Preapilado

En geometría algebraica , un preapilamiento F sobre una categoría C dotada de cierta topología de Grothendieck es una categoría junto con un functor p : F → C que satisface una determinada condición de elevación y tal que (cuando las fibras son grupoides) los objetos localmente isomorfos son isomorfos. Un stack es un preapilamiento con descensos efectivos, lo que significa que los objetos locales pueden unirse para formar un objeto global.

Los preapilamientos que aparecen en la naturaleza suelen ser pilas, pero algunos preapilamientos construidos de forma ingenua (por ejemplo, el esquema de grupoide o el preapilamiento de haces vectoriales proyectivizados ) pueden no ser pilas. Los preapilamientos pueden estudiarse de forma independiente o pasarse a pilas .

Dado que una pila es un preapilamiento, todos los resultados sobre preapilamientos también son válidos para pilas. A lo largo del artículo, trabajamos con una categoría base fija C ; por ejemplo, C puede ser la categoría de todos los esquemas sobre algún esquema fijo equipado con alguna topología de Grothendieck .

Sea F una categoría y supongamos que está fibrada sobre C a través del functor${\displaystyle p:F\to C}$; esto significa que se pueden construir retrocesos a lo largo de morfismos en C , salvo isomorfismos canónicos.

Dado un objeto U en C y objetos x , y en${\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}$, para cada morfismo${\displaystyle f:V\to U}$en C , después de corregir los retrocesos${\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}$, dejamos ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]}$

sea ​​el conjunto de todos los morfismos de${\displaystyle f^{*}x}$a${\displaystyle f^{*}y}$; aquí, el corchete significa que identificamos canónicamente diferentes conjuntos Hom resultantes de diferentes elecciones de retrocesos. Para cada${\displaystyle g:W\to V}$Sobre U , defina el mapa de restricción de f a g :${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$ ser la composición

${\displaystyle [\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]}$

donde un isomorfismo canónico${\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}$se utiliza para obtener el = de la derecha.${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$es un prehaz en la categoría de rebanadas${\displaystyle C_{/U}}$, la categoría de todos los morfismos en C con destino U.

Por definición, F es un preapilamiento si, para cada par x , y ,${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$es un haz de conjuntos con respecto a la topología de Grothendieck inducida en${\displaystyle C_{/U}}$.

Esta definición puede expresarse de forma equivalente como sigue. ^{[ 3 ]} Primero, para cada familia de cobertura${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, "definimos" la categoría${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$como categoría donde: escritura${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}$, etc.,

1. un objeto es un conjunto${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$de pares que consisten en objetos${\displaystyle x_{i}}$en${\displaystyle F(V_{i})}$y isomorfismos${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$que satisfacen la condición de cociclo:${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. un morfismo${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$consta de${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$en${\displaystyle F(V_{i})}$de tal manera que${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}$

Un objeto de esta categoría se denomina dato de descenso. Esta categoría no está bien definida ; el problema radica en que las imágenes inversas se determinan únicamente hasta isomorfismos canónicos; de manera similar, los productos fibrados se definen únicamente hasta isomorfismos canónicos, a pesar de la práctica notacional contraria. En la práctica, basta con realizar algunas identificaciones canónicas de imágenes inversas, sus composiciones, productos fibrados, etc.; hasta dichas identificaciones, la categoría anterior está bien definida (es decir, está definida hasta una equivalencia canónica de categorías).

Existe un functor obvio${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$que envía un objeto al datum de descenso que define. Entonces se puede decir: F es un preapilamiento si y solo si, para cada familia de cobertura${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, el functor${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$es totalmente fiel. Una afirmación como esta es independiente de las elecciones de identificaciones canónicas mencionadas anteriormente.

La imagen esencial de${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$consiste precisamente en datos de descenso efectivos (simplemente la definición de "efectivos"). Por lo tanto, F es una pila si y solo si, para cada familia de cobertura${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$,${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$es una equivalencia de categorías.

Estas reformulaciones de las definiciones de preapilamientos y pilas hacen muy explícitos los significados intuitivos de esos conceptos: (1) "categoría fibrada" significa que se puede construir un retroceso (2) "preapilamiento en grupoides" significa además que "localmente isomorfo" implica "isomorfo" (3) "pila en grupoides" significa que, además de las propiedades anteriores, se puede construir un objeto global a partir de datos locales sujetos a condiciones de cociclo. Todo esto funciona hasta los isomorfismos canónicos .

Sea G un grupo algebraico que actúa desde la derecha sobre un esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k . Entonces, la acción de grupo de G sobre X determina un pre-apilamiento (pero no un apilamiento) sobre la categoría C de k- esquemas, como sigue. Sea F la categoría donde

1. un objeto es un par${\displaystyle (U,x)}$que consiste en un esquema U en C y x en el conjunto${\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$,
2. un morfismo${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$consta de un${\displaystyle U\to V}$en C y un elemento${\displaystyle g\in G(U)}$de tal manera que xg = y ' donde escribimos${\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}$.

Mediante el functor de olvido a C , esta categoría F se fibra en grupoides y se conoce como grupoide de acción o grupoide de transformación. También se puede llamar preapilamiento cociente de X por G y denotarse como${\displaystyle [X/G]^{pre}}$, ya que, como resulta, su apilamiento es la pila cociente${\displaystyle [X/G]}$. La construcción es un caso especial de formación #El preapilamiento de clases de equivalencia ; en particular, F es un preapilamiento.

Cuando X es un punto${\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}$y G es afín, el cociente${\displaystyle [*/G]^{pre}=BG^{pre}}$es el preapilamiento clasificador de G y su apilamiento es el apilamiento clasificador de G.

Si se considera X como un pre-apilamiento (de hecho, un apilamiento), existe el mapa canónico obvio.

${\displaystyle \pi :X\to F}$

sobre C ; explícitamente, cada objeto${\displaystyle (U,x:U\to X)}$en el preapilamiento X va a sí mismo, y cada morfismo${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$, que satisface x igual a${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$por definición, va al elemento del grupo identidad de G ( U ).

Entonces, el mapa canónico anterior encaja en un coecualizador 2 (un cociente 2 ):

${\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}$,

donde t : ( x , g ) → xg es la acción de grupo dada y s una proyección. No es 1-coecualizador ya que, en lugar de la igualdad${\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}$, uno tiene${\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}$dado por

${\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}$

Sea X un esquema en la categoría base C. Por definición, una prerelación de equivalencia es un morfismo.${\displaystyle R\to X\times X}$en C de tal manera que, para cada esquema T en C , la función${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$tiene la imagen que es una relación de equivalencia . El prefijo "pre-" se debe a que no lo requerimos.${\displaystyle f(T)}$ser una función inyectiva .

Ejemplo : Sea un grupo algebraico G que actúa sobre un esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k . Tomemos${\displaystyle R=X\times _{k}G}$y luego para cualquier esquema T sobre k sea

${\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}$

Según el lema de Yoneda , esto determina un morfismo f , que es claramente una prerelación de equivalencia.

A cada pre-relación de equivalencia dada${\displaystyle f:R\to X\times X}$(+ algunos datos más ), hay un preapilamiento F asociado definido de la siguiente manera. ^{[ 8 ]} En primer lugar, F es una categoría donde: con las notaciones${\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}$,

Mediante un functor olvidadizo, la categoría F se fibra en grupoides. Finalmente, comprobamos que F es un preapilamiento; ^{[ 9 ]} para ello, observe: para objetos x , y en F ( U ) y un objeto${\displaystyle f:V\to U}$en${\displaystyle C_{/U}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}}$

Ahora bien, esto significa que${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$es el producto de fibra de${\displaystyle (s,t):R\to X\times X}$y${\displaystyle (x,y):U\to X\times X}$. Dado que el producto de fibra de las gavillas es una gavilla, se deduce que${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$es un haz.

La función preapilada F anterior puede escribirse como${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$y su apilamiento se escribe como${\displaystyle [X/\sim _{R}]}$.

Tenga en cuenta que, cuando X se considera como una pila, tanto X como${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$tienen el mismo conjunto de objetos. A nivel de morfismos, mientras que X solo tiene morfismos identidad como morfismos, el preapilamiento${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$tienen morfismos adicionales${\displaystyle \delta }$especificado por la prerelación de equivalencia f .

Una importancia de esta construcción es que proporciona un atlas para un espacio algebraico: todo espacio algebraico tiene la forma${\displaystyle [U/\sim _{R}]}$para algunos esquemas U , R y una pre-relación de equivalencia étale${\displaystyle f:R\to U\times U}$de tal manera que, para cada T ,${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$es una función inyectiva ("étale" significa los dos mapas posibles${\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}$son étale.)

Partiendo de una pila Deligne-Mumford${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$, se puede encontrar una pre-relación de equivalencia${\displaystyle f:R\to U\times U}$para algunos esquemas R , U de modo que${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$es la apilamiento del preapilamiento asociado a él:${\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]}$. ^{[ 10 ]} Esto se hace de la siguiente manera. Por definición, existe un morfismo sobreyectivo étale.${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$de algún esquema U. Dado que la diagonal es fuertemente representable, el producto fibrado${\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}$es un esquema (es decir, representado por un esquema) y luego dejar

${\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}$

ser la primera y la segunda proyección. Tomando${\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}$, vemos${\displaystyle f}$es una prerelación de equivalencia. Terminamos, aproximadamente, de la siguiente manera.

1. Extender${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$a${\displaystyle \pi$ :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}} (nada cambia a nivel de objeto; solo necesitamos explicar cómo enviar${\displaystyle \delta }$.)
2. Por la propiedad universal de apilamiento,${\displaystyle \pi }$factores a través de${\displaystyle [U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}}$.
3. Comprueba que el último mapa sea un isomorfismo.

Existe una forma de asociar una pila a un preapilamiento dado. Es similar a la agrupación en haces de un prehaz y se denomina apilamiento . La idea de la construcción es bastante simple: dado un preapilamiento${\displaystyle p:F\to C}$Sea HF la categoría donde un objeto es un dato de descenso y un morfismo es un dato de descenso. (Los detalles se omiten por ahora).

Resulta que es una pila y viene con un morfismo natural.${\displaystyle \theta :F\to HF}$de tal manera que F es una pila si y solo si θ es un isomorfismo.

En algunos casos especiales, la apilamiento puede describirse en términos de torsores para esquemas de grupos afines o generalizaciones. De hecho, según este punto de vista, un stack en grupoides no es más que una categoría de torsores, y un pre-stack una categoría de torsores triviales, que son modelos locales de torsores.

• Behrend, Kai ; Conrad, Brian ; Edidin, Dan; Fulton, William ; Fantechi, Barbara ; Göttsche, Lothar ; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas , archivado del original el 5 de mayo de 2008 , recuperado el 13 de junio de 2017.
• Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría del descenso", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol.  123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 1– 104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR 2223406  

• Dai Tamaki (7 de agosto de 2019). "Preapilamientos y categorías fibradas" .