de números potentes consecutivos (Golomb, 1970); más generalmente, se pueden encontrar números potentes consecutivos resolviendo una ecuación de Pell similar.${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1}$para cualquier cubo perfecto n . Sin embargo, uno de los dos números poderosos en un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Según Guy, Erdős se preguntó si existen infinitos pares de números poderosos consecutivos como${\displaystyle (23^{3},2^{3}3^{2}13^{2})}$en el que ninguno de los números del par es un cuadrado. Walker (1976) demostró que de hecho existen infinitos pares de este tipo al demostrar que${\displaystyle 3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}}$tiene infinitas soluciones. Las soluciones de Walker a esta ecuación se generan, para cualquier entero impar${\displaystyle k}$, considerando el número

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

para números enteros${\displaystyle a}$divisible por 7 y${\displaystyle b}$divisible por 3, y construyendo desde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$los números poderosos consecutivos${\displaystyle 7a^{2}}$y${\displaystyle 3b^{2}}$con${\displaystyle 7a^{2}=1+3b^{2}}$. El par consecutivo más pequeño de esta familia se genera para${\displaystyle k=1}$,${\displaystyle a=2637362}$, y${\displaystyle b=4028637}$como

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

y

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Erdős, Mollin y Walsh conjeturan que no existen tres números poderosos consecutivos. Si existe una terna de números poderosos consecutivos, entonces su término más pequeño debe ser congruente con 7, 27 o 35 módulo 36. ^{[ 5 ]}

Si la conjetura abc es cierta, solo existe un número finito de conjuntos de tres números consecutivos potentes.

Cualquier número impar es la diferencia de dos cuadrados consecutivos: ( k + 1) ^² = k² + 2k + 1, por lo que ( ^k + 1) ^² − k² = 2k + ^{1. De} manera similar, cualquier múltiplo de cuatro es la diferencia de los cuadrados de dos números que difieren en dos: ( k + 2) ^² − k² = 4k + 4. Sin embargo, un número par simple , es decir, un número divisible por dos pero no por cuatro, no puede expresarse como una diferencia de cuadrados. Esto motiva la cuestión de determinar qué números pares simples pueden expresarse como diferencias de números potentes. Golomb presentó algunas representaciones de este tipo:    

2 = 3 ³ − 5 ²  

10 = 13 ³ − 3 ⁷  

18 = 19 ² − 7 ³ = 3 ⁵ − 15 ² .    

Se había conjeturado que el 6 no puede representarse de esa manera, y Golomb conjeturó que hay infinitos enteros que no pueden representarse como una diferencia entre dos números potentes. Sin embargo, Narkiewicz demostró que el 6 puede representarse de infinitas maneras, como por ejemplo:

6 = 5 ⁴ 7 ³ − 463 ² ,  

y McDaniel demostró que cada número entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que todo entero suficientemente grande es una suma de como máximo tres números potentes; esto fue demostrado por Roger Heath-Brown (1987).

De forma más general, podemos considerar los enteros cuyos factores primos tienen exponentes de al menos k . Dicho entero se denomina número k -potente, número k -completo o número k -completo.

(2 ^{k +1} − 1) ^k , 2 ^k (2 ^{k +1} − 1) ^k , (2 ^{k +1} − 1) ^{k +1}           

son números k -potenciales en una progresión aritmética . Además, si a ₁ , a ₂ , ..., a _s son k- potenciales en una progresión aritmética con diferencia común d , entonces

a ₁ ( a _s + d ) ^k ,  

a ₂ ( a _s  + d ) ^k , ..., a _s ( a _s + d ) ^k , ( a _s + d ) ^{k +1}     

son s + 1 k números poderosos en una progresión aritmética.

Tenemos una identidad que involucra números k -potenciales:

a ^k ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + a ^{k + 1} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + ... + a ^{k + ℓ} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^ℓ + ... +1) ^{k +1} .

Esto da como resultado infinitas l + 1-tuplas de números k- potenciales cuya suma también es k- potencial. Nitaj muestra que hay infinitas soluciones de x  + y = z en números 3-potenciales primos relativos (Nitaj, 1995). Cohn construye una familia infinita de soluciones de x + y = z en números 3-potenciales no cúbicos primos relativos de la siguiente manera: la terna       

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

es una solución de la ecuación 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³ . Podemos construir otra solución estableciendo X ′ = X (49 Y ³  +  81 Z ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³  +  81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³ − 49 Y ³ ) y omitiendo el divisor común.  

• Número de Aquiles
• Número sumamente poderoso

• Cohn, JHE (1998). "Una conjetura de Erdős sobre números 3-potentes" . Math. Comp . 67 (221): 439– 440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
• Erdős, Paul y Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta lit. Ciencia. Szeged . 7 : 95-102 .
• Golomb, Solomon W. (1970). "Números poderosos". American Mathematical Monthly . 77 (8): 848– 852. doi : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 . 
• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.). Springer-Verlag. Sección B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Roger (1988). "Formas cuadráticas ternarias y sumas de tres números cuadrados completos". Séminaire de Théorie des Nombres, París, 1986-7 . Boston: Birkhäuser. pp. 137–163 . 
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sumas de tres números cuadrados completos". Teoría de números, I (Budapest, 1987) . Coloquio de la Sociedad Matemática János Bolyai, n.º 51, págs. 163-171 . 
• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. Teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. págs. 33-34 , 407-413 . ISBN  978-0-471-80634-9. Zbl 0556.10026 . 
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representaciones de cada entero como la diferencia de números poderosos". Fibonacci Quarterly . 20 : 85–87 . doi : 10.1080/00150517.1982.12430037 .
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "Sobre una conjetura de Erdős sobre números 3-potenciales". Bull. London Math. Soc. 27 (4): 317– 318. CiteSeerX 10.1.1.24.563 . doi : 10.1112/blms/27.4.317 . 
• Walker, David T. (1976). "Pares enteros consecutivos de números potentes y ecuaciones diofánticas relacionadas" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 14 (2): 111– 116. doi : 10.1080/00150517.1976.12430562 . MR 0409348 . 

• Un número poderoso en la Enciclopedia de Matemáticas .
• Weisstein, Eric W. "Número poderoso" . MathWorld .
• La conjetura abc
• Secuencia OEIS A060355 (Números n tales que n y n+1 son un par de números potentes consecutivos)