Los principios de las matemáticas

Los Principios de las Matemáticas ( PoM ) es un libro de 1903 deBertrand Russell, en el que el autor presentósu famosa paradojay argumentó su tesis de que las matemáticas yla lógicason idénticas. ^{[ 1 ]}

El libro presenta una visión de los fundamentos de las matemáticas y del meinongianismo , y se ha convertido en una obra de referencia clásica. En él se recogen los avances de Giuseppe Peano , Mario Pieri , Richard Dedekind , Georg Cantor y otros.

En 1905, Louis Couturat publicó una traducción parcial al francés ^{[ 2 ]} que amplió el público lector del libro. En 1937, Russell preparó una nueva introducción en la que afirmaba: «El interés que despierta actualmente el libro es histórico y radica en que representa una etapa determinada en el desarrollo de su tema». Se publicaron ediciones posteriores en 1938, 1951, 1996 y 2009.

Los Principios de las Matemáticas constan de 59 capítulos divididos en siete partes: lo indefinible en matemáticas, número, cantidad, orden, infinito y continuidad, espacio, materia y movimiento.

En el capítulo uno, "Definición de matemáticas puras", Russell afirma que:

El hecho de que todas las matemáticas sean lógica simbólica es uno de los mayores descubrimientos de nuestra época; y una vez establecido este hecho, el resto de los principios de las matemáticas consiste en el análisis de la lógica simbólica misma. ^{[ 3 ]}

Russell deconstruye las matemáticas puras con relaciones , postulándolas, junto con sus recíprocas y complementos , como nociones primitivas . Combinando el cálculo de relaciones de DeMorgan, Pierce y Schroder con la lógica simbólica de Peano, analiza los órdenes utilizando relaciones seriales y escribe que los teoremas de medición se han generalizado a la teoría del orden . Señala que Peano distinguió un término del conjunto que lo contiene: la relación de pertenencia a un conjunto frente a la de subconjunto . Épsilon ( ε ) se utiliza para mostrar la pertenencia a un conjunto, pero Russell indica problemas cuando${\displaystyle x\epsilon x.}$La paradoja de Russell se menciona 15 veces y el capítulo 10, "La contradicción", la explica. Russell había escrito previamente sobre los fundamentos de la geometría, la denotación y el relativismo del espacio y el tiempo, por lo que se retoman esos temas. La geometría elíptica según Clifford y la métrica de Cayley-Klein se mencionan para ilustrar la geometría no euclidiana . Hay una anticipación de la física de la relatividad en la parte final, ya que los últimos tres capítulos consideran las leyes del movimiento de Newton, el movimiento absoluto y relativo, y la dinámica de Hertz. Sin embargo, Russell rechaza lo que él llama "la teoría relacional" y dice en la página 489:

Para nosotros, puesto que se han admitido el espacio y el tiempo absolutos , no hay necesidad de evitar el movimiento absoluto, y de hecho no hay posibilidad de hacerlo.

En su reseña, GH Hardy dice: "El Sr. Russell cree firmemente en la posición absoluta en el espacio y el tiempo, una visión tan pasada de moda hoy en día que el Capítulo [58: Movimiento absoluto y relativo] se leerá con particular interés". ^{[ 4 ]}

GE Moore y Charles Sanders Peirce prepararon reseñas , pero la de Moore nunca se publicó ^{[ 5 ]} y la de Peirce fue breve y algo desdeñosa. Indicó que la consideraba poco original, diciendo que el libro «difícilmente puede llamarse literatura» y «Quien desee una introducción práctica a las notables investigaciones sobre la lógica de las matemáticas realizadas durante los últimos sesenta años [...] hará bien en leer este libro». ^{[ 6 ]}

GH Hardy escribió una reseña favorable ^{[ 4 ]} esperando que el libro atrajera más a los filósofos que a los matemáticos. Pero dice:

A pesar de sus quinientas páginas, el libro es demasiado breve. Muchos capítulos que abordan cuestiones importantes se reducen a cinco o seis páginas, y en algunos pasajes, especialmente en las partes más abiertamente controvertidas, el argumento resulta casi incomprensible. El filósofo que intente leerlo se sentirá particularmente desconcertado por la constante presuposición de un sistema filosófico completamente distinto a cualquiera de los generalmente aceptados.

In 1904 another review appeared in Bulletin of the American Mathematical Society (11(2):74–93) written by Edwin Bidwell Wilson. He says "The delicacy of the question is such that even the greatest mathematicians and philosophers of to-day have made what seem to be substantial slips of judgement and have shown on occasions an astounding ignorance of the essence of the problem which they were discussing. ... all too frequently it has been the result of a wholly unpardonable disregard of the work already accomplished by others." Wilson recounts the developments of Peano that Russell reports, and takes the occasion to correct Henri Poincaré who had ascribed them to David Hilbert. In praise of Russell, Wilson says "Surely the present work is a monument to patience, perseverance, and thoroughness." (page 88)

In 1938 the book was re-issued with a new preface by Russell. This preface was interpreted as a retreat from the realism of the first edition and a turn toward nominalist philosophy of symbolic logic. James Feibleman, an admirer of the book, thought Russell's new preface went too far into nominalism so he wrote a rebuttal to this introduction.^[7] Feibleman says, "It is the first comprehensive treatise on symbolic logic to be written in English; and it gives to that system of logic a realistic interpretation."

In 1959 Russell wrote My Philosophical Development, in which he recalled the impetus to write the Principles:

It was at the International Congress of Philosophy in Paris in the year 1900 that I became aware of the importance of logical reform for the philosophy of mathematics. ... I was impressed by the fact that, in every discussion, [Peano] showed more precision and more logical rigour than was shown by anybody else. ... It was [Peano's works] that gave the impetus to my own views on the principles of mathematics.^[8]

Recalling the book as it his later work, he provides this evaluation:

The Principles of Mathematics, which I finished on 23 May 1902, turned out to be a crude and rather immature draft of the subsequent work [Principia Mathematica], from which, however, it differed in containing controversy with other philosophies of mathematics.^[9]

Such self-deprecation from the author after half a century of philosophical growth is understandable. On the other hand, Jules Vuillemin wrote in 1968:

Los Principios inauguraron la filosofía contemporánea. Otras obras han ganado y perdido ese título. No es el caso de esta. Es una obra seria, y su valor perdura. Además, en relación con ella, de forma deliberada o no, vuelve a situarse hoy en los ojos de todos aquellos que creen que la ciencia contemporánea ha modificado nuestra representación del universo y, a través de esta representación, nuestra relación con nosotros mismos y con los demás. ^{[ 10 ]}

Además, en la misma reflexión, Russell también relata el lugar singular que ocupó la composición del libro en su vida intelectual. Recuerda:

Terminé este primer borrador de Los principios de las matemáticas el último día del siglo XIX, es decir, el 31 de diciembre de 1900. Los meses transcurridos desde julio anterior habían sido una luna de miel intelectual como nunca antes ni después he experimentado. Cada día comprendía algo que no había comprendido el día anterior. Creía que todas las dificultades estaban resueltas y todos los problemas habían terminado. ^{[ 11 ]}

Cuando WVO Quine escribió su autobiografía, escribió: ^{[ 12 ]}

La notación simbólica de Peano causó furor en Russell en 1900, pero sus Principios seguían escritos en prosa pura. Me inspiró su profundidad [en 1928] y me desconcertó su frecuente opacidad. En parte, su lectura resultaba ardua debido a la pesadez del lenguaje común en comparación con la flexibilidad de una notación especialmente diseñada para estos temas complejos. Al releerlo años después, descubrí que también había sido difícil porque, en aquellos tiempos pioneros, las cosas no estaban claras para el propio Russell.

Los Principios fueron una expresión temprana de la filosofía analítica y, por lo tanto, han sido objeto de un examen minucioso. ^{[ 13 ]} Peter Hylton escribió: «El libro tiene un aire de entusiasmo y novedad... La característica más destacada de los Principios es... la forma en que el trabajo técnico se integra en el argumento metafísico». ^{[ 13 ] : 168}

Ivor Grattan-Guinness realizó un estudio exhaustivo de Principios . Primero publicó Querido Russell – Querido Jourdain (1977), ^{[ 14 ]} que incluía correspondencia con Philip Jourdain , quien difundió algunas de las ideas del libro. Luego, en 2000, Grattan-Guinness publicó La búsqueda de las raíces matemáticas 1870 – 1940 , que analizaba las circunstancias del autor, la composición del libro y sus deficiencias. ^{[ 15 ]}

In 2006, Philip Ehrlich challenged the validity of Russell's analysis of infinitesimals in the Leibniz tradition.^[16] A recent study documents the non-sequiturs in Russell's critique of the infinitesimals of Gottfried Leibniz and Hermann Cohen.^[17]

• Introduction to Mathematical Philosophy
• Russellian change

• Stefan Andersson (1994). En busca de la certeza: La búsqueda de la certeza de Bertrand Russell en la religión y las matemáticas hasta los principios de las matemáticas. Estocolmo: Almquist & Wiksell. ISBN 91-22-01607-4.

• Principios de las Matemáticas – Versiones completas gratuitas con función de búsqueda en formato PDF, ePub y HTML.
• Los principios de las matemáticas – Texto en línea (escaneo del original) en fair-use.org
• Los principios de las matemáticas – Texto completo en Internet Archive
• Los principios de las matemáticas en PhilPapers