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Distribución de cuasiprobabilidad

Una distribución de cuasiprobabilidad es un objeto matemático similar a una distribución de probabilidad , pero que relaja algunos de los axiomas de Kolmogorov de la teoría de l...

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Una distribución de cuasiprobabilidad es un objeto matemático similar a una distribución de probabilidad , pero que relaja algunos de los axiomas de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad . Las distribuciones de cuasiprobabilidad surgen de forma natural en el estudio de la mecánica cuántica cuando se tratan en la formulación del espacio de fases , comúnmente utilizada en óptica cuántica , análisis tiempo-frecuencia [ 1 ] y otros campos.

Las cuasiprobabilidades comparten varias características generales con las probabilidades ordinarias, como, fundamentalmente, la capacidad de generar valores esperados con respecto a los pesos de la distribución . Sin embargo, pueden violar el axioma de σ- aditividad : integrar sobre ellas no necesariamente produce probabilidades de estados mutuamente excluyentes. Las distribuciones de cuasiprobabilidad también tienen regiones de densidad de probabilidad negativa , lo que contradice el primer axioma , aunque parezca contradictorio .

Introducción

En su forma más general, la dinámica de un sistema cuántico-mecánico está determinada por una ecuación maestra en el espacio de Hilbert : una ecuación de movimiento para el operador de densidad (generalmente escritoρ^{\displaystyle {\widehat {\rho }}}) del sistema. El operador de densidad se define con respecto a una base ortonormal completa . Aunque es posible integrar directamente esta ecuación para sistemas muy pequeños (es decir, sistemas con pocas partículas o grados de libertad), esto se vuelve rápidamente intratable para sistemas más grandes. Sin embargo, es posible demostrar [ 2 ] que el operador de densidad siempre puede escribirse en forma diagonal , siempre que sea con respecto a una base sobrecompleta . Cuando el operador de densidad se representa en dicha base sobrecompleta, entonces puede escribirse de una manera más parecida a una función ordinaria, a costa de que la función tenga las características de una distribución de cuasiprobabilidad. La evolución del sistema está entonces completamente determinada por la evolución de la función de distribución de cuasiprobabilidad.

Los estados coherentes , es decir, los autoestados derechos del operador de aniquilacióna^{\displaystyle {\widehat {a}}}sirven como base sobrecompleta en la construcción descrita anteriormente. Por definición, los estados coherentes tienen la siguiente propiedad: a^|α⟩=α|α⟩⟨α|a^†=⟨α|α∗.{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\[1ex]\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}}

También poseen otras propiedades interesantes. Por ejemplo, no hay dos estados coherentes ortogonales. De hecho, si | α ⟩ y | β ⟩ son un par de estados coherentes, entonces ⟨β∣α⟩=mi−12(|β|2+|α|2−2β∗α)≠δ(α−β).{\displaystyle \langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}(\left|\beta \right|^{2}+\left|\alpha \right|^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).} Nótese que estos estados, sin embargo, están correctamente normalizados con ⟨ α | α ⟩ = 1 . Debido a la completitud de la base de estados de Fock , la elección de la base de estados coherentes debe ser sobrecompleta. [ 3 ] Haga clic para ver una demostración informal.

Sin embargo, en la base de estados coherentes, siempre es posible [ 2 ] expresar el operador de densidad en forma diagonal. ρ^=∫F(α,α∗)|α⟩⟨α|d2α{\displaystyle {\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha } donde f es una representación de la distribución del espacio de fases. Esta función f se considera una densidad de cuasiprobabilidad porque tiene las siguientes propiedades:

  • ∫F(α,α∗)d2α=tr⁡(ρ^)=1{\displaystyle \int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1}(normalización)
  • SigramoΩ(a^,a^†){\displaystyle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })}es un operador que puede expresarse como una serie de potencias de los operadores de creación y aniquilación en un orden Ω, entonces su valor esperado es⟨gramoΩ(a^,a^†)⟩=∫F(α,α∗)gramoΩ(α,α∗)dαdα∗{\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}}( Teorema de equivalencia óptica ).

Existe una familia de diferentes representaciones, cada una conectada a un ordenamiento diferente Ω . La más popular en la literatura de física general e históricamente la primera de ellas es la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner , [ 4 ] que está relacionada con el ordenamiento de operadores simétricos. En óptica cuántica específicamente, a menudo los operadores de interés, especialmente el operador de número de partículas , se expresan naturalmente en orden normal . En ese caso, la representación correspondiente de la distribución del espacio de fases es la representación P de Glauber-Sudarshan . [ 5 ] La naturaleza cuasiprobabilística de estas distribuciones del espacio de fases se comprende mejor en la representación P debido a la siguiente afirmación clave: [ 6 ] 

Si el sistema cuántico tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado coherente o radiación térmica , entonces P es no negativo en todas partes, como una distribución de probabilidad ordinaria. Sin embargo, si el sistema cuántico no tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado de Fock incoherente o un sistema entrelazado , entonces P es negativo en algún punto o más singular que una función delta .

Esta afirmación generalizada resulta inoperante en otras representaciones. Por ejemplo, la función de Wigner del estado EPR es definida positiva, pero no tiene un análogo clásico. [ 7 ] [ 8 ]

Además de las representaciones definidas anteriormente, existen muchas otras distribuciones de cuasiprobabilidad que surgen en representaciones alternativas de la distribución del espacio de fases. Otra representación popular es la representación Q de Husimi , [ 9 ] que es útil cuando los operadores están en orden antinormal . Más recientemente, la representación P positiva y una clase más amplia de representaciones P generalizadas se han utilizado para resolver problemas complejos en óptica cuántica. Todas estas son equivalentes e interconvertibles entre sí, a saber, la función de distribución de clase de Cohen .

Funciones características

De forma análoga a la teoría de la probabilidad, las distribuciones de cuasiprobabilidad cuántica pueden escribirse en términos de funciones características , a partir de las cuales se pueden derivar todos los valores esperados de los operadores. Las funciones características para las distribuciones de Wigner, Glauber P y Q de un sistema de N modos son las siguientes:

  • χW(z,z∗)=tr⁡[ρexp⁡(iz⋅a^+iz∗⋅a^†)]{\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\daga }\right)\right]}
  • χPAG(z,z∗)=tr⁡[ρexp⁡(iz∗⋅a^†)exp⁡(iz⋅a^)]{\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\right]}
  • χQ(z,z∗)=tr⁡[ρexp⁡(iz⋅a^)exp⁡(iz∗⋅a^†)]{\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\right]}

Aquía^{\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}}ya^†{\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}son vectores que contienen los operadores de aniquilación y creación para cada modo del sistema. Estas funciones características se pueden usar para evaluar directamente los valores esperados de los momentos de los operadores. El orden de los operadores de aniquilación y creación en estos momentos es específico de la función característica particular. Por ejemplo, los momentos ordenados normalmente (operadores de creación que preceden a los operadores de aniquilación) se pueden evaluar de la siguiente manera:χPAG{\displaystyle \chi _{P}\,}:

⟨a^j†metroa^knorte⟩=∂metro+norte∂(izj∗)metro∂(izk)norteχPAG(z,z∗)|z=z∗=0{\displaystyle \left\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\right\rangle =\left.{\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}

De la misma manera, los valores esperados de combinaciones ordenadas antinormalmente y simétricamente de operadores de aniquilación y creación pueden evaluarse a partir de las funciones características de las distribuciones Q y Wigner, respectivamente. Las funciones de cuasiprobabilidad se definen como transformadas de Fourier de las funciones características anteriores. Es decir,

{W∣PAG∣Q}(α,α∗)=1π2norte∫χ{W∣PAG∣Q}(z,z∗)mi−iz∗⋅α∗mi−iz⋅αd2nortez.{\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}

Aquíαj{\displaystyle \alpha _{j}\,}yαk∗{\displaystyle \alpha _{k}^{*}}En el caso de las distribuciones P y Q de Glauber, pueden identificarse como amplitudes de estado coherente , pero simplemente como números c para la función de Wigner. Dado que la diferenciación en el espacio normal se convierte en multiplicación en el espacio de Fourier, los momentos pueden calcularse a partir de estas funciones de la siguiente manera:

  • ⟨a^j†metroa^knorte⟩=∫PAG(α,α∗)αjnorteαk∗metrod2norteα{\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }
  • ⟨a^jmetroa^k†norte⟩=∫Q(α,α∗)αjmetroαk∗norted2norteα{\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }
  • ⟨(a^j†metroa^knorte)S⟩=∫W(α,α∗)αjmetroαk∗norted2norteα{\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }

Aquí(⋯)S{\displaystyle (\cdots )_{S}}denota un ordenamiento simétrico.

Estas representaciones están todas interrelacionadas a través de la convolución por funciones gaussianas , transformadas de Weierstrass ,

  • W(α,α∗)=2π∫PAG(β,β∗)mi−2|α−β|2d2β{\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }
  • Q(α,α∗)=2π∫W(β,β∗)mi−2|α−β|2d2β{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }

o bien, utilizando la propiedad de que la convolución es asociativa ,Q(α,α∗)=1π∫PAG(β,β∗)mi−|α−β|2d2β .{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.}

Resulta quePAG(α,α∗)=1π2∫Q(β,β∗)mi|λ|2+λ∗(α−β)−λ(α−β)∗d2β d2λ,{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,}

una integral frecuentemente divergente, lo que indica que P suele ser una distribución. Q siempre es más amplia que P para la misma matriz de densidad. [ 10 ]

Por ejemplo, para un estado térmico, ρ^=1norte¯+1∑norte=0∞(norte¯1+norte¯)norte|norte⟩⟨norte| ,{\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~,} uno tiene PAG(α)=1πnorte¯mi−|α|2norte¯,Q(α)=1π(1+norte¯)mi−|α|21+norte¯ .{\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~.}

Evolución temporal y correspondencias entre operadores

Dado que cada una de las transformaciones anteriores de ρ a las funciones de distribución es lineal , la ecuación de movimiento para cada distribución se puede obtener realizando las mismas transformaciones aρ˙{\displaystyle {\dot {\rho }}}Además, como cualquier ecuación maestra que pueda expresarse en forma de Lindblad se describe completamente mediante la acción de combinaciones de operadores de aniquilación y creación sobre el operador de densidad, resulta útil considerar el efecto que tales operaciones tienen sobre cada una de las funciones de cuasiprobabilidad. [ 11 ] [ 12 ]

Por ejemplo, consideremos el operador de aniquilación.a^j{\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\,}actuando sobre ρ . Para la función característica de la distribución P tenemos tr⁡(a^jρmiiz∗⋅a^†miiz⋅a^)=∂∂(izj)χPAG(z,z∗).{\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}

Tomando la transformada de Fourier con respecto az{\displaystyle \mathbf {z} \,}Para encontrar la acción correspondiente en la función P de Glauber, encontramos a^jρ→αjPAG(α,α∗).{\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).}

Siguiendo este procedimiento para cada una de las distribuciones anteriores, se pueden identificar las siguientes correspondencias de operadores :

  • a^jρ→(αj+κ∂∂αj∗){W∣PAG∣Q}(α,α∗){\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • ρa^j†→(αj∗+κ∂∂αj){W∣PAG∣Q}(α,α∗){\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • a^j†ρ→(αj∗−(1−κ)∂∂αj){W∣PAG∣Q}(α,α∗){\displaystyle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • ρa^j→(αj−(1−κ)∂∂αj∗){W∣PAG∣Q}(α,α∗){\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}

Aquí κ = 0, 1/2 o 1 para las distribuciones P, Wigner y Q, respectivamente. De esta manera, las ecuaciones maestras pueden expresarse como ecuaciones de movimiento de funciones de cuasiprobabilidad.

Ejemplos

Estado coherente

Por construcción, P para un estado coherente|α0⟩{\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }es simplemente una función delta: PAG(α,α∗)=δ2(α−α0).{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).} Las representaciones de Wigner y Q se derivan inmediatamente de las fórmulas de convolución gaussiana anteriores, W(α,α∗)=2π∫δ2(β−α0)mi−2|α−β|2d2β=2πmi−2|α−α0|2Q(α,α∗)=1π∫δ2(β−α0)mi−|α−β|2d2β=1πmi−|α−α0|2.{\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}\\[1.5ex]Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.\end{aligned}}}

La representación de Husimi también se puede encontrar utilizando la fórmula anterior para el producto interno de dos estados coherentes, Q(α,α∗)=1π⟨α|ρ^|α⟩=1π|⟨α0|α⟩|2=1πmi−|α−α0|2{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}

Estado de Fock

La representación P de un estado de Fock|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }es PAG(α,α∗)=mi|α|2norte¡∂2norte∂α∗norte∂αnorteδ2(α).{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}

Dado que para n > 0 esto es más singular que una función delta, un estado de Fock no tiene un análogo clásico. La no clasicidad es menos transparente a medida que se procede con las convoluciones gaussianas. Si L n es el n -ésimo polinomio de Laguerre , W es W(α,α∗)=(−1)norte2πmi−2|α|2Lnorte(4|α|2) ,{\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\left(-1\right)}^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}{\left(4|\alpha |^{2}\right)}~,} que puede volverse negativo pero está acotado.

Q , por el contrario, siempre permanece positivo y acotado, Q(α,α∗)=1π⟨α|ρ^|α⟩=1π|⟨norte|α⟩|2=1πnorte¡|⟨0|a^norte|α⟩|2=|α|2norteπnorte¡|⟨0|α⟩|2 .{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.}

oscilador armónico cuántico amortiguado

Consideremos el oscilador armónico cuántico amortiguado con la siguiente ecuación maestra: dρ^dt=iω0[ρ^,a^†a^]+γ2(2a^ρ^a^†−a^†a^ρ^−ρa^†a^)+γ⟨norte⟩(a^ρ^a^†+a^†ρ^a^−a^†a^ρ^−ρ^a^a^†).{\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}\left(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}\right)+\gamma \langle n\rangle \left({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }\right).}

Esto da como resultado la ecuación de Fokker-Planck , ∂∂t{W∣PAG∣Q}(α,α∗,t)=[(γ2+iω0)∂∂αα+(γ2−iω0)∂∂α∗α∗+γ(⟨norte⟩+κ)∂2∂α∂α∗]{W∣PAG∣Q}(α,α∗,t),{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +\left({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma \left(\langle n\rangle +\kappa \right){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),} donde κ  =  0, 1/2, 1 para las representaciones P , W y Q , respectivamente.

Si el sistema se encuentra inicialmente en el estado coherente|α0⟩{\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }, entonces esta ecuación tiene la solución {W∣PAG∣Q}(α,α∗,t)=1π[κ+⟨norte⟩(1−mi−γt)]exp⁡[−|α−α0mi−(γ2+iω0)t|2κ+⟨norte⟩(1−mi−γt)] .{\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp \left[-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right)t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right]~.}

operadores de creación y aniquilación

Consideremos operadores simples de la formaO=a^nortea^†metro{\displaystyle O={\hat {a}}^{n}{\hat {a}}^{\dagger m}}Entonces, las funciones características sonχQ(z,z∗)=mi−|z|2χPAG(z,z∗),χW(z,z∗)=mi−|z|2/2χPAG(z,z∗),χPAG(z,z∗)=π∂norte+metro∂(iz)norte∂(iz∗)metroδ2(z).{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{Q}(z,z^{*})&=e^{-|z|^{2}}\chi _{P}(z,z^{*}),\\\chi _{W}(z,z^{*})&=e^{-|z|^{2}/2}\chi _{P}(z,z^{*}),\\\chi _{P}(z,z^{*})&=\pi {\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}\delta ^{2}(z).\end{aligned}}}Las distribuciones de cuasiprobabilidad correspondientes sonQ(α,α∗)=1π∂norte+metro∂(iz)norte∂(iz∗)metromi−|z|2miizα+iz∗α∗|z=z∗=0,W(α,α∗)=1π∂norte+metro∂(iz)norte∂(iz∗)metromi−|z|2/2miizα+iz∗α∗|z=z∗=0,PAG(α,α∗)=1παnorteα∗metro.{\displaystyle {\begin{aligned}Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\left.{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}e^{-|z|^{2}}e^{iz\alpha +iz^{*}\alpha ^{*}}\right|_{z=z^{*}=0},\\W(\alpha ,\alpha ^{*})&=\left.{\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}e^{-|z|^{2}/2}e^{iz\alpha +iz^{*}\alpha ^{*}}\right|_{z=z^{*}=0},\\P(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\alpha ^{n}\alpha ^{*m}.\end{aligned}}}AquíPAG{\displaystyle P}tiene una expresión particularmente simple debido al teorema de equivalencia óptica yO{\displaystyle O}estando ordenado antinormalmente. Se pueden derivar fórmulas análogas cuandoO{\displaystyle O}tiene un orden diferente.

Por ejemplo, paraO=a^2a^†{\displaystyle O={\hat {a}}^{2}{\hat {a}}^{\dagger }}estos danW(α,α∗)=1π(α+α2α∗),PAG(α,α∗)=1πα2α∗,Q(α,α∗)=1π(2α+α2α∗).{\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}(\alpha +\alpha ^{2}\alpha ^{*}),\\P(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\alpha ^{2}\alpha ^{*},\\Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}(2\alpha +\alpha ^{2}\alpha ^{*}).\end{aligned}}}

Véase también

Referencias

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