Principio de indiferencia

El principio de indiferencia (también llamado principio de razón insuficiente ) es una regla para asignar probabilidades epistémicas . El principio de indiferencia establece que, en ausencia de evidencia relevante, los agentes deben distribuir su credibilidad (o "grados de creencia") de manera equitativa entre todos los resultados posibles considerados. ^{[ 1 ]} Puede considerarse una aplicación del principio de parsimonia y un caso especial del principio de máxima entropía . En probabilidad bayesiana , esta es la distribución a priori no informativa más simple .

Los ejemplos más comunes en los libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son las monedas , los dados y las cartas .

El ejemplo de la baraja, más que ningún otro, muestra la dificultad de aplicar el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la expresión "orden arbitrario" es simplemente que no tenemos información que nos lleve a favorecer una carta en particular. En la práctica, esto rara vez sucede: una baraja nueva no está en un orden arbitrario, ni tampoco la baraja inmediatamente después de una mano. Por lo tanto, en la práctica, barajamos las cartas; esto no destruye la información que tenemos, sino que (con suerte) la vuelve prácticamente inutilizable, aunque en principio sigue siendo útil. De hecho, algunos jugadores expertos de blackjack pueden seguir la trayectoria de los ases a lo largo de la baraja; para ellos, no se cumple la condición para aplicar el principio de indiferencia.

En un sistema macroscópico , al menos, debe asumirse que las leyes físicas que rigen el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como observó hace algunos siglos John Arbuthnot (en el prefacio de Of the Laws of Chance , 1692),

Es imposible que un dado, con una fuerza y ​​dirección tan determinadas, no caiga en ese lado determinado; solo que desconozco la fuerza y ​​la dirección que lo hacen caer en ese lado determinado, y por eso lo llamo azar, que no es más que la falta de arte...

Según el principio del determinismo causal , con suficiente tiempo y recursos, no hay razón fundamental para suponer que no se podrían realizar mediciones suficientemente precisas que permitieran predecir el resultado de monedas, dados y cartas con alta exactitud: el trabajo de Persi Diaconis con máquinas de lanzamiento de monedas es un ejemplo práctico de ello. ^{[ 2 ]}

Aplicar incorrectamente el principio de indiferencia puede fácilmente conducir a resultados sin sentido, especialmente en el caso de variables continuas multivariadas. Un ejemplo típico de mal uso es el siguiente:

• Supongamos que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja indica que el cubo tiene una longitud de lado de entre 3 y 5  cm.
• No conocemos la longitud exacta del lado, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4  cm.
• La información de la etiqueta nos permite calcular que la superficie del cubo está entre 54 y 150  cm² ^. No conocemos la superficie real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de ¹⁰²  cm² .
• La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo está entre 27 y 125  cm³ ^. No conocemos el volumen real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de ⁷⁶  cm³ .
• Sin embargo, hemos llegado a la conclusión imposible de que el cubo tiene una longitud de lado de 4 ^cm ,  una superficie de 102  cm² y un volumen de 76 cm³ ^. 

En este ejemplo, las estimaciones mutuamente contradictorias de la longitud, el área de la superficie y el volumen del cubo surgen porque hemos asumido tres distribuciones mutuamente contradictorias para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme para las otras dos. En general, el principio de indiferencia no indica qué variable (por ejemplo, en este caso, longitud, área de la superficie o volumen) debe tener una distribución de probabilidad epistémica uniforme .

Otro ejemplo clásico de este tipo de mal uso es la paradoja de Bertrand . Edwin T. Jaynes introdujo el principio de grupos de transformación , que puede generar una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, al decir que uno es indiferente entre problemas equivalentes en lugar de ser indiferente entre proposiciones. Esto se reduce al principio de indiferencia ordinario cuando se considera una permutación de las etiquetas como generadora de problemas equivalentes (es decir, usando el grupo de transformación de permutación). Para aplicar esto al ejemplo de la caja anterior, tenemos tres variables aleatorias relacionadas por ecuaciones geométricas. Si no tenemos ninguna razón para favorecer un trío de valores sobre otro, entonces nuestras probabilidades previas deben estar relacionadas por la regla para variables cambiantes en distribuciones continuas. Sea L la longitud y V el volumen. Entonces debemos tener

${\displaystyle f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$,

dónde${\displaystyle f_{L},\,f_{V}}$son las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de las variables indicadas. Esta ecuación tiene una solución general:${\displaystyle f(L)={K \over L}}$donde K es una constante de normalización, determinada por el rango de L , en este caso igual a:

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

Para poner esto a prueba, preguntamos por la probabilidad de que la longitud sea menor que 4. Esto tiene una probabilidad de:

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Para el volumen, esto debería ser igual a la probabilidad de que el volumen sea menor que 4 ³ = 64. La función de densidad de probabilidad del volumen es

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$.

Y entonces la probabilidad de volumen menor a 64 es

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

De este modo, hemos logrado la invariancia con respecto al volumen y la longitud. También se puede demostrar la misma invariancia con respecto al área superficial, siempre que sea menor que 6(4² ⁾ = 96. Sin embargo, cabe señalar que esta asignación de probabilidad no es necesariamente "correcta". La distribución exacta de longitudes, volúmenes o áreas superficiales dependerá de cómo se lleve a cabo el "experimento".

La hipótesis fundamental de la física estadística , según la cual dos microestados cualesquiera de un sistema con la misma energía total son igualmente probables en equilibrio , constituye, en cierto modo, un ejemplo del principio de indiferencia. Sin embargo, cuando los microestados se describen mediante variables continuas (como posiciones y momentos), se requiere una base física adicional para explicar bajo qué parametrización la densidad de probabilidad será uniforme. El teorema de Liouville justifica el uso de variables canónicamente conjugadas , como las posiciones y sus momentos conjugados.

La paradoja del vino y el agua plantea un dilema con variables interrelacionadas, y la cuestión es cuál elegir.

Este principio se deriva del principio de Epicuro de las "explicaciones múltiples" (pleonachos tropos), ^{[ 3 ]} según el cual "si más de una teoría es consistente con los datos, consérvenlas todas". El epicúreo Lucrecio desarrolló este punto con una analogía de las múltiples causas de muerte de un cadáver. ^{[ 4 ]} Los autores originales sobre probabilidad, principalmente Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace , consideraron que el principio de indiferencia era intuitivamente obvio y ni siquiera se molestaron en darle un nombre. Laplace escribió:

La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los eventos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre cuya existencia podemos estar igualmente indecisos, y en determinar el número de casos favorables al evento cuya probabilidad se busca. La razón entre este número y el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por lo tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Estos autores anteriores, en particular Laplace, generalizaron ingenuamente el principio de indiferencia al caso de parámetros continuos, dando lugar a la denominada "distribución de probabilidad a priori uniforme", una función constante sobre todos los números reales. Utilizó esta función para expresar una completa falta de conocimiento sobre el valor de un parámetro. Según Stigler (página 135), la suposición de Laplace sobre las probabilidades a priori uniformes no era una suposición metafísica. ^{[ 5 ]} Era una suposición implícita para facilitar el análisis.

El principio de razón insuficiente fue su nombre original, dado por Johannes von Kries , ^{[ 6 ]} posiblemente como un juego de palabras con el principio de razón suficiente de Leibniz . Estos autores posteriores ( George Boole , John Venn y otros) objetaron el uso de la distribución a priori uniforme por dos razones. La primera es que la función constante no es normalizable y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad adecuada. La segunda es su inaplicabilidad a variables continuas, como se describió anteriormente.

El "principio de razón insuficiente" fue renombrado como "principio de indiferencia" por John Maynard Keynes ( 1921 ) , ^{[ 7 ]} quien tuvo cuidado de señalar que se aplica solo cuando no hay conocimiento que indique probabilidades desiguales. 

Los intentos de fundamentar esta noción en bases filosóficas más sólidas generalmente han comenzado con el concepto de equiprobabilidad y han progresado a partir de él hasta la equiprobabilidad .

El principio de indiferencia puede justificarse lógicamente con mayor profundidad al considerar que a estados de conocimiento equivalentes se les deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por Edwin Thompson Jaynes y conduce a dos generalizaciones: el principio de grupos de transformación , como en la distribución a priori de Jeffreys , y el principio de máxima entropía . ^{[ 8 ]}

• epistemología bayesiana
• Equilibrio clínico
• Regla de sucesión : una fórmula para estimar probabilidades subyacentes cuando hay pocas observaciones, o para eventos que no se han observado en absoluto en datos de muestra (finitos).