Teorema de Cox

El teorema de Cox , que lleva el nombre del físico Richard Threlkeld Cox , es una derivación de las leyes de la teoría de la probabilidad a partir de un conjunto de postulados . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta derivación justifica la llamada interpretación "lógica" de la probabilidad, ya que las leyes de probabilidad derivadas del teorema de Cox son aplicables a cualquier proposición. La probabilidad lógica (también conocida como bayesiana objetiva) es un tipo de probabilidad bayesiana . Otras formas de bayesianismo, como la interpretación subjetiva, reciben otras justificaciones.

Cox quería que su sistema cumpliera las siguientes condiciones:

1. Divisibilidad y comparabilidad : La plausibilidad de una proposición es un número real y depende de la información que tenemos relacionada con ella. 
2. Sentido común : las probabilidades de verosimilitud deben variar razonablemente con la evaluación de las probabilidades de verosimilitud en el modelo. 
3. Consistencia : Si la plausibilidad de una proposición puede derivarse de muchas maneras, todos los resultados deben ser iguales. 

Los postulados aquí enunciados se toman de Arnborg y Sjödin. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} El " sentido común " incluye la coherencia con la lógica aristotélica en el sentido de que las proposiciones lógicamente equivalentes tendrán la misma plausibilidad.

Los postulados, tal como fueron enunciados originalmente por Cox, no eran matemáticamente rigurosos (aunque sí más que la descripción informal anterior), como señaló Halpern . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Sin embargo, parece posible ampliarlos con varias suposiciones matemáticas hechas implícita o explícitamente por Cox para producir una demostración válida.

Notación de Cox:

La plausibilidad de una proposición${\displaystyle A}$dada cierta información relacionada${\displaystyle X}$se denota por${\displaystyle A\mid X}$.

Los postulados y ecuaciones funcionales de Cox son:

• La plausibilidad de la conjunción${\displaystyle AB}$de dos proposiciones${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$, dada cierta información relacionada${\displaystyle X}$, está determinado por la plausibilidad de${\displaystyle A}$dado${\displaystyle X}$y la de${\displaystyle B}$dado${\displaystyle AX}$.

En forma de ecuación funcional

${\displaystyle AB\mid X=g(A\mid X,B\mid AX)}$

Debido a la naturaleza asociativa de la conjunción en la lógica proposicional, la consistencia con la lógica da una ecuación funcional que dice que la función${\displaystyle g}$es una operación binaria asociativa .

• Además, Cox postula la función${\displaystyle g}$ser monótono .

Todas las operaciones binarias asociativas estrictamente crecientes sobre los números reales son isomorfas a la multiplicación de números en un subintervalo de [ 0, +∞ ] , lo que significa que existe una función monótona.${\displaystyle w}$mapear plausibilidades a [ 0, +∞ ] de tal manera que

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid AX)}$

• En caso${\displaystyle A}$dado${\displaystyle X}$es seguro, tenemos${\displaystyle AB\mid X=B\mid X}$y${\displaystyle B\mid AX=B\mid X}$debido al requisito de consistencia. La ecuación general conduce entonces a

${\displaystyle w(B\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid X)}$

Esto se aplicará a cualquier proposición.${\displaystyle B}$, lo que conduce a

${\displaystyle w(A\mid X)=1}$

• En caso${\displaystyle A}$dado${\displaystyle X}$es imposible, tenemos${\displaystyle AB\mid X=A\mid X}$y${\displaystyle A\mid BX=A\mid X}$debido al requisito de consistencia. La ecuación general (con los factores A y B intercambiados) conduce entonces a

${\displaystyle w(A\mid X)=w(B\mid X)w(A\mid X)}$

Esto se aplicará a cualquier proposición.${\displaystyle B}$, lo cual, sin pérdida de generalidad , conduce a una solución

${\displaystyle w(A\mid X)=0}$

Debido al requisito de monotonicidad, esto significa que${\displaystyle w}$asigna plausibilidades al intervalo [ 0, 1 ] .

• La plausibilidad de una proposición determina la plausibilidad de su negación .

Esto postula la existencia de una función${\displaystyle f}$de tal manera que

${\displaystyle w({\text{no }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

Dado que "una doble negación es una afirmación", la coherencia con la lógica da como resultado una ecuación funcional.

${\displaystyle f(f(x))=x,}$

diciendo que la función${\displaystyle f}$es una involución , es decir, es su propia inversa.

• Además, Cox postula la función${\displaystyle f}$ser monótono.

Las ecuaciones funcionales anteriores y la coherencia con la lógica implican que

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)f(w({\text{no }}B\mid AX))=w(A\mid X)f\left({w(A{\text{no }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)}$

Desde${\displaystyle AB}$es lógicamente equivalente a${\displaystyle BA}$, también obtenemos

${\displaystyle w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ no }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)=w(B\mid X)f\left({w(B{\text{ no }}A\mid X) \over w(B\mid X)}\right)}$

Si, en particular,${\displaystyle B={\text{ no }}(AD)}$, entonces también${\displaystyle A{\text{ no }}B={\text{no }}B}$y${\displaystyle B{\text{ no }}A={\text{ no }}A}$y obtenemos

${\displaystyle w(A{\text{ no }}B\mid X)=w({\text{ no }}B\mid X)=f(w(B\mid X))}$

y

${\displaystyle w(B{\text{ no }}A\mid X)=w({\text{ no }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

Abreviar${\displaystyle w(A\mid X)=x}$y${\displaystyle w(B\mid X)=y}$obtenemos la ecuación funcional

${\displaystyle x\,f\left({f(y) \over x}\right)=y\,f\left({f(x) \over y}\right)}$

Las leyes de probabilidad que se derivan de estos postulados son las siguientes. ^{[ 8 ]} Sea${\displaystyle A\mid B}$sea ​​la plausibilidad de la proposición${\displaystyle A}$dado${\displaystyle B}$que satisface los postulados de Cox. Entonces hay una función${\displaystyle w}$mapeo de plausibilidades al intervalo [0,1] y un número positivo${\displaystyle m}$de tal manera que

1. La certeza está representada por${\displaystyle w(A\mid B)=1.}$
2. ${\displaystyle w^{m}(A|B)+w^{m}({\text{no }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle w(AB\mid C)=w(A\mid C)w(B\mid AC)=w(B\mid C)w(A\mid BC).}$

Los postulados implican solo estas propiedades generales. Podemos recuperar las leyes usuales de probabilidad estableciendo una nueva función, denotada convencionalmente${\displaystyle P}$o${\displaystyle \Pr }$, igual a${\displaystyle w^{m}}$Entonces obtenemos las leyes de probabilidad en una forma más familiar:

1. Cierta verdad está representada por${\displaystyle \Pr(A\mid B)=1}$y ciertas falsedades por${\displaystyle \Pr(A\mid B)=0.}$
2. ${\displaystyle \Pr(A\mid B)+\Pr({\text{no }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle \Pr(AB\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid AC)=\Pr(B\mid C)\Pr(A\mid BC).}$

La regla 2 es una regla para la negación, y la regla 3 es una regla para la conjunción. Dado que cualquier proposición que contenga conjunción, disyunción y negación puede reformularse de forma equivalente utilizando solo conjunción y negación (la forma normal conjuntiva ), ahora podemos manejar cualquier proposición compuesta.

Las leyes así derivadas producen una aditividad finita de la probabilidad, pero no una aditividad numerable . La formulación teórica de la medida de Kolmogorov supone que una medida de probabilidad es numerablemente aditiva. Esta condición ligeramente más fuerte es necesaria para ciertos resultados. Un ejemplo elemental (en el que esta suposición simplemente simplifica el cálculo en lugar de ser necesaria para él) es que la probabilidad de ver cara por primera vez después de un número par de lanzamientos en una secuencia de lanzamientos de moneda es${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$. ^{[ 9 ]}

El teorema de Cox se ha convertido en una de las justificaciones para el uso de la teoría de la probabilidad bayesiana . Por ejemplo, en Jaynes se analiza en detalle en los capítulos 1 y 2 y es una piedra angular para el resto del libro. ^{[ 8 ]} La probabilidad se interpreta como un sistema formal de lógica , la extensión natural de la lógica aristotélica (en la que toda afirmación es verdadera o falsa) al ámbito del razonamiento en presencia de incertidumbre.

Se ha debatido hasta qué punto el teorema excluye modelos alternativos para razonar sobre la incertidumbre . Por ejemplo, si se eliminaran ciertas suposiciones matemáticas "poco intuitivas", se podrían idear alternativas, como el ejemplo proporcionado por Halpern. ^{[ 6 ]} Sin embargo, Arnborg y Sjödin ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} sugieren postulados adicionales de "sentido común" que permitirían flexibilizar las suposiciones en algunos casos, sin dejar de descartar el ejemplo de Halpern. Otros enfoques fueron ideados por Hardy ^{[ 10 ]} o Dupré y Tipler. ^{[ 11 ]}

La formulación original del teorema de Cox se encuentra en Cox (1946) , que se amplía con resultados adicionales y más análisis en Cox (1961) . Jaynes ^{[ 8 ]} cita a Abel ^{[ 12 ]} por el primer uso conocido de la ecuación funcional de asociatividad. János Aczél ^{[ 13 ]} proporciona una demostración extensa de la "ecuación de asociatividad" (páginas 256-267). Jaynes ^{[ 8 ] : 27} reproduce la demostración más breve de Cox en la que se asume la diferenciabilidad. Una guía del teorema de Cox de Van Horn tiene como objetivo introducir al lector de forma exhaustiva a todas estas referencias. ^{[ 14 ]}

Baoding Liu, el fundador de la teoría de la incertidumbre, critica el teorema de Cox por presuponer que el valor de verdad de la conjunción${\displaystyle P\land Q}$es una función dos veces diferenciable${\displaystyle f}$de los valores de verdad de las dos proposiciones${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, es decir,${\displaystyle T(P\land Q)=f(T(P),T(Q))}$, lo que excluye la "medida incierta" de la teoría de la incertidumbre desde su inicio, porque la función${\displaystyle f(x,y)=x\land y}$, ^{[ a ]} ​​utilizado en la teoría de la incertidumbre, no es diferenciable con respecto a${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. ^{[ 15 ]} Según Liu, "no existe ninguna evidencia de que el valor de verdad de la conjunción esté completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones individuales, y mucho menos por una función dos veces diferenciable ". ^{[ 15 ]}

Otros supuestos explícitos y, especialmente, implícitos del teorema son cuestionados en artículos del filósofo Mark Colyvan ^{[ 16 ] [ 17 ]} y del matemático y estadístico Glenn Shafer . ^{[ 18 ]}

• axiomas de probabilidad
• Lógica de probabilidad

• Fine, Terrence L. (1973). Teorías de la probabilidad  : Un examen de sus fundamentos . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-256450-2.
• Smith, C. Ray; Erickson, Gary (1989). «De la racionalidad y la consistencia a la probabilidad bayesiana». En Skilling, John (ed.). Máxima entropía y métodos bayesianos . Dordrecht: Kluwer. pp. 29–44 . doi : 10.1007/978-94-015-7860-8_2 . ISBN  0-7923-0224-9.