noción primitiva

En matemáticas , lógica , filosofía y sistemas formales , una noción primitiva es un concepto que no se define en términos de conceptos previamente definidos. A menudo se motiva de manera informal, generalmente apelando a la intuición o se considera evidente por sí mismo . En una teoría axiomática , las relaciones entre nociones primitivas están restringidas por axiomas . ^{[ 1 ]} Algunos autores se refieren a esto último como "definir" nociones primitivas mediante uno o más axiomas, pero esto puede ser engañoso. Las teorías formales no pueden prescindir de las nociones primitivas, bajo pena de regresión infinita .

Por ejemplo, en la geometría contemporánea, punto , línea y contiene son algunas nociones primitivas.

Alfred Tarski explicó el papel de las nociones primitivas de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

Cuando nos proponemos construir una disciplina determinada, distinguimos, en primer lugar, un pequeño grupo de expresiones de dicha disciplina que nos parecen inmediatamente comprensibles; a estas expresiones las llamamos TÉRMINOS PRIMITIVOS o TÉRMINOS INDEFINIDOS, y las empleamos sin explicar su significado. Al mismo tiempo, adoptamos el principio de no emplear ninguna otra expresión de la disciplina en cuestión, a menos que su significado se haya determinado previamente con la ayuda de los términos primitivos y de aquellas expresiones de la disciplina cuyo significado se haya explicado con anterioridad. La oración que determina el significado de un término de esta manera se llama DEFINICIÓN...

Gilbert de B. Robinson explicó el inevitable retorno a nociones primitivas en la teoría del conocimiento :

Para un no matemático, a menudo resulta sorprendente que sea imposible definir explícitamente todos los términos que se utilizan. Este no es un problema superficial, sino que subyace a todo conocimiento; es necesario comenzar por algún lado, y para progresar hay que enunciar claramente aquellos elementos y relaciones que no están definidos y aquellas propiedades que se dan por sentadas. ^{[ 3 ]}

La necesidad de nociones primitivas se ilustra en varios fundamentos axiomáticos de las matemáticas:

• Teoría de conjuntos : El concepto de conjunto es un ejemplo de noción primitiva. Como escribe Mary Tiles : ^{[ 4 ]} La «definición» de «conjunto» es menos una definición que un intento de explicar algo a lo que se le otorga el estatus de término primitivo e indefinido. Como prueba, cita a Felix Hausdorff : «Un conjunto se forma mediante la agrupación de objetos individuales en un todo. Un conjunto es una pluralidad considerada como una unidad».
• Teoría ingenua de conjuntos : El conjunto vacío es una noción primitiva. Afirmar que existe sería un axioma implícito .
• Aritmética de Peano : La función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Dado que la aritmética de Peano es útil en relación con las propiedades de los números, los objetos que representan las nociones primitivas pueden no ser estrictamente importantes. ^{[ 5 ]}
• Aritmética de números reales : Por lo general, las nociones primitivas son: número real, dos operaciones binarias : suma y multiplicación , los números 0 y 1, ordenación.
• Sistemas axiomáticos : Las nociones primitivas dependerán del conjunto de axiomas elegido para el sistema. Alessandro Padoa analizó esta selección en el Congreso Internacional de Filosofía de París en 1900. ^{[ 6 ]} No es necesario que las nociones mismas se enuncien; Susan Haack (1978) escribe: «A veces se dice que un conjunto de axiomas proporciona una definición implícita de sus términos primitivos». ^{[ 7 ]}
• Geometría euclidiana : Bajo el sistema axiomático de Hilbert, las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, intermediación e incidencia .
• Geometría euclidiana : Bajo el sistema axiomático de Peano, las nociones primitivas son punto, segmento y movimiento .

En su libro sobre filosofía de las matemáticas , Los principios de las matemáticas, Bertrand Russell empleó las siguientes nociones: para el cálculo de clases ( teoría de conjuntos ), utilizó relaciones , considerando la pertenencia a un conjunto como una noción primitiva. Para establecer conjuntos, también considera primitivas las funciones proposicionales , así como la frase "tal que" utilizada en la notación de construcción de conjuntos . (pp. 18, 9) En cuanto a las relaciones, Russell considera como nociones primitivas la relación inversa y la relación complementaria de un xRy dado . Además, los productos lógicos de relaciones y los productos relativos de relaciones son primitivos. (p. 25) Respecto a la denotación de objetos por descripción, Russell reconoce que implica una noción primitiva. (p. 27) La tesis del libro de Russell es: "Las matemáticas puras utilizan solo unas pocas nociones, y estas son constantes lógicas". (p. xxi)

• Teoría axiomática de conjuntos
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