Medida de probabilidad

En matemáticas , una medida de probabilidad es una función de valor real definida en un conjunto de eventos en un σ-álgebra que satisface propiedades de medida tales como la aditividad contable . ^{[ 1 ]} La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción más general de medida (que incluye conceptos como área o volumen ) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a todo el espacio.

Intuitivamente, la propiedad de aditividad establece que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos (mutuamente excluyentes) por la medida debe ser la suma de las probabilidades de los eventos; por ejemplo, el valor asignado al resultado "1 o 2" en el lanzamiento de un dado debe ser la suma de los valores asignados a los resultados "1" y "2".

Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta las finanzas y la biología.

Los requisitos para una función establecida${\displaystyle \mu }$Para que una medida de probabilidad se aplique a un álgebra σ, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle \mu }$debe tomar valores en el intervalo unitario${\displaystyle [0,1],}$incluido${\displaystyle 0}$en el plató vacío y${\displaystyle 1}$en todo el espacio.
• ${\displaystyle \mu }$debe satisfacer la propiedad de aditividad contable que para todas las colecciones contables${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$de conjuntos disjuntos dos a dos :$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades${\displaystyle 1/4,1/4}$y${\displaystyle 1/2,}$el valor asignado a${\displaystyle \{1,3\}}$es${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$como en el diagrama de la derecha.

La probabilidad condicional basada en la intersección de eventos se define como: $${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$ satisface los requisitos de la función de probabilidad siempre que${\displaystyle \mu (A)}$no es cero. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en las que no existe ningún requisito de que los valores difusos sumen${\displaystyle 1,}$y la propiedad aditiva se reemplaza por una relación de orden basada en la inclusión de conjuntos .

En muchos casos, la física estadística utiliza medidas de probabilidad , pero no todas las medidas que utiliza son medidas de probabilidad. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Las medidas de mercado que asignan probabilidades a los espacios del mercado financiero en función de los movimientos observados del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad de interés en las finanzas matemáticas ; por ejemplo, en la valoración de derivados financieros . ^{[ 6 ]} Por ejemplo, una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad que supone que el valor actual de los activos es el valor esperado del pago futuro tomado con respecto a esa misma medida neutral al riesgo (es decir, calculado utilizando la función de densidad neutral al riesgo correspondiente) y descontado a la tasa libre de riesgo . Si existe una única medida de probabilidad que debe utilizarse para valorar los activos en un mercado, entonces el mercado se denomina mercado completo . ^{[ 7 ]}

No todas las medidas que intuitivamente representan la probabilidad o la posibilidad son medidas de probabilidad. Por ejemplo, aunque el concepto fundamental de un sistema en mecánica estadística es un espacio de medidas, dichas medidas no siempre son medidas de probabilidad. ^{[ 4 ]} En física estadística, para enunciados de la forma "la probabilidad de un sistema S asumiendo el estado A es p", la geometría del sistema no siempre conduce a la definición de una medida de probabilidad bajo congruencia , aunque puede hacerlo en el caso de sistemas con un solo grado de libertad. ^{[ 5 ]}

Las medidas de probabilidad también se utilizan en biología matemática . ^{[ 8 ]} Por ejemplo, en el análisis comparativo de secuencias se puede definir una medida de probabilidad para la probabilidad de que una variante sea permisible para un aminoácido en una secuencia. ^{[ 9 ]}

• Medida de Borel : medida definida en todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico. 
• Medida difusa : teoría de medidas generalizadas en matemáticas. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Medida de Haar : medida invariante por la izquierda (o invariante por la derecha) en un grupo topológico localmente compacto. 
• Medida de conteo
• Medida de Lebesgue : definición más amplia de tamaños en espacios de dimensión entera. 
• Medida de martingala – Medida de probabilidad Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento 
• Función de conjuntos : función que transforma conjuntos en números. 
• Distribución de probabilidad

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
• Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Probabilidad y teoría de la medida . Academic Press. ISBN 0-12-065202-1.
• Distinción entre medida de probabilidad, función y distribución , Math Stack Exchange

• Contenido multimedia relacionado con la medida de probabilidad en Wikimedia Commons.