axiomas de probabilidad

Los axiomas estándar de probabilidad son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducidos por el matemático ruso Andrey Kolmogorov en 1933. ^{[ 1 ]} Como todos los sistemas axiomáticos , describen los supuestos básicos que subyacen a la aplicación de la probabilidad a campos como las matemáticas puras y las ciencias físicas, evitando al mismo tiempo las paradojas lógicas. ^{[ 2 ]}

Los axiomas de probabilidad no especifican ni asumen ninguna interpretación particular de la probabilidad , sino que pueden estar motivados por partir de una definición filosófica de probabilidad y argumentar que los axiomas se satisfacen con esta definición. Por ejemplo,

• El teorema de Cox deriva las leyes de probabilidad basándose en una definición "lógica" de probabilidad como la probabilidad o credibilidad de proposiciones lógicas arbitrarias. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Los argumentos del libro holandés demuestran que los agentes racionales deben hacer apuestas que sean proporcionales a una medida subjetiva de la probabilidad de los eventos.

El tercer axioma, σ-aditividad , es relativamente moderno y tiene su origen en la teoría de la medida de Lebesgue . Algunos autores lo reemplazan con el axioma estrictamente más débil de aditividad finita, que es suficiente para abordar algunas aplicaciones. ^{[ 5 ]}

Para enunciar los axiomas de Kolmogorov, se deben especificar los siguientes datos:

• El espacio muestral ,${\textstyle \Omega }$, que es el conjunto de todos los resultados posibles o eventos elementales .
• El espacio de todos los eventos , que se consideran conjuntos de resultados (es decir, subconjuntos de${\textstyle \Omega }$). El espacio para eventos,${\textstyle F}$, debe ser un σ- álgebra en${\textstyle \Omega }$.
• La medida de probabilidad${\textstyle P}$que se asigna a cada evento${\displaystyle E\in F}$su probabilidad,${\displaystyle P(E)}$.

En conjunto, estas suposiciones significan que${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$es un espacio de medida . Además, se supone que${\displaystyle P(\Omega )=1}$, lo que convierte a esta tripleta en un espacio de probabilidad . ^{[ 1 ]}

Para demostrar que la teoría generada por los axiomas de Kolmogorov se corresponde con la probabilidad clásica , se suelen derivar algunas consecuencias elementales. ^{[ 7 ]}

• Desde${\displaystyle P}$es finitamente aditivo, tenemos${\displaystyle P(A)+P(A^{c})=P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$, entonces${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A)}$.
• En particular, se deduce que${\displaystyle P(\emptyset )=0}$El conjunto vacío se interpreta como el evento de que "no ocurre ningún resultado", lo cual es imposible.
• De manera similar, si${\displaystyle A\subsetequ B}$, entonces${\displaystyle P(B)=P(A\cup (B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A)}$. En otras palabras,${\displaystyle P}$es monótono . ^{[ 8 ]}
• Desde${\displaystyle \emptyset \subseteq E\subseteq \Omega }$para cualquier evento${\displaystyle E}$De ello se deduce que${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1}$.

Al dividir${\displaystyle A\cup B}$en los conjuntos disjuntos${\displaystyle A\setminus (A\cap B)}$,${\displaystyle B\setminus (A\cap B)}$y${\displaystyle A\cap B}$, se llega a una versión probabilística del principio de inclusión-exclusión ^{[ 9 ]}$${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$$En el caso donde${\displaystyle \Omega }$es finito, las dos identidades son equivalentes.

Para poder realizar cálculos cuando${\displaystyle \Omega }$es un conjunto infinito, a veces es útil generalizar a partir de un espacio muestral finito. Por ejemplo, si${\displaystyle \Omega }$Si se trata de todas las secuencias infinitas de lanzamientos de una moneda justa, no es obvio cómo calcular la probabilidad de cualquier conjunto particular de secuencias (es decir, un evento). Si el evento es "cada lanzamiento es cara", entonces es intuitivo que la probabilidad se puede calcular como:$${\displaystyle P({\text{secuencia infinita de caras}})=\lim _{n\to \infty }P({\text{secuencia de n caras}})=\lim _{n\to \infty }2^{-n}=0.}$$Para que esto sea riguroso, hay que demostrar que${\displaystyle P}$es continuo , en el siguiente sentido. Si${\displaystyle A_{j},\,\,j=1,2,\ldots }$es una secuencia de eventos que aumenta (o disminuye) hasta otro evento${\displaystyle A}$, entonces ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=P(A).}$$

Consideremos un lanzamiento de moneda y supongamos que la moneda caerá cara (C) o cruz (C) (pero no ambas). No se asume si la moneda es justa. ^{[ 11 ]}

Podemos definir:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

Los axiomas de Kolmogorov implican que:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

La suma de la probabilidad de cara y la probabilidad de cruz es 1.

• Álgebra de Borel – Clase de conjuntos matemáticos Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Probabilidad condicional : probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido. 
• Diseño totalmente probabilístico
• Estadísticas intuitivas
• Cuasiprobabilidad – Concepto en estadística Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Teoría de conjuntos : rama de las matemáticas que estudia los conjuntos. 
• σ-álgebra – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 

• DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidad y estadística . Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16 . ISBN  0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs. 13–28 . 
• Definición formal de probabilidad en el sistema de Mizar y lista de teoremas demostrados formalmente sobre ella.