Campo primario

En física teórica , un campo primario , también llamado operador primario o simplemente primario , es un operador local en una teoría de campos conforme que es aniquilado por la parte del álgebra conforme que consiste en los generadores descendentes. Desde el punto de vista de la teoría de la representación , un primario es el operador de dimensión más baja en una representación dada del álgebra conforme . Todos los demás operadores en una representación se denominan descendientes ; se pueden obtener actuando sobre el primario con los generadores ascendentes.

Los campos primarios en una teoría de campos conforme de dimensión D fueron introducidos en 1969 por Mack y Salam ^[1] , donde se los llamó campos interpoladores . Luego fueron estudiados por Ferrara, Gatto y Grillo ^[2], quienes los llamaron tensores conformes irreducibles , y por Mack ^[3], quien los llamó pesos más bajos . Polyakov ^[4] utilizó una definición equivalente como campos que no se pueden representar como derivados de otros campos.

Los términos modernos de campos primarios y descendientes fueron introducidos por Belavin, Polyakov y Zamolodchikov ^[5] en el contexto de la teoría de campos conforme bidimensional . Esta terminología se utiliza ahora tanto para D = 2 como para D > 2.

En dimensiones, los campos primarios conformes se pueden definir de dos maneras equivalentes. ^[6]${\displaystyle d>2}$

Sea el generador de dilataciones y sea el generador de transformaciones conformes especiales. Un cuerpo primario conforme , en la representación del grupo de Lorentz y con dimensión conforme satisface las siguientes condiciones en  : ${\displaystyle {\hat {D}}}$${\displaystyle {\hat {K}}_{\mu }}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x=0}$

1. ${\displaystyle \left[{\hat {D}},{\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)\right]=-i\Delta {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)}$;
2. ${\displaystyle \left[{\hat {K}}_{\mu },{\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(0)\right]=0}$.

Un campo primario conforme , en la representación del grupo de Lorentz y con dimensión conforme , se transforma bajo una transformación conforme como ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\mapsto \Omega ^{2}(x)\eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\hat {\phi '}}_{\rho }^{M}(x')=\Omega ^{\Delta }(x){\mathcal {D}}{\left[R(x)\right]^{M}}_{N}{\hat {\phi }}_{\rho }^{N}(x)}$

donde y implementa la acción de en la representación de . ${\displaystyle {R^{\mu }}_{\nu }(x)=\Omega ^{-1}(x){\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x'^{\nu }}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}{\left[R(x)\right]^{M}}_{N}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle SO(d-1,1)}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\rho }^{M}(x)}$

En dos dimensiones, las teorías de campos conformes son invariantes bajo un álgebra de Virasoro de dimensión infinita con generadores . Los primarios se definen como los operadores aniquilados por todos con n > 0, que son los generadores descendentes. Los descendientes se obtienen de los primarios actuando con n < 0. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-\infty <n<\infty }$${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n}}$

El álgebra de Virasoro tiene una subálgebra de dimensión finita generada por . Los operadores aniquilados por se denominan cuasiprimarios. Cada campo primario es un cuasiprimario, pero lo inverso no es cierto; de hecho, cada primario tiene infinitos descendientes cuasiprimarios. Los campos cuasiprimarios en la teoría de campos conforme bidimensional son los análogos directos de los campos primarios en el caso D >2 dimensional. ${\displaystyle L_{n},{\bar {L}}_{n},-1\leq n\leq 1}$${\displaystyle L_{1},{\bar {L}}_{1}}$

En dimensiones, el álgebra conforme permite extensiones graduadas que contienen generadores fermiónicos. Las teorías de campos cuánticos invariantes con respecto a dichas álgebras extendidas se denominan superconformes. En las teorías de campos superconformes, se consideran operadores primarios superconformes. ${\displaystyle D\leq 6}$

En las dimensiones, los primarios superconformes son aniquilados por y mediante los generadores fermiónicos (uno por cada generador de supersimetría). Generalmente, cada representación primaria superconforme incluirá varios primarios del álgebra conforme, que surgen al actuar con las supercargas sobre el primario superconforme. También existen operadores primarios superconformes quirales especiales , que son operadores primarios aniquilados por alguna combinación de las supercargas. ^[7]${\displaystyle D>2}$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Q}$

En dimensiones, las teorías de campos superconformes son invariantes bajo las superálgebras de Virasoro , que incluyen una cantidad infinita de operadores fermiónicos. Los operadores primarios superconformes son aniquilados por todos los operadores decrecientes, bosónicos y fermiónicos. ${\displaystyle D=2}$

En las teorías de campos unitarios (super)conformes, las dimensiones de los operadores primarios satisfacen límites inferiores llamados límites de unitaridad. ^{[8] [9]} En términos generales, estos límites indican que la dimensión de un operador no debe ser menor que la dimensión de un operador similar en la teoría de campos libres. En la teoría de campos conformes de cuatro dimensiones, los límites de unitaridad fueron derivados por primera vez por Ferrara, Gatto y Grillo ^[10] y por Mack. ^[3]