Principio de Fermat

Supongamos que:

1. Una perturbación se propaga secuencialmente a través de un medio (un  vacío o algún material, no necesariamente homogéneo o isotrópico ), sin acción a distancia ;
2. Durante la propagación, la influencia de la perturbación en cualquier punto intermedio P sobre los puntos circundantes tiene una dispersión angular distinta de cero (como si P fuera una fuente), de modo que una perturbación originada en cualquier punto A llega a cualquier otro punto B a través de una infinidad de trayectorias, por las cuales B recibe una infinidad de versiones retardadas de la perturbación en A ; ^{[ Nota 1 ]} y
3. Estas versiones retardadas de la perturbación se reforzarán mutuamente en B si están sincronizadas dentro de cierta tolerancia.

Entonces, las distintas rutas de propagación de A a B se ayudarán mutuamente, o interferirán constructivamente, si sus tiempos de recorrido coinciden dentro de la tolerancia mencionada. Para una tolerancia pequeña (en el caso límite), el rango permisible de variaciones de la ruta se maximiza si la ruta es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación de la ruta causa como máximo un cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. ^{[ 5 ]}

El ejemplo más obvio de estacionariedad en el tiempo de recorrido es un mínimo (local o global) , es decir, un camino de menor tiempo, como en la forma "fuerte" del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento. ^{[ Nota 2 ]}

Una vez establecido que una trayectoria con tiempo de recorrido constante se ve reforzada por un corredor de trayectorias vecinas de máxima amplitud, queda por explicar cómo este refuerzo se corresponde con las nociones intuitivas de un rayo. Sin embargo, para simplificar las explicaciones, una trayectoria de rayo se define primero como una trayectoria con tiempo de recorrido constante.

Si el corredor de trayectorias que refuerzan la trayectoria de un rayo desde A a B se encuentra sustancialmente obstruido, esto alterará significativamente la perturbación que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de dicho corredor, que bloquea trayectorias que no se refuerzan entre sí. La primera obstrucción interrumpirá significativamente la señal que llega a B desde A , mientras que la segunda no lo hará; por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de señal . Si la señal es luz visible, la primera obstrucción afectará significativamente la apariencia de un objeto en A visto por un observador en B , mientras que la segunda no lo hará; por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una línea de visión .

En los experimentos ópticos, se suele asumir que una línea de visión es la trayectoria de un rayo. ^{[ 6 ]}

Si el corredor de trayectorias que refuerza la trayectoria de un rayo desde A hasta B se encuentra sustancialmente obstruido, esto afectará significativamente la energía ^{[ Nota 3 ]} que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de dicho corredor. Por lo tanto, la trayectoria del rayo marca una ruta de energía , al igual que un haz.

Supongamos que un frente de onda que se expande desde el punto A pasa por el punto P , que se encuentra en la trayectoria de un rayo desde el punto A hasta el punto B. Por definición, todos los puntos del frente de onda tienen el mismo tiempo de propagación desde A. Ahora bien, supongamos que el frente de onda está bloqueado excepto por una ventana, centrada en P y lo suficientemente pequeña como para estar dentro del corredor de trayectorias que refuerzan la trayectoria del rayo desde A hasta B. Entonces, todos los puntos de la porción no obstruida del frente de onda tendrán tiempos de propagación casi iguales hasta B , pero no hasta puntos en otras direcciones, de modo que B estará en la dirección de máxima intensidad del haz admitido a través de la ventana. ^{[ 7 ]} Así, la trayectoria del rayo marca el haz. Y en experimentos ópticos, un haz se considera habitualmente como una colección de rayos o (si es estrecho) como una aproximación a un rayo (Fig. 3). ^{[ 8 ]}

Según la forma «fuerte» del principio de Fermat, el problema de encontrar la trayectoria de un rayo de luz desde el punto A en un medio de propagación más rápida hasta el punto B en un medio de propagación más lenta ( Fig. 1 ) es análogo al problema que enfrenta un socorrista al decidir dónde entrar al agua para alcanzar a un nadador que se está ahogando lo antes posible, dado que el socorrista puede correr más rápido de lo que puede nadar. ^{[ 9 ]} Pero esa analogía no logra explicar el comportamiento de la luz, porque el socorrista puede pensar en el problema (aunque sea solo por un instante), mientras que la luz presumiblemente no puede. El descubrimiento de que las hormigas son capaces de realizar cálculos similares ^{[ 10 ]} no cierra la brecha entre lo animado y lo inanimado.

Por el contrario, las suposiciones anteriores (1) a (3) se cumplen para cualquier perturbación ondulatoria y explican el principio de Fermat en términos puramente mecanicistas , sin ninguna imputación de conocimiento o propósito.

El principio se aplica a las ondas en general, incluyendo (por ejemplo) las ondas sonoras en fluidos y las ondas elásticas en sólidos. ^{[ 11 ]} En una forma modificada, incluso funciona para las ondas de materia : en mecánica cuántica , la trayectoria clásica de una partícula se puede obtener aplicando el principio de Fermat a la onda asociada , excepto que, debido a que la frecuencia puede variar con la trayectoria, la estacionariedad está en el desfase (o número de ciclos) y no necesariamente en el tiempo. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

El principio de Fermat es más conocido, sin embargo, en el caso de la luz visible : es el vínculo entre la óptica geométrica , que describe ciertos fenómenos ópticos en términos de rayos , y la teoría ondulatoria de la luz (u óptica física), que explica los mismos fenómenos bajo la hipótesis de que la luz está compuesta de ondas . Las obstrucciones parciales también se describen mediante la difracción .

En un medio isotrópico, debido a que la velocidad de propagación es independiente de la dirección, los frentes de onda secundarios que se expanden desde puntos de un frente de onda primario en un tiempo infinitesimal dado son esféricos, ^{[ 18 ]} de modo que sus radios son normales a su superficie tangente común en los puntos de tangencia. Pero sus radios marcan las direcciones de los rayos, y su superficie tangente común es un frente de onda general. Por lo tanto, los rayos son normales (ortogonales) a los frentes de onda. ^{[ 26 ]}

Debido a que gran parte de la enseñanza de la óptica se concentra en medios isótropos, tratando los medios anisótropos como un tema opcional, la suposición de que los rayos son normales a los frentes de onda puede volverse tan generalizada que incluso el principio de Fermat se explica bajo esa suposición, aunque de hecho el principio de Fermat es más general. ^{[ 27 ]}

En un medio homogéneo (también llamado medio uniforme ), todos los frentes de onda secundarios que se expanden desde un frente de onda primario W dado en un tiempo Δt dado son congruentes y tienen una orientación similar, de modo que su envolvente W ′ puede considerarse como la envolvente de un único frente de onda secundario que conserva su orientación mientras su centro (fuente) se mueve sobre W. Si P es su centro y P ′ es su punto de tangencia con W ′ , entonces P ′ se mueve paralelamente a P , de modo que el plano tangente a W ′ en P ′ es paralelo al plano tangente a W en P. Supongamos que otro frente de onda secundario (congruente y con una orientación similar) está centrado en P ′ , se mueve con P y se encuentra con su envolvente W ″ en el punto P ″ . Entonces, por el mismo razonamiento, el plano tangente a W ″ en P ″ es paralelo a los otros dos planos. Por lo tanto, debido a la congruencia y a las orientaciones similares, las direcciones de los rayos PP′ y P′P″ son las mismas ( pero no necesariamente perpendiculares a los frentes de onda, ya que los frentes de onda secundarios no son necesariamente esféricos). Esta construcción puede repetirse cualquier número de veces, dando como resultado un rayo recto de cualquier longitud. Así, un medio homogéneo admite rayos rectilíneos. ^{[ 28 ]}

Sea Γ una trayectoria que se extiende desde el punto A hasta el punto B. Sea s la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria desde A , y sea t el tiempo que se tarda en recorrer esa longitud de arco a la velocidad del rayo.${\displaystyle v_{\mathrm {r} }}$(es decir, a la velocidad radial del frente de onda secundario local, para cada ubicación y dirección en la trayectoria). Entonces, el tiempo de recorrido de toda la trayectoria Γ es

(donde A y B simplemente denotan los puntos extremos y no deben interpretarse como valores de t o s ). La condición para que Γ sea una trayectoria de rayo es que el cambio de primer orden en T debido a un cambio en Γ sea cero; es decir, $${\displaystyle \delta T=\,\delta \int _{A}^{B}{\frac {ds}{\,v_{\mathrm {r} }\,}}\,=\,0\,.}$$

La longitud óptica de una trayectoria dada ( longitud de trayectoria óptica , OPL ) se define como la distancia recorrida por un rayo en un medio de referencia homogéneo e isótropo (por ejemplo, el vacío) en el mismo tiempo que tarda en recorrer la trayectoria dada a la velocidad local del rayo. ^{[ 29 ]} Entonces, si c denota la velocidad de propagación en el medio de referencia (por ejemplo, la velocidad de la luz en el vacío), la longitud óptica de una trayectoria recorrida en un tiempo dt es dS = c dt , y la longitud óptica de una trayectoria recorrida en un tiempo T es S = cT . Por lo tanto, multiplicando la ecuación (1) por c se obtiene  $${\displaystyle S\,=\int _{A}^{B}\!dS\,=\int _{A}^{B}{\frac {\,c\,}{v_{\mathrm {r} }}}\,ds=\int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,ds\,,}$$ dónde${\displaystyle \,n_{\mathrm {r} }=c/v_{\mathrm {r} }\,}$es el índice de rayo , es decir, el índice de refracción calculado sobre la velocidad del rayo en lugar de la velocidad de fase habitual (velocidad normal a la onda). ^{[ 30 ]} Para una trayectoria infinitesimal,${\displaystyle dS=n_{\mathrm {r} \,}ds\,,\,}$indicando que la longitud óptica es la longitud física multiplicada por el índice del rayo: la OPL es una magnitud geométrica nocional , de la cual se ha factorizado el tiempo. En términos de OPL, la condición para que Γ sea una trayectoria de rayo (principio de Fermat) se convierte en

Esto tiene la forma del principio de Maupertuis en mecánica clásica (para una sola partícula), donde el índice del rayo en óptica asume el papel del momento o la velocidad en mecánica. ^{[ 31 ]}

En un medio isotrópico, para el cual la velocidad del rayo es también la velocidad de fase, ^{[ Nota 7 ]} el índice de refracción usual n puede sustituirse por n _r . ^{[ 32 ] [ 33 ]} 

Si x , y , z son coordenadas cartesianas y un punto superior denota la diferenciación con respecto a s , el principio de Fermat (2) puede escribirse ^{[ 34 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\\&=\,\delta \int _{A}^{B}\!n_{\mathrm {r} }\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}~ds\,=\,0\,.\end{aligned}}}$$ En el caso de un medio isotrópico, n _r puede reemplazarse por el índice de refracción normal n ( x , y , z ) , que es simplemente un campo escalar . Definiendo el lagrangiano óptico ^{[ 35 ]} como $${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,=\,n(x,y,z)\,{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,,}$$ El principio de Fermat se convierte en ^{[ 36 ]}$${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\,ds\,=\,0\,.}$$ Si la dirección de propagación es siempre tal que z se puede usar en lugar de s como parámetro de la trayectoria (y el punto superior para denotar la diferenciación con respecto a z en lugar de s ), el lagrangiano óptico se puede escribir en su lugar ^{[ 37 ].} $${\displaystyle L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}=n(x,y,z)\,{\sqrt {1+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,,}$$ de modo que el principio de Fermat se convierte en $${\displaystyle \delta S=\,\delta \int _{A}^{B}\!L{\big (}x(z),y(z),{\dot {x}}(z),{\dot {y}}(z),z{\big )}\,dz\,=\,0.}$$ Esto tiene la forma del principio de Hamilton en mecánica clásica, excepto que falta la dimensión temporal: la tercera coordenada espacial en óptica asume el papel del tiempo en mecánica. ^{[ 38 ]} El lagrangiano óptico es la función que, al integrarse con respecto  al parámetro de la trayectoria, produce el OPL; es el fundamento de la óptica lagrangiana y hamiltoniana . ^{[ 39 ]}

Ibn al-Haytham , un polímata del siglo XI, extendió posteriormente este principio a la refracción, dando así una versión temprana del principio de Fermat. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

En 1657, Pierre de Fermat recibió de Marin Cureau de la Chambre una copia de un tratado recién publicado, en el que La  Chambre mencionaba el principio de Hero y se quejaba de que no funcionaba para la refracción. ^{[ 45 ]}

Fermat respondió que la refracción podría integrarse en el mismo marco teórico suponiendo que la luz seguía el camino de menor resistencia y que los diferentes medios ofrecían diferentes resistencias. Su solución final, descrita en una carta a La  Chambre fechada el 1  de enero de 1662, interpretó la «resistencia» como inversamente proporcional a la velocidad, de modo que la luz seguía el camino de menor tiempo . Esta premisa dio lugar a la ley ordinaria de la refracción, siempre que la luz viajara más lentamente en el medio ópticamente más denso. ^{[ 46 ] [ Nota 8 ]}

La solución de Fermat fue un hito porque unificó las leyes entonces conocidas de la óptica geométrica bajo un principio variacional o principio de acción , estableciendo el precedente para el principio de mínima acción en la mecánica clásica y los principios correspondientes en otros campos (véase Historia de los principios variacionales en física ). ^{[ 47 ]} Fue más notable porque utilizó el método de la adecuación , que puede entenderse en retrospectiva como encontrar el punto donde la pendiente de una cuerda infinitesimalmente corta es cero, ^{[ 48 ]} sin el paso intermedio de encontrar una expresión general para la pendiente (la derivada ).

También fue inmediatamente controvertido. La ley ordinaria de refracción se atribuía en ese momento a René Descartes (m. 1650), quien había intentado explicarla suponiendo que la luz era una fuerza que se propagaba instantáneamente , o que la luz era análoga a una pelota de tenis que viajaba más rápido en el medio más denso, ^{[ 49 ] [ 50 ]} premisas que eran inconsistentes con las de Fermat. El defensor más destacado de Descartes, Claude Clerselier , criticó a Fermat por aparentemente atribuir conocimiento e intención a la naturaleza, y por no explicar por qué la naturaleza debería preferir economizar tiempo en lugar de distancia. Clerselier escribió en parte:

1. El principio que tomas como base de tu demostración, a saber, que la naturaleza siempre actúa de la manera más breve y sencilla, es meramente un principio moral y no físico; no es, ni puede ser, la causa de ningún efecto en la naturaleza  ... Porque de otro modo le atribuiríamos conocimiento a la naturaleza; pero aquí, por "naturaleza", entendemos solo este orden y esta ley establecida en el mundo tal como es, que actúa sin previsión, sin elección y por una determinación necesaria.

2. Este mismo principio haría que la naturaleza fuera indecisa  ... Porque te pregunto  ... cuando un rayo de luz debe pasar de un punto en un medio poco denso a un punto en uno denso, ¿no hay razón para que la naturaleza dude si, según tu principio, debe elegir la línea recta en lugar de la curva, puesto que si esta última resulta más corta en tiempo, la primera es más corta y de menor longitud? ¿Quién decidirá y quién pronunciará? ^{[ 51 ]}

Fermat, al desconocer los fundamentos mecanicistas de su propio principio, no estaba en buena posición para defenderlo, salvo como una proposición puramente geométrica y cinemática . ^{[ 52 ] [ 53 ]}  La teoría ondulatoria de la luz , propuesta por primera vez por Robert Hooke en el año de la muerte de Fermat, ^{[ 54 ]} y rápidamente mejorada por Ignace-Gaston Pardies ^{[ 55 ]} y (especialmente) Christiaan Huygens , ^{[ 56 ]} contenía los fundamentos necesarios; pero el reconocimiento de este hecho fue sorprendentemente lento.

En 1678, Huygens propuso que cada punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en una fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. ^{[ 57 ]} Huygens se refirió repetidamente a la envolvente de sus frentes de onda secundarios como la terminación del movimiento, ^{[ 58 ]} lo que significa que el frente de onda posterior era el límite exterior que la perturbación podía alcanzar en un tiempo dado, ^{[ 59 ]} que era, por lo tanto, el tiempo mínimo en el que se podía alcanzar cada punto en el frente de onda posterior. Pero no argumentó que la dirección del tiempo mínimo fuera la que va desde la fuente secundaria hasta el punto de tangencia; en cambio, dedujo la dirección del rayo a partir de la extensión de la superficie tangente común correspondiente a una extensión dada del frente de onda inicial. ^{[ 60 ]} Su único respaldo al principio de Fermat fue limitado en alcance: habiendo derivado la ley de refracción ordinaria, para la cual los rayos son normales a los frentes de onda, ^{[ 61 ]} Huygens dio una prueba geométrica de que un rayo refractado según esta ley toma el camino de menor tiempo. ^{[ 62 ]} Difícilmente habría considerado esto necesario si hubiera sabido que el principio de menor tiempo se derivaba directamente de la misma construcción de tangente común por la cual había deducido no solo la ley de refracción ordinaria, sino también las leyes de propagación rectilínea y reflexión ordinaria (que también se sabía que se derivaban del principio de Fermat), y una ley de refracción extraordinaria previamente desconocida , esta última mediante frentes de onda secundarios que eran esferoidales en lugar de esféricos, con el resultado de que los rayos eran generalmente oblicuos a los frentes de onda. Era como si Huygens no se hubiera dado cuenta de que su construcción implicaba el principio de Fermat, e incluso como si pensara que había encontrado una excepción a ese principio. La evidencia manuscrita citada por Alan E. Shapiro tiende a confirmar que Huygens creía que el principio del tiempo mínimo era inválido "en la doble refracción, donde los rayos no son normales a los frentes de onda". ^{[ 63 ] [ Nota 9 ]}

Shapiro informa además que las únicas tres autoridades que aceptaron el "principio de Huygens" en los siglos XVII y XVIII, a saber, Philippe de La Hire , Denis Papin y Gottfried Wilhelm Leibniz , lo hicieron porque explicaba la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita) de la misma manera que las leyes previamente conocidas de la óptica geométrica. ^{[ 64 ]} Pero, por el momento, la extensión correspondiente del principio de Fermat pasó desapercibida.

El 30 de enero de 1809, ^{[ 65 ]} Pierre-Simon Laplace , al informar sobre el trabajo de su protegido Étienne-Louis Malus , afirmó que la refracción extraordinaria de la calcita podía explicarse bajo la teoría corpuscular de la luz con la ayuda del principio de mínima acción de Maupertuis : que la integral de la velocidad con respecto a la distancia era un mínimo. La velocidad corpuscular que satisfacía este principio era proporcional al recíproco de la velocidad del rayo dada por el radio del esferoide de Huygens. Laplace continuó:

Según Huygens, la velocidad del rayo extraordinario en el cristal se expresa simplemente mediante el radio del esferoide; por consiguiente, su hipótesis no concuerda con el principio de mínima acción. Sin embargo, es notable que concuerde con el principio de Fermat, según el cual la luz pasa de un punto dado fuera del cristal a un punto dado dentro de él en el menor tiempo posible, pues es fácil ver que este principio coincide con el de mínima acción si invertimos la expresión de la velocidad. ^{[ 66 ]}

El informe de Laplace fue objeto de una amplia refutación por parte de Thomas Young , quien escribió, entre otras cosas:

El principio de Fermat, aunque fue asumido por ese matemático sobre bases hipotéticas, o incluso imaginarias, es de hecho una ley fundamental con respecto al movimiento ondulatorio, y es explícitamente [ sic ] la base de toda determinación en la teoría de Huygens [ sic ] ... El Sr. Laplace parece desconocer este principio esencial de una de las dos teorías que compara; pues dice que «es notable» que la ley de Huygens [ sic ] de refracción extraordinaria concuerde con el principio de Fermat; lo cual difícilmente habría observado si hubiera sabido que la ley era una consecuencia inmediata del principio. ^{[ 67 ]} 

De hecho, Laplace sabía que el principio de Fermat se deriva de la construcción de Huygens en el caso de refracción de un medio isotrópico a uno anisotrópico; una demostración geométrica estaba contenida en la versión larga del informe de Laplace, impresa en 1810. ^{[ 68 ]}

La afirmación de Young era más general que la de Laplace y, asimismo, defendía el principio de Fermat incluso en el caso de la refracción extraordinaria, en la que los rayos generalmente no son  perpendiculares a los frentes de onda. Sin embargo, lamentablemente, la frase central omitida del párrafo citado por Young comenzaba con la frase «El movimiento de toda ondulación debe necesariamente tener una dirección perpendicular a su superficie  …» (énfasis añadido), lo que inevitablemente sembró confusión en lugar de claridad.

No existe tal confusión en la «Segunda Memoria» de Augustin-Jean Fresnel sobre la doble refracción ( Fresnel,  1827 ), que aborda el principio de Fermat en varios pasajes (sin mencionar a Fermat), partiendo del caso especial en que los rayos son normales a los frentes de onda, hasta el caso general en que los rayos son trayectorias de tiempo mínimo o tiempo estacionario. (En el siguiente resumen, los números de página se refieren a la traducción de Alfred W. Hobson ).

• Para la refracción de una onda plana con incidencia paralela sobre una cara de una cuña cristalina anisotrópica (págs. 291-292), para hallar el primer rayo que llega a un punto de observación situado más allá de la otra cara de la cuña, basta con considerar los rayos que inciden fuera del cristal como normales a los frentes de onda, y dentro del cristal, solo los frentes de onda paralelos (independientemente de la dirección del rayo). Por lo tanto, en este caso, Fresnel no intenta trazar la trayectoria completa del rayo. ^{[ Nota 10 ]}
• A continuación, Fresnel considera un rayo refractado desde una fuente puntual M dentro de un cristal, a través de un punto A en la superficie, hasta un punto de observación B en el exterior (págs. 294-296). La superficie que pasa por B y que está dada por el "lugar geométrico de las perturbaciones que llegan primero" es, según la construcción de Huygens, normal al "rayo AB de llegada más rápida". Pero esta construcción requiere conocer la "superficie de la onda" (es decir, el frente de onda secundario) dentro del cristal.
• A continuación, considera un frente de onda plano que se propaga en un medio con frentes de onda secundarios no esféricos, orientados de tal manera que la trayectoria del rayo, según la construcción de Huygens ( desde la fuente del frente de onda secundario hasta su punto de tangencia con el frente de onda primario subsiguiente ), no es perpendicular a los frentes de onda primarios (p. 296). Demuestra que, no obstante, esta trayectoria es «la trayectoria de llegada más rápida de la perturbación» desde el frente de onda primario anterior hasta el punto de tangencia.
• En un apartado posterior (pág. 305), declara que «La construcción de Huygens, que determina la trayectoria de llegada más rápida», es aplicable a frentes de onda secundarios de cualquier forma. A continuación, señala que cuando se aplica la construcción de Huygens a la refracción en un cristal con un frente de onda secundario de dos hojas, y se trazan las líneas desde los dos puntos de tangencia hasta el centro del frente de onda secundario, «obtendremos las direcciones de las dos trayectorias de llegada más rápida y, por consiguiente, del rayo ordinario y del rayo extraordinario».
• Bajo el epígrafe "Definición de la palabra Rayo " (pág. 309), concluye que este término debe aplicarse a la línea que une el centro de la onda secundaria con un punto de su superficie, cualquiera que sea la inclinación de esta línea con respecto a la superficie.
• Como una "nueva consideración" (págs. 310-311), señala que si un frente de onda plano atraviesa un pequeño orificio centrado en el punto E , la dirección ED de máxima intensidad del haz resultante será aquella en la que la onda secundaria que parte de E "llegará allí primero", y los frentes de onda secundarios provenientes de lados opuestos del orificio (equidistantes de E ) "llegarán a D al mismo tiempo". No se asume que esta dirección sea perpendicular a ningún frente de onda.

Así, Fresnel demostró, incluso para medios anisótropos, que la trayectoria del rayo, según la construcción de Huygens, es la de menor tiempo entre posiciones sucesivas de un frente de onda plano o divergente; que las velocidades del rayo son los radios de la " superficie de onda " secundaria tras una unidad de tiempo; y que un tiempo de tránsito estacionario determina la dirección de máxima intensidad del haz. Sin embargo, establecer la equivalencia general entre la construcción de Huygens y el principio de Fermat habría requerido un análisis más profundo de este último en términos de propagación punto a punto.

Hendrik Lorentz , en un artículo escrito en 1886 y republicado en 1907, ^{[ 69 ]} dedujo el principio del tiempo mínimo en forma punto a punto a partir de la construcción de Huygens. Pero la esencia de su argumento quedó algo oscurecida por una aparente dependencia del éter y el arrastre del éter .

La obra de Lorentz fue citada en 1959 por Adriaan J.  de Witte, quien luego ofreció su propio argumento, que, «aunque esencialmente el mismo, se considera más convincente y general».  El análisis de De Witte es más original de lo que podría sugerir esta descripción, si bien se limita a dos dimensiones; utiliza el cálculo de variaciones para demostrar que la construcción de Huygens y el principio de Fermat conducen a la misma ecuación diferencial para la trayectoria del rayo, y que, en el caso del principio de Fermat, se cumple lo contrario. De  Witte también señaló que «el tema parece haber quedado sin tratar en los libros de texto». ^{[ 70 ]}