Factor de descuento estocástico

El concepto de factor de descuento estocástico (FDE) se utiliza en economía financiera y finanzas matemáticas . Su nombre deriva del hecho de que el precio de un activo se puede calcular "descontando" el flujo de caja futuro.${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$por el factor estocástico${\displaystyle {\tilde {m}}}$y luego tomando la expectativa. ^{[ 1 ]} Esta definición es de fundamental importancia en la fijación de precios de activos .

Si hay n activos con precios iniciales${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$al comienzo de un período y pagos${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}}$al final del período (todas las x son variables aleatorias (estocásticas) ), entonces SDF es cualquier variable aleatoria${\displaystyle {\tilde {m}}}$satisfactorio

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{para }}i=1,\ldots ,n.}$

El factor de descuento estocástico a veces se denomina núcleo de precios , ya que, si la expectativa${\displaystyle E({\tilde {m}}\,{\tilde {x}}_{i})}$se escribe como una integral, entonces${\displaystyle {\tilde {m}}}$puede interpretarse como la función núcleo en una transformación integral . ^{[ 2 ]} Otros nombres que a veces se usan para el SDF son la " tasa marginal de sustitución " (la razón de utilidad de los estados , cuando la utilidad es separable y aditiva, aunque descontada por la tasa neutral al riesgo), un "cambio de medida" (descontado), un " deflactor de precios de estado " o una " densidad de precios de estado ". ^{[ 2 ]}

En un entorno dinámico, deje que${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$denotamos la colección de conjuntos de información en cada paso de tiempo (filtrado), entonces el SDF se define de manera similar como,

${\displaystyle E_{t}[{\tilde {m}}(t+s){\tilde {x}}({t+s})]=p(t),\quad s>0}$

dónde${\displaystyle E_{t}[\;\cdot \;]=E[\;\cdot \;|{\mathcal {F}}_{t}]}$denota la expectativa condicionada al conjunto de información en el momento${\displaystyle t\geq 0}$,${\displaystyle {\tilde {x}}=({\tilde {x}}_{1},\dots,{\tilde {x}}_{n})'}$es el proceso del vector de pago, y${\displaystyle {\tilde {p}}=({\tilde {p}}_{1},\dots,{\tilde {p}}_{n})'}$es el proceso del vector de precios. ^{[ 3 ]}

La existencia de un SDF es equivalente a la ley de un solo precio ; ^{[ 1 ]} de manera similar, la existencia de un SDF estrictamente positivo es equivalente a la ausencia de oportunidades de arbitraje (véase el Teorema fundamental de la fijación de precios de activos ). Siendo este el caso, entonces si${\displaystyle p_{i}}$es positivo, al usar${\displaystyle {\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}}$Para denotar el retorno, podemos reescribir la definición como

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,}$

y esto implica

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

Además, si existe una cartera compuesta por los activos, entonces el SDF satisface

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.}$

Mediante una identidad estándar simple sobre covarianzas , tenemos

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

Supongamos que existe un activo libre de riesgo. Entonces${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$implica${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$Sustituyendo esto en la última expresión y reordenándola, se obtiene la siguiente fórmula para la prima de riesgo de cualquier activo o cartera con rendimiento${\displaystyle {\tilde {R}}}$:

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

Esto demuestra que las primas de riesgo están determinadas por covarianzas con cualquier SDF. ^{[ 1 ]}

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