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Principia Mathematica

Principia Mathematica (a menudo abreviado como PM ) es una obra en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas, escrita por los matemáticos y filósofos Alfred North ...

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Principia Mathematica (a menudo abreviado como PM ) es una obra en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas, escrita por los matemáticos y filósofos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell , y publicada en 1910, 1912 y 1913. Entre 1925 y 1927, apareció una segunda edición con una importante Introducción a la Segunda Edición , un Apéndice A (que sustituyó a ✱9 ) y con nuevos Apéndices B y C. PM fue concebido como una continuación de Los Principios de las Matemáticas de Russell, de 1903 , pero, como se indica en PM , esta idea resultó inviable por razones prácticas y filosóficas.

"Originalmente, concebimos este trabajo para formar parte de un segundo volumen de Principios de Matemáticas ... Pero a medida que avanzábamos, se hizo cada vez más evidente que el tema es mucho más extenso de lo que habíamos supuesto; además, en muchas cuestiones fundamentales que habían quedado oscuras y dudosas en el trabajo anterior, hemos llegado ahora a lo que consideramos soluciones satisfactorias."

Según su introducción, el Primer Ministro tenía tres objetivos:

  1. analizar en la mayor medida posible las ideas y los métodos de la lógica matemática y minimizar el número de nociones primitivas , axiomas y reglas de inferencia ;
  2. expresar con precisión proposiciones matemáticas en lógica simbólica utilizando la notación más conveniente que permite la expresión precisa;
  3. para resolver las paradojas que aquejaban a la lógica y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX, como la paradoja de Russell . [ 1 ]

Este tercer objetivo motivó la adopción de la teoría de tipos en PM . La teoría de tipos adopta restricciones gramaticales en las fórmulas que excluyen la comprensión irrestricta de clases, propiedades y funciones. El efecto de esto es que fórmulas como permitirían la comprensión de objetos como el conjunto de Russell resultan estar mal formadas: violan las restricciones gramaticales del sistema de PM .

PM despertó interés en la lógica simbólica e impulsó el desarrollo de la materia, popularizándola y demostrando su poder. [ 2 ] La Modern Library la ubicó en el puesto 23 de su lista de los 100 mejores libros de no ficción en inglés del siglo XX. [ 3 ]

Alcance de los cimientos establecidos

Los Principia abarcaban únicamente la teoría de conjuntos , los números cardinales , los números ordinales y los números reales . No incluían teoremas más complejos del análisis real , pero al final del tercer volumen, los expertos comprendieron que, en principio, gran parte de las matemáticas conocidas podían desarrollarse con el formalismo adoptado. También quedó claro lo extenso que sería dicho desarrollo.

Se había planeado un cuarto volumen sobre los fundamentos de la geometría , pero los autores admitieron haber sufrido agotamiento intelectual al terminar el tercero.

Fundamento teórico

Como se señala en la crítica de la teoría realizada por Kurt Gödel (más abajo), a diferencia de una teoría formalista , la teoría "logicista" de PM carece de una "enunciación precisa de la sintaxis del formalismo". Además, en la teoría, se observa casi de inmediato que las interpretaciones (en el sentido de la teoría de modelos ) se presentan en términos de valores de verdad para el comportamiento de los símbolos "⊢" (afirmación de verdad), "∾" (negación lógica) y "V" (OR inclusivo lógico).

Valores de verdad : PM incorpora las nociones de "verdad" y "falsedad" en la noción de "proposición primitiva". Una teoría formalista pura no proporcionaría el significado de los símbolos que forman una "proposición primitiva"; los símbolos mismos podrían ser completamente arbitrarios y desconocidos. La teoría solo especificaría cómo se comportan los símbolos según su gramática . Posteriormente, mediante la asignación de "valores", un modelo especificaría una interpretación de lo que dicen las fórmulas. Así, en el conjunto de símbolos formales de Kleene que se muestra a continuación, la "interpretación" del significado común de los símbolos, y por implicación su uso final, se da entre paréntesis, por ejemplo, "¬ (no)". Pero esta no es una teoría formalista pura.

Construcción contemporánea de una teoría formal

Lista de proposiciones a las que se hace referencia por su nombre.

La siguiente teoría formalista se ofrece como contraste a la teoría logicista de PM . Un sistema formal contemporáneo se construiría de la siguiente manera:

  1. Símbolos utilizados : Este conjunto es el conjunto inicial, y pueden aparecer otros símbolos, pero solo por definición a partir de estos símbolos iniciales. Un conjunto inicial podría ser el siguiente, derivado de Kleene (1952):
    • símbolos lógicos :
      • "→" (implica, SI-ENTONCES, y "⊃"),
      • "&" (y),
      • "∨" (o),
      • "¬" (no),
      • "∀" (para todos),
      • "∃" (existe);
    • símbolo de predicado : "=" (igual a);
    • Símbolos de función :
      • "+" (suma aritmética),
      • "∙" (multiplicación aritmética),
      • " ′ " (sucesor);
    • símbolo individual "0" (cero);
    • variables " a ", " b ", " c ", etc.; y
    • paréntesis "(" y ")". [ 4 ]
  2. Cadenas de símbolos : La teoría construirá "cadenas" de estos símbolos mediante concatenación (yuxtaposición). [ 5 ]
  3. Reglas de formación : La teoría especifica las reglas de sintaxis (reglas gramaticales) generalmente como una definición recursiva que comienza con "0" y especifica cómo construir cadenas aceptables o "fórmulas bien formadas" (fMF). [ 6 ] Esto incluye una regla para la "sustitución" [ 7 ] de cadenas por los símbolos llamados "variables".
  4. Regla(s) de transformación : Los axiomas que especifican el comportamiento de los símbolos y las secuencias de símbolos.
  5. Regla de inferencia, separación, modus ponens : Regla que permite a la teoría separar una conclusión de las premisas que la sustentan y, posteriormente, descartar dichas premisas (símbolos a la izquierda de la línea │, o símbolos encima de la línea si es horizontal). De no ser así, la sustitución daría lugar a secuencias cada vez más largas que habría que arrastrar. En efecto, tras la aplicación del modus ponens, solo queda la conclusión; el resto desaparece para siempre.
    Las teorías contemporáneas a menudo especifican como su primer axioma el modus ponens clásico o "la regla del desapego":
    A , A ⊃ B | B
    El símbolo "│" se suele escribir como una línea vertical; aquí, "⊃" significa "implica". Los símbolos A y B son "sustitutos" de cadenas; esta notación se denomina "esquema axiomático" (es decir, existe un número contable de formas específicas que la notación puede adoptar). Se puede leer de forma similar a IF-THEN, pero con una diferencia: dada una cadena de símbolos, SI A y A implica B , ENTONCES B (y conservar solo B para su uso posterior). Sin embargo, los símbolos no tienen "interpretación" (por ejemplo, no tienen "tabla de verdad", "valores de verdad" ni "funciones de verdad") y el modus ponens procede mecánicamente, únicamente por gramática.

Construcción

La teoría de PM tiene similitudes significativas, y diferencias similares, con una teoría formal contemporánea. Kleene afirma que "esta deducción de las matemáticas a partir de la lógica se ofreció como axiomática intuitiva. Los axiomas estaban destinados a ser creídos, o al menos aceptados como hipótesis plausibles sobre el mundo". [ 8 ] De hecho, a diferencia de una teoría formalista que manipula símbolos según reglas gramaticales, PM introduce la noción de "valores de verdad", es decir, verdad y falsedad en el sentido del mundo real , y la "afirmación de la verdad" casi inmediatamente como el quinto y sexto elementos en la estructura de la teoría ( PM 1962:4–36):

  1. Variables
  2. Usos de varias letras
  3. Las funciones fundamentales de las proposiciones : "la función contradictoria" simbolizada por "∾" y la "suma lógica o función disyuntiva" simbolizada por "∨" se toman como primitivas y la implicación lógica se define (el siguiente ejemplo también se usa para ilustrar la definición 9 a continuación) como p ⊃ q . = . ∾ p ∨ q Df . ( PM 1962:11) y el producto lógico se define como p . q . = . ∾(∾ p ∨ ∾ q ) Df . ( PM 1962:12)
  4. Equivalencia : Equivalencia lógica , no equivalencia aritmética: "≡" se da como demostración de cómo se usan los símbolos, es decir, "Así, ' p ≡ q ' significa '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'." ( PM 1962:7). Nótese que para hablar de una notación, PM identifica una "meta"-notación con "[espacio] ... [espacio]": [ 9 ] La equivalencia lógica aparece de nuevo como una definición : p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962:12). Nótese la aparición de paréntesis. Este uso gramatical no está especificado y aparece esporádicamente; sin embargo, los paréntesis desempeñan un papel importante en las cadenas de símbolos, por ejemplo, la notación "( x )" para el contemporáneo "∀x " .
  5. Valores de verdad : "El 'valor de verdad' de una proposición es verdad si es verdadera, y falsedad si es falsa" (esta frase se debe a Gottlob Frege ) ( PM 1962:7).
  6. Signo de aserción : "'⊦ . p puede leerse 'es cierto que'... por lo tanto, '⊦ : p . ⊃ . q ' significa 'es cierto que p implica q ', mientras que '⊦ . p . ⊃⊦ . q ' significa ' p es cierto; por lo tanto, q es cierto'. La primera de estas afirmaciones no implica necesariamente la verdad de p ni de q , mientras que la segunda implica la verdad de ambas" ( PM 1962:92).
  7. Inferencia : Versión de PM del modus ponens . "[Si] '⊦ . p ' y '⊦ ( p ⊃ q )' han ocurrido, entonces '⊦ . q ' ocurrirá si se desea dejar constancia de ello. El proceso de inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de '⊦ . q ' [en otras palabras, los símbolos de la izquierda desaparecen o pueden borrarse]" ( PM 1962:9).
  8. El uso de puntos
  9. Definiciones : Estas utilizan el signo "=" con "Df" en el extremo derecho.
  10. Resumen de las declaraciones anteriores : breve discusión de las ideas primitivas "∾ p " y " p ∨ q " y "⊦" antepuesto a una proposición.
  11. Proposiciones primitivas : los axiomas o postulados. Esto se modificó significativamente en la segunda edición.
  12. Funciones proposicionales : La noción de "proposición" se modificó significativamente en la segunda edición, incluyendo la introducción de proposiciones "atómicas" vinculadas por signos lógicos para formar proposiciones "moleculares", y el uso de la sustitución de proposiciones moleculares en proposiciones atómicas o moleculares para crear nuevas expresiones.
  13. El rango de valores y la variación total
  14. Afirmación ambigua y la variable real : Esta sección y las dos siguientes fueron modificadas o eliminadas en la segunda edición. En particular, la distinción entre los conceptos definidos en las secciones 15. Definición y la variable real y 16. Proposiciones que conectan variables reales y aparentes fue eliminada en la segunda edición.
  15. Implicación formal y equivalencia formal
  16. Identidad
  17. Clases y relaciones
  18. Diversas funciones descriptivas de las relaciones
  19. Funciones descriptivas plurales
  20. Clases de unidades

Ideas primitivas

Véase PM 1962:90–94, para la primera edición:

  • (1) Proposiciones elementales .
  • (2) Proposiciones elementales de funciones .
  • (3) Afirmación : introduce las nociones de "verdad" y "falsedad".
  • (4) Afirmación de una función proposicional .
  • (5) Negación : "Si p es cualquier proposición, la proposición "no- p ", o " p es falso", se representará mediante "∾ p ".
  • (6) Disyunción : "Si p y q son proposiciones cualesquiera, la proposición " p o q" , es decir, "o p es verdadera o q es verdadera", donde las alternativas no deben ser mutuamente excluyentes, estará representada por " p ∨ q ".
  • (véase la sección B)

Proposiciones primitivas

La primera edición (véase la discusión relativa a la segunda edición, más abajo) comienza con una definición del signo "⊃".

✱1.01 . p ⊃ q . = . ∾ p ∨ q . Df .

✱1.1 . Todo lo que se desprende de una proposición elemental verdadera es verdadero. Pp modus ponens

( ✱1.11 fue descartado en la segunda edición.)

✱1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Pp principio de tautología

✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp principio de adición

✱1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Pp principio de permutación

✱1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Principio asociativo Pp

✱1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp principio de suma

✱1.7 . Si p es una proposición elemental, entonces p es una proposición elemental. Pp

✱1.71 . Si p y q son proposiciones elementales, p ∨ q es una proposición elemental. Pp

✱1,72 . Si φ p y ψ p son funciones proposicionales elementales que toman proposiciones elementales como argumentos, φ p ∨ ψ p es una proposición elemental. Páginas

Junto con la "Introducción a la segunda edición", el Apéndice A de la segunda edición abandona toda la sección ✱9 . Esto incluye seis proposiciones primitivas ✱9 a ✱9.15 junto con los Axiomas de reducibilidad.

La teoría revisada se complica por la introducción del trazo de Sheffer ("|") para simbolizar la "incompatibilidad" (es decir, si ambas proposiciones elementales p y q son verdaderas, su "trazo" p | q es falso), el NAND lógico contemporáneo (no-AND). En la teoría revisada, la Introducción presenta la noción de "proposición atómica", un "dato" que "pertenece a la parte filosófica de la lógica". Estas no tienen partes que sean proposiciones y no contienen las nociones de "todo" o "algunos". Por ejemplo: "esto es rojo" o "esto es anterior a aquello". Tales cosas pueden existir ad finitum , es decir, incluso una "enumeración infinita" de ellas para reemplazar la "generalidad" (es decir, la noción de "para todos"). [ 10 ] PM luego "avanza a proposiciones moleculares" que están todas vinculadas por "el trazo". Las definiciones dan equivalencias para "∾", "∨", "⊃" y " . ".

La nueva introducción define las "proposiciones elementales" como posiciones atómicas y moleculares en conjunto. Luego reemplaza todas las proposiciones primitivas ✱1.2 a ✱1.72 con una única proposición primitiva formulada en términos del trazo:

"Si p , q , r son proposiciones elementales, dados p y p |( q | r ), podemos inferir r . Esta es una proposición primitiva."

La nueva introducción mantiene la notación para "existe" (ahora reformulada como "a veces verdadero") y "para todos" (reformulada como "siempre verdadero"). El Apéndice A refuerza la noción de "matriz" o "función predicativa" (una "idea primitiva", PM 1962:164) y presenta cuatro nuevas proposiciones primitivas como ✱8.1–✱8.13 .

✱88 . Axioma multiplicativo

✱120 . Axioma del infinito

Tipos ramificados y el axioma de reducibilidad

En la teoría de tipos simple, los objetos son elementos de varios "tipos" disjuntos. Los tipos se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ 1 ,...,τ m son tipos, entonces hay un tipo (τ 1 ,...,τ m ) que puede pensarse como la clase de funciones proposicionales de τ 1 ,...,τ m (que en la teoría de conjuntos es esencialmente el conjunto de subconjuntos de τ 1 ×...×τ m ). En particular, hay un tipo () de proposiciones, y puede haber un tipo ι (iota) de "individuos" a partir del cual se construyen otros tipos. La notación de Russell y Whitehead para construir tipos a partir de otros tipos es bastante engorrosa, y la notación aquí se debe a Church .

En la teoría de tipos ramificados de PM, todos los objetos son elementos de varios tipos ramificados disjuntos. Los tipos ramificados se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n son tipos ramificados, entonces, como en la teoría de tipos simple, hay un tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) de funciones proposicionales "predicativas" de τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n . Sin embargo, también existen tipos ramificados (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) que pueden considerarse como las clases de funciones proposicionales de τ 1 ,...τ m obtenidas a partir de funciones proposicionales de tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) mediante la cuantificación sobre σ 1 ,...,σ n . Cuando n =0 (es decir, no hay σs), estas funciones proposicionales se denominan funciones o matrices predicativas. Esto puede resultar confuso porque la práctica matemática moderna no distingue entre funciones predicativas y no predicativas, y en cualquier caso, PM nunca define con exactitud qué es una "función predicativa": se la considera una noción primitiva.

Russell y Whitehead consideraron imposible desarrollar las matemáticas manteniendo la diferencia entre funciones predicativas y no predicativas, por lo que introdujeron el axioma de reducibilidad , que establece que para cada función no predicativa existe una función predicativa que toma los mismos valores. En la práctica, este axioma significa esencialmente que los elementos del tipo (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) pueden identificarse con los elementos del tipo (τ 1 ,...,τ m ), lo que provoca que la jerarquía de tipos ramificados se reduzca a una teoría de tipos simple. (Estrictamente hablando, la Teoría de la Proposición (TP) permite que dos funciones proposicionales sean diferentes incluso si toman los mismos valores en todos los argumentos; esto difiere de la práctica matemática moderna, donde normalmente se identifican dos funciones de este tipo).

En la teoría de conjuntos de Zermelo , se puede modelar la teoría de tipos ramificada de PM de la siguiente manera. Se elige un conjunto ι como el tipo de individuos. Por ejemplo, ι podría ser el conjunto de los números naturales, o el conjunto de átomos (en una teoría de conjuntos con átomos) o cualquier otro conjunto de interés. Entonces, si τ 1 ,...,τ m son tipos, el tipo (τ 1 ,...,τ m ) es el conjunto potencia del producto τ 1 ×...×τ m , que también puede pensarse informalmente como el conjunto de funciones (proposicionales predicativas) de este producto a un conjunto de 2 elementos {verdadero, falso}. El tipo ramificado (τ 1 ,...,τ m |σ 1 ,...,σ n ) puede modelarse como el producto del tipo (τ 1 ,...,τ m ,σ 1 ,...,σ n ) con el conjunto de secuencias de n cuantificadores (∀ o ∃) que indican qué cuantificador debe aplicarse a cada variable σ i . (Esto puede variar ligeramente permitiendo que las σ se cuantifiquen en cualquier orden, o permitiendo que aparezcan antes que algunas de las τ, pero esto apenas afecta a la contabilidad).

La introducción a la segunda edición advierte:

Un punto respecto del cual es obviamente deseable una mejora es el axioma de reducibilidad... Este axioma tiene una justificación puramente pragmática... pero claramente no es el tipo de axioma con el que podemos conformarnos. Sin embargo, sobre este tema, no se puede decir que aún se pueda obtener una solución satisfactoria. El Dr. Leon Chwistek [Teoría de los tipos constructivos] tomó el camino heroico de prescindir del axioma sin adoptar ningún sustituto; de su trabajo se desprende claramente que este camino nos obliga a sacrificar gran parte de las matemáticas ordinarias. Hay otro camino, recomendado por Wittgenstein† (†Tractatus Logico-Philosophicus, *5.54ff) por razones filosóficas. Este consiste en suponer que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función solo puede aparecer en una proposición a través de sus valores. (...) [Trabajando con las consecuencias]... la teoría de los cardinales y ordinales inductivos sobrevive; pero parece que la teoría de las series de Dedekindian infinitas y bien ordenadas se derrumba en gran medida, de modo que los números irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente. Además, la demostración de Cantor de que 2n > n falla a menos que n sea finito. [ 11 ]

Podría ser posible sacrificar series infinitas bien ordenadas en aras del rigor lógico, pero la teoría de los números reales es parte integral de las matemáticas ordinarias y difícilmente puede ser objeto de duda razonable. Por lo tanto, estamos justificados al suponer que algún axioma lógico verdadero lo justificará. El axioma requerido puede ser más restrictivo que el axioma de reducibilidad, pero de ser así, aún queda por descubrir. [ 12 ]

Notación

Recuerdo que Bertrand Russell me contó un sueño horrible. Estaba en el último piso de la biblioteca universitaria, alrededor del año 2100 d. C. Un ayudante de biblioteca recorría las estanterías con un enorme cubo, bajando libros, echándoles un vistazo, volviéndolos a colocar en las estanterías o echándolos al cubo. Finalmente, llegó a tres grandes volúmenes que Russell reconoció como el último ejemplar que se conservaba de Principia Mathematica . Bajó uno de los volúmenes, hojeó algunas páginas, pareció desconcertado por un momento por el curioso simbolismo, cerró el libro, lo equilibró en su mano y dudó...

Un autor [ 2 ] observa que "la notación en esa obra ha sido superada por el desarrollo posterior de la lógica durante el siglo XX, hasta el punto de que al principiante le resulta difícil leer PM"; si bien gran parte del contenido simbólico puede convertirse a notación moderna, la notación original en sí misma es "un tema de controversia académica", y parte de la notación "encarna doctrinas lógicas sustantivas, por lo que no puede simplemente ser reemplazada por el simbolismo contemporáneo". [ 14 ]

Kurt Gödel criticó duramente la notación: «Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Se omiten consideraciones sintácticas incluso en los casos en que son necesarias para la coherencia de las pruebas». [ 15 ] Esto se refleja en el ejemplo siguiente de los símbolos « p », « q », « r » y « ⊃» que se pueden formar en la cadena « p ⊃ q ⊃ r ». PM requiere una definición de lo que significa esta cadena de símbolos en términos de otros símbolos; en los tratamientos contemporáneos, las «reglas de formación» (reglas sintácticas que conducen a «fórmulas bien formadas») habrían impedido la formación de esta cadena.

Origen de la notación : El capítulo I, "Explicaciones preliminares de ideas y notaciones", comienza con el origen de las partes elementales de la notación (los símbolos =⊃≡−ΛVε y el sistema de puntos):

La notación empleada en este trabajo se basa en la de Peano , y las siguientes explicaciones están, en cierta medida, inspiradas en las que él incluye al principio de su Formulario Mathematico [es decir, Peano 1889]. Se adopta su uso de puntos como corchetes, así como muchos de sus símbolos.

— ( PM 1927:4) [ 16 ]

PM cambió la Ɔ de Peano por ⊃, y también adoptó algunos de los símbolos posteriores de Peano, como ℩ e ι, y la práctica de Peano de poner las letras al revés.

PM adopta el signo de afirmación "⊦" del Begriffsschrift de Frege (1879): [ 17 ]

"(I)t puede leerse 'es cierto que'" [ 18 ]

Así, para afirmar una proposición p, PM escribe:

"⊦ . p ." ( PM 1927:92)

(Obsérvese que, al igual que en el original, el punto de la izquierda es cuadrado y de mayor tamaño que el punto de la derecha).

La mayor parte del resto de la notación en PM fue inventada por Whitehead. [ 19 ]

Introducción a la notación de la "Sección A de Lógica Matemática" (fórmulas ✱1–✱5.71)

Los puntos de PM [ 20 ] se utilizan de forma similar a los paréntesis. Cada punto (o varios puntos) representa un paréntesis izquierdo o derecho o el símbolo lógico ∧. Más de un punto indica la "profundidad" de los paréntesis, por ejemplo, " . ", " : " o " :. ", " :: ". Sin embargo, la posición del paréntesis derecho o izquierdo correspondiente no se indica explícitamente en la notación, sino que debe deducirse a partir de reglas complejas y, a veces, ambiguas. Además, cuando los puntos representan el símbolo lógico ∧, sus operandos izquierdo y derecho deben deducirse utilizando reglas similares. Primero, se debe decidir, según el contexto, si los puntos representan un paréntesis izquierdo o derecho o un símbolo lógico. Luego, se debe determinar la distancia del otro paréntesis correspondiente: se continúa hasta encontrar un mayor número de puntos, o el mismo número de puntos a continuación que tengan igual o mayor "fuerza", o el final de la línea. Los puntos junto a los signos ⊃, ≡, ∨, =Df tienen mayor fuerza que los puntos junto a ( x ), (∃ x ) y así sucesivamente, que tienen mayor fuerza que los puntos que indican un producto lógico ∧.

Ejemplo 1. La línea

✱ 3.4 . ⊢ : p . q . ⊃ . p ⊃ q

corresponde a

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Los dos puntos que aparecen juntos inmediatamente después del signo de afirmación indican que lo que se afirma es la línea completa: como son dos, su alcance es mayor que el de cualquiera de los puntos individuales a su derecha. Se reemplazan por un paréntesis izquierdo donde están los puntos y un paréntesis derecho al final de la fórmula, de la siguiente manera:

⊢ (p . q . ⊃ . p ⊃ q).

(En la práctica, estos paréntesis exteriores, que encierran una fórmula completa, suelen omitirse). El primero de los puntos simples, situado entre dos variables proposicionales, representa la conjunción. Pertenece al tercer grupo y tiene el alcance más restringido. Aquí se reemplaza por el símbolo moderno de conjunción "∧", por lo tanto

⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).

Los dos puntos restantes resaltan el conector principal de toda la fórmula. Ilustran la utilidad de la notación de puntos para resaltar aquellos conectores que son relativamente más importantes que los que los rodean. El que está a la izquierda del "⊃" se reemplaza por un par de paréntesis, el derecho va donde está el punto y el izquierdo va lo más a la izquierda posible sin cruzar un grupo de puntos de mayor fuerza, en este caso los dos puntos que siguen al signo de afirmación, por lo tanto

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)

El punto a la derecha del "⊃" se reemplaza por un paréntesis izquierdo que va donde está el punto y un paréntesis derecho que va lo más a la derecha posible sin sobrepasar el alcance ya establecido por un grupo de puntos de mayor fuerza (en este caso, los dos puntos que seguían al signo de afirmación). Así, el paréntesis derecho que reemplaza al punto a la derecha del "⊃" se coloca delante del paréntesis derecho que reemplazaba a los dos puntos que seguían al signo de afirmación, por lo tanto

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Ejemplo 2, con puntos dobles, triples y cuádruples:

✱9.521 . ⊢  : : (∃x). φx . ⊃ . q  : ⊃  : . (∃x). φx . v . r  : ⊃ . qvr

representa

((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Ejemplo 3, con un doble punto que indica un símbolo lógico (del volumen 1, página 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

representa

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r )⊃( p ⊃ r ))

donde el doble punto representa el símbolo lógico ∧ y puede considerarse que tiene mayor prioridad que un punto simple no lógico.

Más adelante, en la sección ✱14 , aparecen los corchetes "[ ]", y en las secciones ✱20 y siguientes, las llaves "{ }". No está claro si estos símbolos tienen significados específicos o si solo sirven para una mayor claridad visual. Desafortunadamente, el punto simple (pero también " : ", " :. ", " :: ", etc.) también se usa para simbolizar el "producto lógico" (la operación lógica AND contemporánea a menudo se simboliza con "&" o "∧").

La implicación lógica se representa mediante la "Ɔ" de Peano, simplificada a "⊃"; la negación lógica se simboliza con una tilde rizada grande, es decir, "∾" (equivalente a "~" pero no a "¬"); la disyunción lógica se representa con "v". El símbolo "=" junto con "Df" se utiliza para indicar "se define como", mientras que en las secciones ✱13 y siguientes, "=" /sin/ un "Df" correspondiente se define como (matemáticamente) "idéntico a", es decir, "igualdad" matemática contemporánea (véase la discusión en la sección ✱13 ). La equivalencia lógica se representa con "≡" (equivalente a "si y solo si"); las funciones proposicionales "elementales" se escriben de la forma habitual, por ejemplo, " f ( p )", pero más adelante el signo de función aparece directamente antes de la variable sin paréntesis, por ejemplo, "φ x ", "χ x ", etc.

Por ejemplo, PM introduce la definición de "producto lógico" de la siguiente manera:

✱3.01 . p . q . = . ∾(∾ p v ∾ q ) Df .
donde " p . q " es el producto lógico de p y q .
✱3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .
Esta definición sirve simplemente para abreviar las demostraciones.

Traducción de las fórmulas a símbolos contemporáneos : Diversos autores utilizan símbolos alternativos, por lo que no es posible ofrecer una traducción definitiva. Sin embargo, debido a críticas como la de Kurt Gödel ( que se menciona más adelante), las mejores traducciones contemporáneas serán muy precisas con respecto a las reglas de formación (la sintaxis) de las fórmulas.

La primera fórmula podría convertirse en simbolismo moderno de la siguiente manera: [ 21 ]

( p & q ) = df (∾(∾ p v ∾ q ))

La segunda fórmula podría convertirse de la siguiente manera:

( p → q → r ) = df ( p → q ) & ( q → r )

Pero tenga en cuenta que esto no es (lógicamente) equivalente a ( p → ( q → r )) ni a (( p → q ) → r ), y estos dos tampoco son lógicamente equivalentes.

Introducción a la notación de la "Sección B Teoría de las Variables Aparentes" (fórmulas ✱8–✱14.34)

Estas secciones tratan sobre lo que ahora se conoce como lógica de predicados y lógica de predicados con identidad (igualdad).

  • NB: Como resultado de las críticas y los avances, la segunda edición de PM (1927) reemplaza ✱9 con un nuevo ✱8 (Apéndice A). Esta nueva sección elimina la distinción de la primera edición entre variables reales y aparentes, y elimina "la idea primitiva de 'afirmación de una función proposicional'". [ 22 ] Para aumentar la complejidad del tratamiento, ✱8 introduce la noción de sustituir una "matriz" y el trazo de Sheffer :
  • Matriz : En el uso contemporáneo, la matriz de PM es (al menos para funciones proposicionales ), una tabla de verdad , es decir, todos los valores de verdad de una función proposicional o predicativa.
  • El golpe de Sheffer : es el NAND lógico contemporáneo (NOT-AND), es decir, "incompatibilidad", que significa:
"Dadas dos proposiciones p y q , entonces ' p | q ' significa que la proposición p es incompatible con la proposición q , es decir, si ambas proposiciones p y q se evalúan como verdaderas, entonces y solo entonces p | q se evalúa como falsa." Después de la sección 8, el trazo de Sheffer no se utiliza.

Sección ✱10: Los "operadores" existenciales y universales : PM añade "( x )" para representar el simbolismo contemporáneo "para todo x ", es decir, " ∀ x ", y utiliza una E con serifa invertida para representar "existe un x ", es decir, "(Ǝx)", es decir, el contemporáneo "∃x". La notación típica sería similar a la siguiente:

"( x ) . φ x " significa "para todos los valores de la variable x , la función φ se evalúa como verdadera"
"(Ǝ x ) . φ x " significa "para algún valor de la variable x , la función φ se evalúa como verdadera"

Secciones ✱10, ✱11, ✱12: Propiedades de una variable extendidas a todos los individuos : la sección ✱10 introduce la noción de "una propiedad" de una "variable". PM da el ejemplo: φ es una función que indica "es griego", ψ indica "es hombre" y χ indica "es mortal". Estas funciones se aplican a una variable x . PM ahora puede escribir y evaluar:

( x ) . ψ x

La notación anterior significa "para todo x , x es un hombre". Dada una colección de individuos, se puede evaluar la fórmula anterior para determinar si es verdadera o falsa. Por ejemplo, dada la colección restringida de individuos {Sócrates, Platón, Russell, Zeus}, la fórmula anterior se evalúa como "verdadera" si permitimos que Zeus sea un hombre. Pero falla para:

( x ) . φ x

porque Russell no es griego. Y falla para

( x ) . χ x

porque Zeus no es mortal.

Con esta notación, PM puede crear fórmulas para expresar lo siguiente: «Si todos los griegos son hombres y si todos los hombres son mortales, entonces todos los griegos son mortales». ( PM 1962:138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) . φ x ⊃ χ x

Otro ejemplo: la fórmula:

✱10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ∾( x ) . ∾φ x Df .

significa "Los símbolos que representan la afirmación 'Existe al menos un x que satisface la función φ' se definen mediante los símbolos que representan la afirmación 'No es cierto que, dados todos los valores de x , no existan valores de x que satisfagan φ'".

Los símbolos ⊃ x y "≡ x " aparecen en ✱10.02 y ✱10.03 . Ambos son abreviaturas de universalidad (es decir, para todos) que vinculan la variable x al operador lógico. La notación contemporánea simplemente habría usado paréntesis fuera del signo de igualdad ("="):

✱10.02 φ x ⊃ x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df
Notación contemporánea: ∀ x (φ( x ) → ψ( x )) (o una variante)
✱10.03 φ x ≡ x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df
Notación contemporánea: ∀ x (φ( x ) ↔︎ ψ( x )) (o una variante)

PM atribuye el primer simbolismo a Peano.

La sección ✱11 aplica este simbolismo a dos variables. Por lo tanto, las siguientes notaciones: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x, y podrían aparecer en una sola fórmula.

La sección ✱12 reintroduce la noción de "matriz" ( tabla de verdad contemporánea ), la noción de tipos lógicos y, en particular, las nociones de funciones y proposiciones de primer y segundo orden .

El nuevo simbolismo "φ ! x " representa cualquier valor de una función de primer orden. Si se coloca un acento circunflejo "^" sobre una variable, entonces se trata de un valor "individual" de y , lo que significa que " ŷ " indica "individuos" (por ejemplo, una fila en una tabla de verdad); esta distinción es necesaria debido a la naturaleza matricial/extensional de las funciones proposicionales.

Ahora, con la noción de matriz, PM puede afirmar su controvertido axioma de reducibilidad : una función de una o dos variables (dos son suficientes para el uso de PM ) cuyos valores están dados (es decir, en su matriz) es (lógicamente) equivalente ("≡") a alguna función "predicativa" de las mismas variables. La definición de una variable se presenta a continuación como ilustración de la notación ( PM 1962:166–167):

✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ x . f ! x Pp ;

Pp es una "proposición primitiva" ("Proposiciones asumidas sin prueba") ( PM 1962:12, es decir, "axiomas" contemporáneos), que se suma a las 7 definidas en la sección ✱1 (que comienza con ✱1.1 modus ponens ). Estas deben distinguirse de las "ideas primitivas" que incluyen el signo de aserción "⊢", la negación "∾", la disyunción lógica "V", las nociones de "proposición elemental" y "función proposicional elemental"; estas son lo más cercano que PM llega a las reglas de formación notacional, es decir, la sintaxis .

Esto significa: «Afirmamos la verdad de lo siguiente: Existe una función f con la propiedad de que, dados todos los valores de x , sus evaluaciones en la función φ (es decir, la matriz resultante) son lógicamente equivalentes a alguna f evaluada en esos mismos valores de x (y viceversa, por lo tanto, equivalencia lógica)». En otras palabras: dada una matriz determinada por la propiedad φ aplicada a la variable x , existe una función f que, al aplicarse a x, es lógicamente equivalente a la matriz. O bien: toda matriz φ x puede representarse mediante una función f aplicada a x , y viceversa.

✱13: El operador de identidad "=" : Esta es una definición que utiliza el signo de dos maneras diferentes, como lo señala la cita de PM :

✱13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

medio:

"Esta definición establece que x e y se consideran idénticas cuando toda función predicativa que satisface x también la satisface y ... Nótese que el segundo signo de igualdad en la definición anterior se combina con "Df", y por lo tanto no es realmente el mismo símbolo que el signo de igualdad que se define."

El signo de desigualdad "≠" aparece como definición en ✱13.02 .

✱14: Descripciones :

"Una descripción es una frase de la forma "el término y que satisface φ ŷ , donde φ ŷ es alguna función satisfecha por uno y solo un argumento." [ 23 ]

A partir de ahora, PM emplea dos nuevos símbolos: una "E" directa y una "℩" invertida. He aquí un ejemplo:

✱14.02 . ¡E ! ( ℩ y ) (φ y ) . = : ( Ǝ segundo ) : φ y . ≡y .​ y = bDf .​

Esto tiene el siguiente significado:

"Existe la y que satisface φ ŷ ", lo cual se cumple cuando, y solo cuando, φ ŷ es satisfecha por un valor de y y por ningún otro valor." ( PM 1967:173–174)

Introducción a la notación de la teoría de clases y relaciones

El texto salta de la sección ✱14 directamente a las secciones fundamentales ✱20 TEORÍA GENERAL DE CLASES y ✱21 TEORÍA GENERAL DE RELACIONES . Las "relaciones" son lo que se conoce en la teoría de conjuntos contemporánea como conjuntos de pares ordenados . Las secciones ✱20 y ✱22 introducen muchos de los símbolos que todavía se usan en la actualidad. Estos incluyen los símbolos "ε", "⊂", "∩", "∪", "–", "Λ" y "V": "ε" significa "es un elemento de" ( PM 1962:188); "⊂" ( ✱22.01 ) significa "está contenido en", "es un subconjunto de"; "∩" ( ✱22.02 ) significa la intersección (producto lógico) de clases (conjuntos); "∪" ( ✱22.03 ) significa la unión (suma lógica) de clases (conjuntos); "–" ( ✱22.03 ) significa la negación de una clase (conjunto); "Λ" significa la clase nula; y "V" significa la clase universal o universo de discurso.

Las letras griegas minúsculas (distintas de "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ" y "θ") representan clases (p. ej., "α", "β", "γ", "δ", etc.) ( PM 1962:188):

x ε α
"El uso de una sola letra en lugar de símbolos como ẑ (φ z ) o ẑ (φ ! z ) es prácticamente indispensable, ya que de lo contrario la notación se vuelve rápidamente intolerablemente engorrosa. Así, ' x ε α' significará ' x es un miembro de la clase α'". ( PM 1962:188)
α ∪ –α = V
La unión de un conjunto y su inverso es el conjunto universal (completo). [ 24 ]
α ∩ –α = Λ
La intersección de un conjunto y su inverso es el conjunto nulo (vacío).

Cuando se aplican a las relaciones en la sección ✱23 CÁLCULO DE RELACIONES , los símbolos "⊂", "∩", "∪" y "–" adquieren un punto: por ejemplo: "⊍", "∸". [ 25 ]

La noción y notación de "una clase" (conjunto) : En la primera edición, PM afirma que no se necesitan nuevas ideas primitivas para definir lo que se entiende por "una clase", y solo dos nuevas "proposiciones primitivas" llamadas axiomas de reducibilidad para clases y relaciones, respectivamente ( PM 1962:25). [ 26 ] Pero antes de que se pueda definir esta noción, PM considera necesario crear una notación peculiar " ẑ (φz ) " que denomina "objeto ficticio" ( PM 1962:188) .

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . ( φx )
"Es decir, ' x es un miembro de la clase determinada por (φ ẑ )' es [lógicamente] equivalente a ' x satisface (φ ẑ ),' o a '(φ x ) es verdadero'". ( PM 1962:25)

Al menos PM puede decirle al lector cómo se comportan estos objetos ficticios, porque "Una clase es totalmente determinada cuando se conoce su pertenencia, es decir, no puede haber dos clases diferentes que tengan la misma pertenencia" ( PM 1962:26). Esto se simboliza mediante la siguiente igualdad (similar a ✱13.01 anterior:

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( x ) : φ x . ≡ . ψ x
"Esta última es la característica distintiva de las clases, y justifica que tratemos a ẑ (ψ z ) como la clase determinada por [la función] ψ ẑ ." ( PM 1962:188)

Quizás lo anterior se pueda aclarar mediante la discusión de clases en la Introducción a la Segunda Edición , que descarta el Axioma de Reducibilidad y lo reemplaza con la noción: "Todas las funciones de funciones son extensionales" ( PM 1962:xxxix), es decir,

φ x ≡ x ψ x . ⊃ . ( x ) : ƒ(φ ẑ ) ≡ ƒ(ψ ẑ ) ( PM 1962:xxxix)

Esto tiene el significado razonable de que "SI para todos los valores de x los valores de verdad de las funciones φ y ψ de x son [lógicamente] equivalentes, ENTONCES la función ƒ de un φ dado y ƒ de ψ son [lógicamente] equivalentes". PM afirma que esto es "obvio":

"Esto es obvio, ya que φ solo puede aparecer en ƒ(φ ẑ ) mediante la sustitución de valores de φ por p, q, r, ... en una función [lógica], y, si φ x ≡ ψ x , la sustitución de φ x por p en una función [lógica] da el mismo valor de verdad a la función de verdad que la sustitución de ψ x . En consecuencia, ya no hay razón para distinguir entre clases de funciones, pues tenemos, en virtud de lo anterior,
φ x ≡ x ψ x . ⊃ . ( x ) . φẑ = .​ ψ ẑ ".

Obsérvese el cambio en el signo de igualdad "=" a la derecha. PM continúa afirmando que seguirá manteniendo la notación " ẑ (φ z )", pero esto es simplemente equivalente a φ ẑ , y esta es una clase. (todas las citas: PM 1962:xxxix).

Coherencia y críticas

[Russell] dijo en una ocasión, tras haber tenido cierto contacto con el idioma chino, que le horrorizó descubrir que el idioma de Principia Mathematica era indoeuropeo.

Según Carnap en su obra "Fundamentos lógicos de las matemáticas", Russell buscaba una teoría que pudiera derivar plausiblemente toda la matemática a partir de axiomas puramente lógicos. Sin embargo, Principia Mathematica requería, además de los axiomas básicos de la teoría de tipos, tres axiomas adicionales que parecían no ser ciertos como meras cuestiones de lógica: el axioma del infinito , el axioma de elección y el axioma de reducibilidad . Dado que los dos primeros eran axiomas existenciales, Russell formuló enunciados matemáticos que dependían de ellos como condicionales. Pero la reducibilidad era necesaria para asegurar que los enunciados formales expresaran correctamente incluso enunciados de análisis real, de modo que los enunciados que dependían de ella no podían reformularse como condicionales. Frank Ramsey intentó argumentar que la derivación de la teoría de tipos por parte de Russell era innecesaria, por lo que la reducibilidad podía eliminarse, pero estos argumentos resultaron inconclusos.

Más allá del estatus de los axiomas como verdades lógicas , se pueden plantear las siguientes preguntas sobre cualquier sistema como PM:

Se sabía que la lógica proposicional era consistente, pero no se había establecido lo mismo para los axiomas de la teoría de conjuntos de Principia . (Véase el segundo problema de Hilbert ). Russell y Whitehead sospechaban que el sistema de Principia era incompleto: por ejemplo, señalaron que no parecía lo suficientemente potente como para demostrar la existencia del cardinal ℵ ω . Sin embargo, cabe preguntarse si alguna extensión recursivamente axiomatizable del mismo es completa y consistente.

Gödel 1930, 1931

En 1930, el teorema de completitud de Gödel demostró que la lógica de predicados de primer orden era completa en un sentido mucho más débil; es decir, cualquier enunciado que no pueda demostrarse a partir de un conjunto dado de axiomas debe ser falsa en algún modelo de dichos axiomas. Sin embargo, este no es el sentido más estricto de completitud deseado para Principia Mathematica , ya que un sistema dado de axiomas (como los de Principia Mathematica ) puede tener muchos modelos, en algunos de los cuales una afirmación dada es verdadera y en otros es falsa, de modo que la afirmación queda sin resolver por los axiomas.

Los teoremas de incompletitud de Gödel arrojan una luz inesperada sobre estas dos cuestiones relacionadas.

El primer teorema de incompletitud de Gödel demostró que ninguna extensión recursiva de Principia podía ser a la vez consistente y completa para enunciados aritméticos. (Como se mencionó anteriormente, ya se sabía que Principia era incompleta para algunos enunciados no aritméticos). Según el teorema, dentro de todo sistema lógico recursivo suficientemente potente (como Principia ), existe un enunciado G que esencialmente dice: "El enunciado G no puede ser probado". Este enunciado es una especie de paradoja : si G es demostrable, entonces es falso, y por lo tanto el sistema es inconsistente; y si G no es demostrable, entonces es verdadero, y por lo tanto el sistema es incompleto.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel (1931) demuestra que ningún sistema formal que extienda la aritmética básica puede utilizarse para probar su propia consistencia. Por lo tanto, la afirmación «no hay contradicciones en el sistema Principia » no puede probarse en dicho sistema a menos que existan contradicciones (en cuyo caso puede probarse tanto como verdadera como falsa).

Wittgenstein 1919, 1939

Para la segunda edición de PM , Russell había sustituido su axioma de reducibilidad por un nuevo axioma (aunque no lo afirma explícitamente). Gödel 1944:126 lo describe así:

Este cambio está relacionado con el nuevo axioma de que las funciones solo pueden aparecer en proposiciones "a través de sus valores", es decir, extensionalmente... [esto es] bastante aceptable incluso desde el punto de vista constructivo... siempre que los cuantificadores se restrinjan siempre a órdenes definidos". Este cambio de una postura cuasi- intensional a una postura totalmente extensional también restringe la lógica de predicados al segundo orden, es decir, funciones de funciones: "Podemos decidir que las matemáticas se limiten a funciones de funciones que cumplan con la suposición anterior".

— PM 2.ª edición, pág. 401, Apéndice C 

Esta nueva propuesta tuvo un resultado nefasto. Una "postura extensional" y la restricción a una lógica de predicados de segundo orden implican que una función proposicional extendida a todos los individuos, como "Todos los 'x' son azules", ahora debe enumerar todos los 'x' que satisfacen (son verdaderos en) la proposición, enumerándolos en una conjunción posiblemente infinita: por ejemplo, x 1 ∧ x 2 ∧ . . . ∧ x n ∧ . . . Irónicamente, este cambio surgió como resultado de las críticas de Ludwig Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus de 1919. Como lo describe Russell en la Introducción a la Segunda Edición de PM :

Existe otro enfoque, recomendado por Wittgenstein† († Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ss.) por razones filosóficas. Este consiste en asumir que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función solo puede aparecer en una proposición a través de sus valores. [...] [Tras analizar las consecuencias], parece que todo lo expuesto en el Vol. I sigue siendo cierto (aunque a menudo se requieren nuevas demostraciones); la teoría de los cardinales y ordinales inductivos se mantiene; pero parece que la teoría de las series de Dedekindia infinitas y bien ordenadas se derrumba en gran medida, de modo que los números irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente. Asimismo, la demostración de Cantor de que 2 n > n se rompe a menos que n sea finito.

— PM 2.ª edición reimpresa 1962:xiv, véase también el nuevo Apéndice C)

En otras palabras, el hecho de que no se pueda especificar una lista infinita de manera realista significa que el concepto de "número" en el sentido infinito (es decir, el continuo) no puede ser descrito por la nueva teoría propuesta en PM Segunda Edición .

Wittgenstein, en sus Lecciones sobre los fundamentos de las matemáticas, Cambridge 1939, criticó los Principia por varios motivos, tales como:

  • Pretende revelar los fundamentos de la aritmética. Sin embargo, son nuestras prácticas aritméticas cotidianas, como el conteo, las que resultan fundamentales; pues si surgiera una discrepancia persistente entre el conteo y los Principia , esto se consideraría evidencia de un error en los Principia (por ejemplo, que los Principia no caracterizaban correctamente los números o la suma), y no evidencia de un error en el conteo cotidiano.
  • Los métodos de cálculo de los Principia solo pueden utilizarse en la práctica con números muy pequeños. Para calcular con números grandes (por ejemplo, miles de millones), las fórmulas se volverían demasiado largas y habría que recurrir a algún método abreviado, que sin duda se basaría en técnicas cotidianas como el conteo (o bien en métodos no fundamentales y, por lo tanto, cuestionables, como la inducción). Así pues, los Principia dependen de técnicas cotidianas, y no al revés.

Sin embargo, Wittgenstein admitió que los Principia podrían, no obstante, aclarar algunos aspectos de la aritmética cotidiana.

Gödel 1944

Gödel ofreció una "discusión crítica pero comprensiva del orden logicista de las ideas" en su artículo de 1944 "La lógica matemática de Russell". [ 28 ] Escribió:

Es lamentable que esta primera presentación exhaustiva y completa de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella carezca tanto de precisión formal en los fundamentos (contenidos en ✱1–✱21 de Principia [es decir, secciones ✱1–✱5 (lógica proposicional), ✱8–14 (lógica de predicados con identidad/igualdad), ✱20 (introducción a la teoría de conjuntos) y ✱21 (introducción a la teoría de relaciones)]), lo que representa en este sentido un considerable retroceso en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una formulación precisa de la sintaxis del formalismo. Se omiten consideraciones sintácticas incluso en los casos en que son necesarias para la solidez de las demostraciones... El asunto es especialmente dudoso para la regla de sustitución y para reemplazar los símbolos definidos por sus definiens ... es principalmente la regla de sustitución la que habría que demostrar. [ 15 ]

Contenido

✱54.43 : «De esta proposición se deduce, una vez definida la suma aritmética, que 1 + 1 = 2». – Volumen I, 1.ª edición, pág. 379 (pág.  362 en la 2.ª edición; pág.  360 en la versión abreviada). (La demostración se completa en el Volumen II, 1.ª edición, página 86, acompañada del comentario: «La proposición anterior resulta útil en ocasiones». Continúan diciendo: «Se utiliza al menos tres veces, en ✱113.66 y ✱120.123.472».)

Parte I Lógica matemática. Volumen I ✱1 a ✱43

Esta sección describe el cálculo proposicional y de predicados, y presenta las propiedades básicas de las clases, las relaciones y los tipos.

Parte II. Prolegómenos a la aritmética cardinal. Volumen I ✱50 a ✱97

Esta parte abarca diversas propiedades de las relaciones, especialmente aquellas necesarias para la aritmética cardinal.

Parte III Aritmética cardinal. Volumen II ✱100 a ✱126

Esto abarca la definición y las propiedades básicas de los cardinales. Un cardinal se define como una clase de equivalencia de clases similares (a diferencia de ZFC , donde un cardinal es un tipo especial de ordinal de von Neumann). Cada tipo tiene su propia colección de cardinales asociados, y se requiere una cantidad considerable de contabilidad para comparar cardinales de diferentes tipos. PM define la suma, la multiplicación y la exponenciación de cardinales, y compara diferentes definiciones de cardinales finitos e infinitos. ✱120.03 es el Axioma del infinito.

Parte IV Relación-aritmética. Volumen II ✱150 a ✱186

Un "número de relación" es una clase de equivalencia de relaciones isomorfas. PM define análogos de suma, multiplicación y exponenciación para relaciones arbitrarias. La suma y la multiplicación son similares a la definición habitual de suma y multiplicación de ordinales en ZFC, aunque la definición de exponenciación de relaciones en PM no es equivalente a la habitual en ZFC.

Serie Parte V. Volumen II ✱200 a ✱234 y volumen III ✱250 a ✱276

Esto abarca las series, que es el término que usa PM para lo que ahora se denomina un conjunto totalmente ordenado. En particular, abarca las series completas, las funciones continuas entre series con la topología de orden (aunque, por supuesto, no utilizan esta terminología), las series bien ordenadas y las series sin "huecos" (aquellas con un miembro estrictamente entre dos miembros cualesquiera).

Parte VI Cantidad. Volumen III ✱300 a ✱375

Esta sección construye el anillo de los números enteros, los cuerpos de los números racionales y reales, y las "familias de vectores", que están relacionadas con lo que ahora se denomina torsores sobre grupos abelianos.

Comparación con la teoría de conjuntos

Esta sección compara el sistema de PM con los fundamentos matemáticos habituales de ZFC. El sistema de PM es aproximadamente comparable en robustez con la teoría de conjuntos de Zermelo (o, más precisamente, con una versión de la misma donde el axioma de separación tiene todos los cuantificadores acotados).

  • El sistema de lógica proposicional y cálculo de predicados en PM es esencialmente el mismo que se utiliza actualmente, salvo que la notación y la terminología han cambiado.
  • La diferencia más evidente entre la teoría de la información y la teoría de conjuntos es que, en la teoría de la información, todos los objetos pertenecen a uno de varios tipos disjuntos. Esto significa que todo se duplica para cada tipo (infinito): por ejemplo, cada tipo tiene sus propios ordinales, cardinales, números reales, etc. Esto conlleva una gran cantidad de trámites para relacionar los distintos tipos entre sí.
  • En ZFC, las funciones se codifican normalmente como conjuntos de pares ordenados. En PM, se tratan de forma bastante diferente. En primer lugar, "función" significa "función proposicional", algo que toma valores verdadero o falso. En segundo lugar, las funciones no están determinadas por sus valores: es posible tener varias funciones diferentes que tomen los mismos valores (por ejemplo, se podría considerar 2x + 2 y 2( x + 1) como funciones diferentes porque los programas informáticos para evaluarlas son diferentes). Las funciones en ZFC dadas por conjuntos de pares ordenados corresponden a lo que PM llama "matrices", y las funciones más generales en PM se codifican cuantificando sobre algunas variables. En particular, PM distingue entre funciones definidas mediante cuantificación y funciones no definidas mediante cuantificación, mientras que ZFC no hace esta distinción.
  • La teoría de la probabilidad no tiene un análogo del axioma de reemplazo , aunque esto tiene poca importancia práctica ya que este axioma se usa muy poco en matemáticas fuera de la teoría de conjuntos.
  • La matemática de Pearson enfatiza las relaciones como concepto fundamental, mientras que en la práctica matemática moderna se consideran más fundamentales las funciones que las relaciones; por ejemplo, la teoría de categorías enfatiza los morfismos o las funciones en lugar de las relaciones. (Sin embargo, existe un análogo de las categorías llamado alegorías que modela relaciones en lugar de funciones, y es bastante similar al sistema de tipos de la matemática de Pearson).
  • En PM, los cardinales se definen como clases de clases similares, mientras que en ZFC los cardinales son ordinales especiales. En PM hay una colección diferente de cardinales para cada tipo con un mecanismo complejo para mover cardinales entre tipos, mientras que en ZFC solo hay un tipo de cardinal. Dado que PM no tiene ningún equivalente del axioma de reemplazo, no puede demostrar la existencia de cardinales mayores que ℵ ω .
  • En PM, los ordinales se tratan como clases de equivalencia de conjuntos bien ordenados, y al igual que con los cardinales, existe una colección diferente de ordinales para cada tipo. En ZFC, solo hay una colección de ordinales, generalmente definida como ordinales de von Neumann . Una peculiaridad extraña de PM es que no tienen un ordinal correspondiente a 1, lo que causa numerosas complicaciones innecesarias en sus teoremas. La definición de exponenciación ordinal α β en PM no es equivalente a la definición habitual en ZFC y tiene algunas propiedades bastante indeseables: por ejemplo, no es continua en β y no está bien ordenada (por lo que ni siquiera es un ordinal).
  • Las construcciones de números enteros, racionales y reales en ZFC se han simplificado considerablemente con el tiempo en comparación con las construcciones en PM.

Diferencias entre ediciones

Aparte de las correcciones de erratas, el texto principal de PM permanece sin cambios entre la primera y la segunda edición. El texto principal de los volúmenes 1 y 2 se reordenó para que ocupara menos páginas en cada uno. En la segunda edición, el volumen 3 no se reordenó, sino que se reimprimió fotográficamente con la misma numeración de páginas; aun así, se realizaron correcciones. El número total de páginas (sin incluir las guardas) en la primera edición es de 1996; en la segunda, de 2000. El volumen 1 incluye cinco nuevas adiciones:

  • Una introducción de 54 páginas escrita por Russell describe los cambios que habrían realizado de haber contado con más tiempo y energía. El principal cambio que sugiere es la eliminación del controvertido axioma de reducibilidad, aunque admite no conocer un sustituto satisfactorio. También se muestra más favorable a la idea de que una función debe estar determinada por sus valores (como es habitual en la práctica matemática moderna).
  • Apéndice A, numerado como *8, 15 páginas, sobre el derrame cerebral de Sheffer.
  • Apéndice B, numerado como *89, que trata sobre la inducción sin el axioma de reducibilidad.
  • Apéndice C, 8 páginas, que trata sobre las funciones proposicionales.
  • Al final se incluye una lista de definiciones de 8 páginas, que proporciona un índice muy necesario de las aproximadamente 500 notaciones utilizadas.

En 1962, Cambridge University Press publicó una edición de bolsillo abreviada que contenía partes de la segunda edición del Volumen 1: la nueva introducción (y la antigua), el texto principal hasta *56 y los Apéndices A y C.

Legado

Andrew D. Irvine afirma que la filosofía de las matemáticas ( PM) despertó interés en la lógica simbólica e impulsó el desarrollo de la materia al popularizarla; puso de manifiesto las capacidades y el potencial de la lógica simbólica; y demostró cómo los avances en la filosofía de las matemáticas y la lógica simbólica podían ir de la mano con una enorme fecundidad. [ 2 ] La PM surgió en parte del interés por el logicismo , la postura según la cual todas las verdades matemáticas son verdades lógicas. Aunque imperfecta, la PM influiría en varios avances posteriores en la metalógica, incluidos los teoremas de incompletitud de Gödel . [ 29 ]

La notación lógica en PM no fue ampliamente adoptada, posiblemente porque sus fundamentos a menudo se consideran una forma de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

El interés académico, histórico y filosófico en PM es grande y constante, y los matemáticos siguen trabajando con PM , ya sea por la razón histórica de comprender el texto o a sus autores, o para profundizar en la comprensión de las formalizaciones de las matemáticas y la lógica. [ 30 ]

La Modern Library colocó a PM en el puesto 23 de su lista de los 100 mejores libros de no ficción en inglés del siglo XX. [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1963). Principia Mathematica (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 1 . 
  2. 1 2 3 Irvine, Andrew D. (1 de mayo de 2003). "Principia Mathematica (Enciclopedia de Filosofía de Stanford)" . Laboratorio de Investigación en Metafísica, CSLI, Universidad de Stanford . Recuperado el 5 de agosto de 2009 .
  3. 1 2 "Los 100 mejores libros de no ficción del siglo según The Modern Library" . The New York Times Company. 30 de abril de 1999. Consultado el 5 de agosto de 2009 .
  4. ↑ Este conjunto se toma de Kleene 1952 , pág. 69 , sustituyendo → por ⊃. 
  5. ↑ Kleene 1952 , pág. 71 , Enderton 2001 , pág. 15 .  
  6. ↑ Enderton 2001 , pág. 16.
  7. ↑ Esta es la palabra utilizada por Kleene 1952 , p. 78 . 
  8. ↑ Cita de Kleene 1952:45. Véase la discusión sobre LOGICISMO en las páginas 43-46.
  9. ↑ En su sección 8.5.4, « A tientas hacia la metalógica», Grattan-Guinness (2000:454 y ss.) analiza la recepción crítica que los lógicos estadounidenses dieron a la segunda edición de los Principia . Por ejemplo, Sheffer «se mostró perplejo ante el hecho de que “ para dar cuenta de la lógica, debemos presuponer y emplear la lógica ”» (p. 452). Y Bernstein concluyó su reseña de 1926 con el comentario de que «Esta distinción entre la lógica proposicional como sistema matemático y como lenguaje debe hacerse si se quieren evitar errores graves; esta distinciónno la hacen los Principia » (p. 454).
  10. ↑ Esta idea se debe al Tractatus de Wittgenstein . Véase la discusión en PM 1962:xiv–xv)
  11. ↑ PM 1927:xiv
  12. ↑ PM 1927:xlv
  13. ↑ Hardy 2004 , pág. 83.
  14. ↑ Linsky, Bernard (2018). Zalta, Edward N. (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford . Recuperado el 1 de mayo de 2018 – a través de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford.
  15. 1 2 Gödel 1944 , pág. 126 (reimpreso en Gödel 1990 , pág. 120).
  16. ↑ Para comparar, véase la parte traducida de Peano 1889 en van Heijenoort 1967:81ff.
  17. ↑ Este trabajo se puede encontrar en van Heijenoort 1967:1ff.
  18. ↑ Véase también la nota al pie, ambas en PM 1927:92
  19. ↑ Bertrand Russell (1959). "Capítulo VII". Mi desarrollo filosófico .
  20. ↑ La tipografía original es un cuadrado de mayor grosor que el punto final convencional.
  21. ↑ El primer ejemplo proviene de plato.stanford.edu (loc.cit.).
  22. ↑ pág. xiii de 1927 que aparece en la edición de bolsillo de 1962 a ✱56 .
  23. ↑ La tipografía original emplea una x con acento circunflejo en lugar de ŷ ; esto continúa a continuación.
  24. ↑ Véanse los diez postulados de Huntington, en particular los postulados IIa y IIb en PM 1962:205 y la discusión en la pág. 206.
  25. ↑ El signo "⊂" tiene un punto en su interior, y el signo de intersección "∩" tiene un punto encima; estos no están disponibles en la fuente "Arial Unicode MS".
  26. ↑ Wiener 1914 "Una simplificación de la lógica de las relaciones" (van Heijenoort 1967:224ss) resolvió la segunda de estas cuando mostró cómo reducir la teoría de las relaciones a la de las clases.
  27. ↑ Littlewood 1986 , pág. 130.
  28. ↑ Kleene 1952 , pág. 46.
  29. ↑ Gödel, Kurt (2022) [1962]. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados . Traducido por B. Meltzer, introducción de RB Braithwaite. Basic Books. ISBN 978-1-77323-753-4.
  30. ↑ Landini, Gregory (2021). Principia Mathematica Redux. En F. Boccuni y A. Sereni (eds.), Orígenes y variedades del logicismo: sobre los fundamentos lógico-filosóficos de las matemáticas (1.ª ed.). Routledge. págs. 309–348 .  

Bibliografía

Ediciones

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La primera edición fue reimpresa en 2009 por Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.