El problema de Apolonio

Figura 2: Cuatro pares complementarios de soluciones al problema de Apolonio; los círculos mostrados son negros.

En geometría euclidiana plana , el problema de Apolonio consiste en construir círculos tangentes a tres círculos dados en un plano (Figura 1). Apolonio de Perga ( c. 262 a. C. – c. 190 a. C. ) planteó y resolvió este famoso problema en su obra Ἐπαφαί ( Epaphaí , ' Tangencias ' ); esta obra se ha perdido , pero ha sobrevivido un informe del siglo IV d. C. de sus resultados, realizado por Papo de Alejandría . Tres círculos dados tienen, en general, ocho círculos diferentes que son tangentes a ellos (Figura 2), un par de soluciones para cada forma de dividir los tres círculos dados en dos subconjuntos (hay 4 formas de dividir un conjunto de cardinalidad 3 en 2 partes).

En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando hipérbolas que se intersecan , pero esta solución emplea métodos que no se limitan a construcciones con regla y compás . François Viète halló una solución con regla y compás explotando casos límite : cualquiera de los tres círculos dados puede reducirse a radio cero (un punto) o expandirse a radio infinito (una línea). El enfoque de Viète, que utiliza casos límite más simples para resolver otros más complejos, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. El método de van Roomen fue simplificado por Isaac Newton , quien demostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición a partir de las diferencias de sus distancias a tres puntos conocidos. Esto tiene aplicaciones en sistemas de navegación y posicionamiento como LORAN .

Posteriormente, otros matemáticos introdujeron métodos algebraicos que transforman un problema geométrico en ecuaciones algebraicas . Estos métodos se simplificaron aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, los círculos de solución suelen aparecer en pares, donde una solución encierra los círculos dados que la otra excluye (Figura 2). Joseph Diaz Gergonne utilizó esta simetría para proporcionar una elegante solución con regla y compás, mientras que otros matemáticos emplearon transformaciones geométricas, como la reflexión en un círculo, para simplificar la configuración de los círculos dados. Estos avances proporcionan un marco geométrico para los métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie ) y una clasificación de las soluciones según 33 configuraciones esencialmente diferentes de los círculos dados.

El problema de Apolonio ha impulsado numerosos estudios posteriores. Se han realizado generalizaciones a tres dimensiones —como la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y más allá . La configuración de tres círculos mutuamente tangentes ha recibido especial atención. René Descartes formuló una fórmula que relaciona los radios de los círculos solución con los círculos dados, conocida como el teorema de Descartes . Resolver el problema de Apolonio de forma iterativa en este caso conduce a la junta apolínea , uno de los primeros fractales descritos por escrito, y que resulta importante en la teoría de números a través de los círculos de Ford y el método del círculo de Hardy-Littlewood .

Planteamiento del problema

El enunciado general del problema de Apolonio consiste en construir uno o más círculos tangentes a tres objetos dados en un plano, donde un objeto puede ser una línea, un punto o un círculo de cualquier tamaño. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Estos objetos pueden estar dispuestos de cualquier forma y pueden cruzarse entre sí; sin embargo, generalmente se consideran distintos, es decir, no coinciden. Las soluciones al problema de Apolonio a veces se denominan círculos de Apolonio , aunque el término también se usa para otros tipos de círculos asociados con Apolonio.

La propiedad de tangencia se define de la siguiente manera. Primero, se supone que un punto, una línea o un círculo es tangente a sí mismo; por lo tanto, si un círculo dado ya es tangente a los otros dos objetos dados, se considera una solución al problema de Apolonio. Se dice que dos objetos geométricos distintos se intersecan si tienen un punto en común. Por definición, un punto es tangente a un círculo o a una línea si los interseca, es decir, si se encuentra sobre ellos; por lo tanto, dos puntos distintos no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre líneas o círculos en un punto de intersección es cero, se dice que son tangentes ; el punto de intersección se llama punto de tangencia . (La palabra "tangente" deriva del participio presente latino , tangens , que significa "tocar"). En la práctica, dos círculos distintos son tangentes si se intersecan en un solo punto; si se intersecan en cero o dos puntos, no son tangentes. Lo mismo ocurre con una línea y un círculo. Dos líneas distintas no pueden ser tangentes en el plano, aunque dos líneas paralelas pueden considerarse tangentes en un punto en el infinito en geometría inversiva (véase más abajo ). ^[⁵^]^[⁶^]

El círculo solución puede ser tangente interna o externamente a cada uno de los círculos dados. Una tangencia externa se da cuando los dos círculos se curvan alejándose entre sí en su punto de contacto; se encuentran en lados opuestos de la línea tangente en ese punto y se excluyen mutuamente. La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios. Por el contrario, una tangencia interna se da cuando los dos círculos se curvan de la misma manera en su punto de contacto; los dos círculos se encuentran en el mismo lado de la línea tangente y un círculo encierra al otro. En este caso, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. A modo de ejemplo, en la Figura 1, el círculo solución rosa es tangente internamente al círculo negro de tamaño mediano dado a la derecha, mientras que es tangente externamente a los círculos dados más pequeño y más grande a la izquierda.

El problema de Apolonio también puede formularse como el problema de localizar uno o más puntos tales que la diferencia de sus distancias a tres puntos dados sea igual a tres valores conocidos. Consideremos un círculo solución de radio r _s y tres círculos dados de radios r ₁ , r ₂ y r ₃ . Si el círculo solución es tangente externamente a los tres círculos dados, las distancias entre el centro del círculo solución y los centros de los círculos dados son d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s y d ₃ = r ₃ + r _s , respectivamente. Por lo tanto, las diferencias en estas distancias son constantes, como d ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂ ; dependen solo de los radios conocidos de los círculos dados y no del radio r _s del círculo solución, que se cancela. Esta segunda formulación del problema de Apolonio puede generalizarse a círculos de solución internamente tangentes (para los cuales la distancia centro a centro es igual a la diferencia de radios), cambiando las diferencias de distancias correspondientes por sumas de distancias, de modo que el radio del círculo de solución r _s se cancele nuevamente. La reformulación en términos de distancias centro a centro es útil en las soluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se presentan a continuación , y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias de distancias a tres puntos conocidos. Por ejemplo, los sistemas de navegación como LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en los tiempos de llegada de las señales de tres posiciones fijas, que corresponden a las diferencias de distancias a esos transmisores. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Historia

Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio, ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} que ha sido llamado "el más famoso de todos" problemas de geometría. ^{[ 3 ]} El enfoque original de Apolonio de Perga se ha perdido, pero François Viète y otros han ofrecido reconstrucciones , basadas en las pistas de la descripción de Pappus de Alejandría . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} El primer método de solución nuevo fue publicado en 1596 por Adriaan van Roomen , quien identificó los centros de los círculos de solución como los puntos de intersección de dos hipérbolas . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} El método de Van Roomen fue refinado en 1687 por Isaac Newton en sus Principia , ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} y por John Casey en 1881. ^{[ 17 ]}

Aunque el método de van Roomen tuvo éxito en resolver el problema de Apolonio, presenta un inconveniente. Una propiedad muy valorada en la geometría euclidiana clásica es la capacidad de resolver problemas utilizando únicamente regla y compás . ^{[ 18 ]} Muchas construcciones son imposibles utilizando solo estas herramientas, como dividir un ángulo en tres partes iguales . Sin embargo, muchos de estos problemas "imposibles" pueden resolverse intersectando curvas como hipérbolas, elipses y parábolas ( secciones cónicas ). Por ejemplo, duplicar el cubo (el problema de construir un cubo con el doble de volumen que un cubo dado) no puede hacerse utilizando solo regla y compás, pero Menaechmus demostró que el problema puede resolverse utilizando las intersecciones de dos parábolas . ^{[ 19 ]} Por lo tanto, la solución de van Roomen —que utiliza la intersección de dos hipérbolas— no determinó si el problema satisfacía la propiedad de regla y compás.

El amigo de Van Roomen, François Viète , quien había instado a Van Roomen a trabajar en el problema de Apolonio en primer lugar, desarrolló un método que utilizaba solo regla y compás. ^{[ 20 ]} Antes de la solución de Viète, Regiomontanus dudaba de que el problema de Apolonio pudiera resolverse con regla y compás. ^{[ 21 ]} Viète resolvió primero algunos casos especiales simples del problema de Apolonio, como encontrar un círculo que pasa por tres puntos dados que tiene una sola solución si los puntos son distintos; luego pasó a resolver casos especiales más complicados, en algunos casos reduciendo o expandiendo los círculos dados. ^{[ 1 ]} Según el informe del siglo IV de Pappus, el propio libro de Apolonio sobre este problema —titulado Ἐπαφαί ( Epaphaí , "Tangencias"; en latín: De tactionibus , De contactibus )— siguió un enfoque progresivo similar. ^{[ 11 ]} Por lo tanto, la solución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la solución de Apolonio, aunque otras reconstrucciones han sido publicadas independientemente por tres autores diferentes. ^{[ 22 ]}

Varias otras soluciones geométricas al problema de Apolonio fueron desarrolladas en el siglo XIX. Las soluciones más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811) ^{[ 23 ]} y de Joseph Diaz Gergonne (1814). ^{[ 24 ]} Mientras que la demostración de Poncelet se basa en centros homotéticos de círculos y el teorema de la potencia de un punto , el método de Gergonne explota la relación conjugada entre líneas y sus polos en un círculo. Los métodos que utilizan la inversión de círculos fueron iniciados por Julius Petersen en 1879; ^{[ 25 ]} un ejemplo es el método de solución anular de HSM Coxeter . ^{[ 2 ]} Otro enfoque utiliza la geometría de la esfera de Lie , ^{[ 26 ]} que fue desarrollada por Sophus Lie .

Las soluciones algebraicas al problema de Apolonio fueron iniciadas en el siglo XVII por René Descartes y la princesa Isabel de Bohemia , aunque sus soluciones eran bastante complejas. ^{[ 9 ]} Los métodos algebraicos prácticos fueron desarrollados a finales de los siglos XVIII y XIX por varios matemáticos, entre ellos Leonhard Euler , ^{[ 27 ]} Nicolas Fuss , ^{[ 9 ]} Carl Friedrich Gauss , ^{[ 28 ]} Lazare Carnot , ^{[ 29 ]} y Augustin Louis Cauchy . ^{[ 30 ]}

Métodos de solución

hipérbolas que se cruzan

La solución de Adriaan van Roomen (1596) se basa en la intersección de dos hipérbolas . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} Sean los círculos dados C ₁ , C ₂ y C ₃ . Van Roomen resolvió el problema general resolviendo un problema más simple, el de encontrar los círculos que son tangentes a dos círculos dados, como C ₁ y C ₂ . Observó que el centro de un círculo tangente a ambos círculos dados debe estar en una hipérbola cuyos focos son los centros de los círculos dados. Para entender esto, sean los radios del círculo solución y de los dos círculos dados denotados como r _s , r ₁ y r ₂ , respectivamente (Figura 3). La distancia d ₁ entre los centros del círculo solución y C ₁ es r _s + r ₁ o r _s − r ₁ , dependiendo de si estos círculos se eligen como tangentes externa o internamente, respectivamente. De manera similar, la distancia d ₂ entre los centros del círculo solución y C ₂ es r _s + r ₂ o r _s − r ₂ , dependiendo nuevamente de su tangencia elegida. Por lo tanto, la diferencia d ₁ − d ₂ entre estas distancias es siempre una constante que es independiente de r _s . Esta propiedad, de tener una diferencia fija entre las distancias a los focos , caracteriza a las hipérbolas, por lo que los posibles centros del círculo solución se encuentran sobre una hipérbola. Se puede dibujar una segunda hipérbola para el par de círculos dados C ₂ y C ₃ , donde la tangencia interna o externa de la solución y C ₂Debe elegirse de forma coherente con la primera hipérbola. La intersección de estas dos hipérbolas (si la hay) proporciona el centro de un círculo solución cuyas tangencias internas y externas a los tres círculos dados son las elegidas. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se puede encontrar considerando todas las combinaciones posibles de tangencia interna y externa del círculo solución a los tres círculos dados.

Isaac Newton (1687) refinó la solución de van Roomen, de modo que los centros de los círculos de solución se ubicaron en las intersecciones de una línea con un círculo. ^{[ 15 ]} Newton formula el problema de Apolonio como un problema de trilateración : ubicar un punto Z a partir de tres puntos dados A , B y C , de manera que las diferencias en las distancias de Z a los tres puntos dados tengan valores conocidos. ^{[ 31 ]} Estos cuatro puntos corresponden al centro del círculo de solución ( Z ) y a los centros de los tres círculos dados ( A , B y C ).

En lugar de resolver las dos hipérbolas, Newton construye sus directriz . Para cualquier hipérbola, la razón entre las distancias de un punto Z a un foco A y a la directriz es una constante fija llamada excentricidad . Las dos directrices se intersecan en un punto T , y a partir de sus dos razones de distancia conocidas, Newton construye una línea que pasa por T y sobre la cual debe estar Z. Sin embargo, la razón de distancias TZ/TA también es conocida; por lo tanto, Z también se encuentra sobre una circunferencia conocida, ya que Apolonio había demostrado que una circunferencia puede definirse como el conjunto de puntos que tienen una razón dada de distancias a dos puntos fijos. (Cabe mencionar que esta definición es la base de las coordenadas bipolares ). Así, las soluciones al problema de Apolonio son las intersecciones de una línea con una circunferencia.

La reconstrucción de Viète

Como se describe a continuación , el problema de Apolonio tiene diez casos especiales, dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados, que pueden ser un círculo ( C ), una línea ( L ) o un punto ( P ). Por costumbre, estos diez casos se distinguen mediante códigos de tres letras, como CCP . ^{[ 32 ]} Viète resolvió los diez casos utilizando únicamente construcciones con compás y regla, y empleó las soluciones de los casos más sencillos para resolver los más complejos. ^{[ 1 ]}^{[ 20 ]}

Figura 4: La tangencia entre círculos se conserva si sus radios se modifican en cantidades iguales. Un círculo rosa debe contraerse o expandirse con un círculo tangente internamente (círculo negro a la derecha), mientras que los círculos tangentes externamente (dos círculos negros a la izquierda) hacen lo contrario.

Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides en sus Elementos . A partir de esto, derivó un lema correspondiente al teorema de la potencia de un punto , que utilizó para resolver el caso LPP (una recta y dos puntos). Siguiendo a Euclides por segunda vez, Viète resolvió el caso LLL (tres rectas) utilizando las bisectrices de ángulos . Luego derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz de ángulo que pasa por un punto, que utilizó para resolver el problema LLP (dos rectas y un punto). Esto explica los primeros cuatro casos del problema de Apolonio, aquellos que no involucran círculos.

Para resolver los problemas restantes, Viète aprovechó el hecho de que los círculos dados y el círculo solución pueden redimensionarse simultáneamente manteniendo su tangencia (Figura 4). Si el radio del círculo solución se modifica en una cantidad Δr , el radio de los círculos dados internamente tangentes también debe modificarse en Δr , mientras que el radio de los círculos dados externamente tangentes debe modificarse en −Δr . Por lo tanto, a medida que el círculo solución se expande, los círculos dados internamente tangentes deben expandirse simultáneamente, mientras que los círculos dados externamente tangentes deben contraerse para mantener su tangencia.

Viète utilizó este método para reducir uno de los círculos dados a un punto, simplificando así el problema y convirtiéndolo en un caso ya resuelto. Primero resolvió el caso CLL (un círculo y dos líneas) reduciendo el círculo a un punto, lo que lo convirtió en un caso LLP . Luego resolvió el caso CLP (un círculo, una línea y un punto) utilizando tres lemas. Al reducir nuevamente un círculo a un punto, Viète transformó el caso CCL en un caso CLP . Posteriormente resolvió el caso CPP (un círculo y dos puntos) y el caso CCP (dos círculos y un punto), este último mediante dos lemas. Finalmente, Viète resolvió el caso general CCC (tres círculos) reduciendo un círculo a un punto, lo que lo convirtió en un caso CCP .

Soluciones algebraicas

El problema de Apolonio puede plantearse como un sistema de tres ecuaciones para el centro y el radio del círculo solución. ^{[ 33 ]} Dado que los tres círculos dados y cualquier círculo solución deben estar en el mismo plano, sus posiciones pueden especificarse en términos de las coordenadas ( x , y ) de sus centros. Por ejemplo, las posiciones centrales de los tres círculos dados pueden escribirse como ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) y ( x ₃ , y ₃ ), mientras que la de un círculo solución puede escribirse como ( x _s , y _s ). De manera similar, los radios de los círculos dados y de un círculo solución pueden escribirse como r ₁ , r ₂ , r ₃ y r _s , respectivamente. El requisito de que un círculo solución toque exactamente a cada uno de los tres círculos dados puede expresarse como tres ecuaciones cuadráticas acopladas para x _s , y _s y r _s :

\left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}

\left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}

\left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.

Los tres números s ₁ , s ₂ y s ₃ del lado derecho , llamados signos, pueden ser iguales a ±1 y especifican si el círculo de solución deseado debe tocar el círculo dado correspondiente internamente ( s = 1) o externamente ( s = −1). Por ejemplo, en las Figuras 1 y 4, la solución rosa es internamente tangente al círculo dado de tamaño mediano a la derecha y externamente tangente a los círculos dados más pequeño y más grande a la izquierda; si los círculos dados están ordenados por radio, los signos para esta solución son "− + −" . Dado que los tres signos pueden elegirse independientemente, hay ocho conjuntos posibles de ecuaciones (2 × 2 × 2 = 8) , cada conjunto correspondiente a uno de los ocho tipos de círculos de solución.

El sistema general de tres ecuaciones se puede resolver mediante el método de resultantes . Al multiplicarlas, las tres ecuaciones tienen x _s² + y _s² en el lado izquierdo y r _s² en el lado derecho. Restando una ecuación de otra se eliminan estos términos cuadráticos; los términos lineales restantes se pueden reordenar para obtener fórmulas para las coordenadas x _s e y s _.

x_{s}=M+Nr_{s}

y_{s}=P+Qr_{s}

donde M , N , P y Q son funciones conocidas de los círculos dados y la elección de signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación cuadrática para r _s , que puede resolverse mediante la fórmula cuadrática . _La sustitución del valor numérico de r _s en las fórmulas lineales produce los valores correspondientes de x _{s e} y s .

Los signos s ₁ , s ₂ y s ₃ en los lados derechos de las ecuaciones pueden elegirse de ocho maneras posibles, y cada elección de signos da hasta dos soluciones, ya que la ecuación para r _s es cuadrática . Esto podría sugerir (erróneamente) que hay hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. Sin embargo, debido a una simetría de las ecuaciones, si ( r _s , x _s , y _s ) es una solución, con signos s _i , entonces también lo es (− r _s , x _s , y _s ), con signos opuestos − s _i , que representan el mismo círculo de soluciones. Por lo tanto, el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes (Figura 2). Una forma de evitar este doble conteo es considerar solo círculos de soluciones con radio no negativo.

Las dos raíces de cualquier ecuación cuadrática pueden ser de tres tipos posibles: dos números reales distintos , dos números reales idénticos (es decir, una raíz doble degenerada) o un par de raíces complejas conjugadas . El primer caso corresponde a la situación habitual; cada par de raíces corresponde a un par de soluciones relacionadas por inversión de círculo , como se describe a continuación (Figura 6). En el segundo caso, ambas raíces son idénticas, lo que corresponde a un círculo solución que se transforma en sí mismo bajo inversión. En este caso, uno de los círculos dados es en sí mismo una solución al problema de Apolonio, y el número de soluciones distintas se reduce en una. El tercer caso de radios complejos conjugados no corresponde a una solución geométricamente posible para el problema de Apolonio, ya que un círculo solución no puede tener un radio imaginario; por lo tanto, el número de soluciones se reduce en dos. El problema de Apolonio no puede tener siete soluciones, aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho. ^{[ 12 ]}^{[ 34 ]}

Geometría de la esfera de Lie

Las mismas ecuaciones algebraicas pueden derivarse en el contexto de la geometría de la esfera de Lie . ^{[ 26 ]} Esa geometría representa círculos, líneas y puntos de manera unificada, como un vector pentadimensional X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), donde c = ( c _x , c _y ) es el centro del círculo, y r es su radio (no negativo). Si r no es cero, el signo s puede ser positivo o negativo; para la visualización, s representa la orientación del círculo, con círculos en sentido antihorario con s positivo y círculos en sentido horario con s negativo . El parámetro w es cero para una línea recta, y uno en caso contrario.

En este mundo pentadimensional, existe un producto bilineal similar al producto escalar :

\left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.

La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores _cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado ₎ es cero, ( X | X ) = 0. Sean X₁ y X₂ dos vectores que pertenecen a esta cuádrica; la norma de su diferencia es igual a

\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.

El producto se distribuye sobre la suma y la resta (más precisamente, es bilineal ):

\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).

Dado que ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y dado que w ₁ = w ₂ = 1 para círculos, el producto de cualesquiera dos de estos vectores en la cuádrica es igual a

-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.

donde las barras verticales que encierran c ₁ − c ₂ representan la longitud de ese vector diferencia, es decir, la norma euclidiana . Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos X ₁ y X ₂ son ortogonales (perpendiculares) entre sí, es decir, si ( X ₁ | X ₂ ) = 0, entonces sus círculos correspondientes son tangentes. Porque si los dos signos s ₁ y s ₂ son iguales (es decir, los círculos tienen la misma "orientación"), los círculos son internamente tangentes; la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de los radios.

\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.

Por el contrario, si los dos signos s ₁ y s ₂ son diferentes (es decir, los círculos tienen "orientaciones" opuestas), los círculos son externamente tangentes; la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios.

\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.

Por lo tanto, el problema de Apolonio puede reformularse en geometría de Lie como un problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie; específicamente, el objetivo es identificar vectores solución X _sol que pertenezcan a la cuádrica de Lie y que también sean ortogonales (perpendiculares) a los vectores X ₁ , X ₂ y X ₃ correspondientes a los círculos dados.

\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{3}\right)=0

La ventaja de esta reformulación radica en que permite aprovechar teoremas del álgebra lineal sobre el número máximo de vectores linealmente independientes y simultáneamente perpendiculares. Esto proporciona otra forma de calcular el número máximo de soluciones y extender el teorema a espacios de dimensiones superiores. ^{[ 26 ]}^{[ 35 ]}

Métodos inversos

Un entorno natural para el problema de Apolonio es la geometría inversiva . ^{[ 4 ]}^{[ 12 ]} La estrategia básica de los métodos inversivos es transformar un problema de Apolonio dado en otro problema de Apolonio más simple de resolver; las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado al deshacer la transformación. Las transformaciones candidatas deben cambiar un problema de Apolonio en otro; por lo tanto, deben transformar los puntos, círculos y líneas dados en otros puntos, círculos y líneas, y ninguna otra forma. La inversión de círculos tiene esta propiedad y permite que el centro y el radio del círculo de inversión se elijan juiciosamente. Otras candidatas incluyen las isometrías del plano euclidiano ; sin embargo, no simplifican el problema, ya que simplemente desplazan , rotan y reflejan el problema original.

La inversión en un círculo con centro O y radio R consiste en la siguiente operación (Figura 5): cada punto P se transforma en un nuevo punto P' de tal manera que O , P y P' sean colineales, y el producto de las distancias de P y P' al centro O sea igual al radio R al cuadrado.

{\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.

Así, si P se encuentra fuera del círculo, entonces P' se encuentra dentro, y viceversa. Cuando P es igual a O , se dice que la inversión envía P al infinito. (En análisis complejo , "infinito" se define en términos de la esfera de Riemann ). La inversión tiene la útil propiedad de que las líneas y los círculos siempre se transforman en líneas y círculos, y los puntos siempre se transforman en puntos. Los círculos generalmente se transforman en otros círculos bajo la inversión; sin embargo, si un círculo pasa por el centro del círculo de inversión, se transforma en una línea recta, y viceversa. Es importante destacar que si un círculo cruza el círculo de inversión en ángulo recto (lo interseca perpendicularmente), no se ve afectado por la inversión; se transforma en sí mismo.

Las inversiones de círculos corresponden a un subconjunto de transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann . El problema de Apolonio plano se puede transferir a la esfera mediante una proyección estereográfica inversa ; por lo tanto, las soluciones del problema de Apolonio plano también se aplican a su contraparte en la esfera. Además de las soluciones comunes descritas a continuación, existen otras soluciones inversivas para el problema plano. ^{[ 36 ]}

Pares de soluciones por inversión

Las soluciones al problema de Apolonio generalmente aparecen en pares; para cada círculo de solución, hay un círculo de solución conjugado (Figura 6). ^{[ 1 ]} Los dos círculos de solución conjugados están relacionados por inversión , según el siguiente argumento.

En general, cualquier conjunto de tres círculos distintos tiene un único círculo —el círculo radical— que los interseca perpendicularmente; el centro de ese círculo es el centro radical de los tres círculos. ^{[ 4 ]} A modo de ejemplo, el círculo naranja de la Figura 6 cruza los círculos negros dados en ángulo recto. La inversión en el círculo radical deja los círculos dados sin cambios, pero transforma los dos círculos conjugados de solución rosas entre sí. Bajo la misma inversión, los puntos de tangencia correspondientes de los dos círculos de solución se transforman entre sí; a modo de ejemplo, en la Figura 6, los dos puntos azules que se encuentran en cada línea verde se transforman entre sí. Por lo tanto, las líneas que conectan estos puntos de tangencia conjugados son invariantes bajo la inversión; en consecuencia, deben pasar por el centro de inversión, que es el centro radical (líneas verdes que se intersecan en el punto naranja de la Figura 6).

Inversión a un anillo

Si dos de los tres círculos dados no se intersecan, se puede elegir un centro de inversión de modo que esos dos círculos dados se vuelvan concéntricos . ^{[ 2 ]}^{[ 12 ]} Bajo esta inversión, los círculos solución deben caer dentro del anillo entre los dos círculos concéntricos. Por lo tanto, pertenecen a dos familias de un parámetro. En la primera familia (Figura 7), las soluciones no encierran el círculo concéntrico interior, sino que giran como rodamientos de bolas en el anillo. En la segunda familia (Figura 8), los círculos solución encierran el círculo concéntrico interior. Generalmente hay cuatro soluciones para cada familia, lo que produce ocho posibles soluciones, consistentes con la solución algebraica .

Cuando dos de los círculos dados son concéntricos, el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente utilizando un método de Gauss . ^{[ 28 ]} Se conocen los radios de los tres círculos dados, así como la distancia d _non desde el centro concéntrico común hasta el círculo no concéntrico (Figura 7). El círculo solución se puede determinar a partir de su radio r _s , el ángulo θ y las distancias d _s y d _T desde su centro hasta el centro concéntrico común y el centro del círculo no concéntrico, respectivamente. Se conocen el radio y la distancia d _s (Figura 7), y la distancia d _T = r _s ± r _non , dependiendo de si el círculo solución es interna o externamente tangente al círculo no concéntrico. Por lo tanto, por la ley de los cosenos ,

\cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.

Aquí, para mayor brevedad, se ha definido una nueva constante C , cuyo subíndice indica si la solución es tangente externa o interna. Un simple reordenamiento trigonométrico produce las cuatro soluciones.

\theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).

Esta fórmula representa cuatro soluciones, correspondientes a las dos opciones del signo de θ y las dos opciones para C. Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener mediante el mismo método, utilizando las sustituciones de rs y _ds indicadas en la Figura 8. Por _lo tanto, las ocho soluciones del problema general de Apolonio se pueden hallar mediante este método .

Dos círculos disjuntos iniciales pueden convertirse en concéntricos de la siguiente manera: se construye el eje radical de los dos círculos; eligiendo dos puntos arbitrarios P y Q sobre este eje, se construyen dos círculos centrados en P y Q que intersecan ortogonalmente los dos círculos originales. Estos dos círculos construidos se intersecan en dos puntos. La inversión en uno de estos puntos de intersección F transforma los círculos construidos en líneas rectas que parten de F y los dos círculos originales en círculos concéntricos, convirtiéndose el tercer círculo original en otro círculo (en general). Esto se debe a que el sistema de círculos es equivalente a un conjunto de círculos apolíneos , formando un sistema de coordenadas bipolar .

Cambio de tamaño e inversión

La utilidad de la inversión puede incrementarse significativamente mediante el redimensionamiento. ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]} Como se observa en la reconstrucción de Viète , los tres círculos dados y el círculo solución pueden redimensionarse en tándem conservando sus tangencias. De este modo, el problema inicial de Apolonio se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por ejemplo, los cuatro círculos pueden redimensionarse de manera que un círculo dado se reduzca a un punto; alternativamente, dos círculos dados pueden redimensionarse de manera que sean tangentes entre sí. En tercer lugar, los círculos dados que se intersecan pueden redimensionarse de manera que dejen de intersecarse, tras lo cual se puede aplicar el método de inversión a un anillo . En todos estos casos, la solución del problema original de Apolonio se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo el redimensionamiento y la inversión.

Reducir un círculo dado a un punto.

En el primer enfoque, los círculos dados se contraen o expanden (apropiadamente a su tangencia) hasta que un círculo dado se contrae a un punto P. [ ^{37 ] En} ese caso, el problema de Apolonio degenera al caso límite CCP , que es el problema de encontrar un círculo solución tangente a los dos círculos dados restantes que pasa por el punto P. La inversión en un círculo centrado en P transforma los dos círculos dados en nuevos círculos, y el círculo solución en una línea. Por lo tanto, la solución transformada es una línea que es tangente a los dos círculos dados transformados. Hay cuatro tales líneas solución, que pueden construirse a partir de los centros homotéticos externos e internos de los dos círculos. La reinversión en P y deshacer el redimensionamiento transforma dicha línea solución en el círculo solución deseado del problema de Apolonio original. Las ocho soluciones generales pueden obtenerse contrayendo y expandiendo los círculos de acuerdo con las diferentes tangencias internas y externas de cada solución; Sin embargo, diferentes círculos dados pueden reducirse a un punto para obtener diferentes soluciones.

Redimensionar dos círculos dados para que sean tangentes.

En el segundo enfoque, los radios de los círculos dados se modifican adecuadamente en una cantidad Δr de modo que dos de ellos sean tangentes (se toquen). ^{[ 38 ]} Su punto de tangencia se elige como el centro de inversión en un círculo que interseca cada uno de los dos círculos que se tocan en dos lugares. Al invertir, los círculos que se tocan se convierten en dos líneas paralelas: su único punto de intersección se envía al infinito bajo la inversión, por lo que no pueden encontrarse. La misma inversión transforma el tercer círculo en otro círculo. La solución del problema invertido debe ser (1) una línea recta paralela a las dos líneas paralelas dadas y tangente al tercer círculo dado transformado; o (2) un círculo de radio constante que sea tangente a las dos líneas paralelas dadas y al círculo dado transformado. Re-invertir y ajustar los radios de todos los círculos en Δr produce un círculo solución tangente a los tres círculos originales.

La solución de Gergonne

_El enfoque de Gergonne consiste en considerar los círculos solución en pares. ^{[ 1 ]} Denotemos un par de círculos solución como _CAy CB ( los círculos rosas en la Figura 6), y sus puntos de tangencia con los tres círculos dados como A1 , A2 _,A3 y _B1 , B2 , B3 , respectivamente. La solución de Gergonne busca localizar estos seis puntos y, por _lo_tanto_, calcular los dos círculos solución _.

_{La intuición de Gergonne}_consistió en que si se pudiera construir una línea L₁ de tal manera _{que A₁}y B₁ coincidieran con ella, esos dos puntos podrían identificarse como los puntos de intersección de L₁ con el círculo C₁ dado ₍Figura 6 _{) .}_Los cuatro puntos de tangencia restantes se ubicarían de forma similar, hallando las líneas _L₂_y_L₃que contuvieran A₂ y B₂ , _y A₃ y B₃ _,respectivamente . Para construir una línea como L₁ , deben identificarse dos puntos que se encuentren sobre ella; pero estos puntos no necesariamente son los puntos de tangencia. Gergonne logró identificar otros dos puntos para cada una de las tres líneas. Uno de estos dos puntos ya ha sido identificado: el _centroradical G se encuentra sobre las tres líneas (Figura 6).

Para ubicar un segundo punto en las líneas L ₁ , L ₂ y L ₃ , Gergonne observó una relación recíproca entre esas líneas y el eje radical R de los círculos solución, C _A y C _B . Para comprender esta relación recíproca, consideremos las dos líneas tangentes al círculo C ₁ trazadas en sus puntos de tangencia A ₁ y B ₁ con los círculos solución; la intersección de estas líneas tangentes es el punto polar de L ₁ en C ₁ . Dado que las distancias desde ese punto polar a los puntos de tangencia A ₁ y B ₁ son iguales, este punto polar también debe estar sobre el eje radical R de los círculos solución, por definición (Figura 9). La relación entre los puntos polares y sus líneas polares es recíproca; si el polo de L ₁ en C ₁ está sobre R , el polo de R en C ₁ debe estar, a la inversa, sobre L ₁ . Por lo tanto, si podemos construir R , podemos encontrar su polo P ₁ en C ₁ , lo que nos da el segundo punto necesario en L ₁ (Figura 10).

Gergonne halló el eje radical R de los círculos solución desconocidos de la siguiente manera. Cualquier par de círculos tiene dos centros de semejanza ; estos dos puntos son las dos posibles intersecciones de dos líneas tangentes a los dos círculos. Por lo tanto, los tres círculos dados tienen seis centros de semejanza, dos para cada par distinto de círculos dados. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea; además, cada línea corresponde al eje radical de un par potencial de círculos solución. Para demostrar esto, Gergonne consideró líneas que pasan por puntos de tangencia correspondientes en dos de los círculos dados, por ejemplo, la línea definida por A ₁ / A ₂ y la línea definida por B ₁ / B _2. Sea X ₃ un centro de semejanza para los dos círculos C ₁ y C ₂ ; entonces, A ₁ / A ₂ y B ₁ / B ₂son pares de puntos antihomólogos , y sus líneas se intersecan en X _3. Por lo tanto, se deduce que los productos de distancias son iguales.

{\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}

lo que implica que X₃ _se encuentra sobre el eje radical de los dos círculos solución. El mismo argumento puede aplicarse a los demás pares de círculos, de modo que tres centros de similitud para los tres círculos dados deben estar sobre los ejes radicales de pares de círculos solución.

En resumen, la recta deseada L ₁ se define por dos puntos: el centro radical G de los tres círculos dados y el polo en C ₁ de una de las cuatro rectas que conectan los centros homotéticos. Encontrar el mismo polo en C ₂ y C ₃ da L ₂ y L ₃ , respectivamente; por lo tanto, se pueden localizar los seis puntos, a partir de los cuales se puede encontrar un par de círculos solución. Repitiendo este procedimiento para las tres rectas restantes con centro homotético se obtienen seis soluciones más, lo que da un total de ocho soluciones. Sin embargo, si una recta L _k no interseca su círculo C _k para algún k , no existe un par de soluciones para esa recta con centro homotético.

teoría de la intersección

Las técnicas de la geometría algebraica moderna , y en particular la teoría de la intersección , pueden utilizarse para resolver el problema de Apolonio. En este enfoque, el problema se reinterpreta como un enunciado sobre círculos en el plano proyectivo complejo . Se permiten soluciones que involucran números complejos y las situaciones degeneradas se contabilizan con multiplicidad. Al hacerlo, siempre hay ocho soluciones para el problema. ^{[ 39 ]}

Cada ecuación cuadrática en $X$ , $Y$ y $Z$ determina una cónica única, su lugar de anulación. Recíprocamente, cada cónica en el plano proyectivo complejo tiene una ecuación, y esa ecuación es única salvo por un factor de escala global (porque reescalar una ecuación no cambia su lugar de anulación). Por lo tanto, el conjunto de todas las cónicas puede parametrizarse mediante el espacio proyectivo pentadimensional $P 5$ , donde la correspondencia es

\{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0\}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.

Un círculo en el plano proyectivo complejo se define como una cónica que pasa por los dos puntos $O + = [1 : i : 0]$ y $O - = [1 : - i : 0]$ , donde $i$ denota la raíz cuadrada de $- 1$ . Los puntos $O +$ y $O -$ se denominan puntos circulares . La variedad proyectiva de todos los círculos es la subvariedad de $P 5$ que consta de aquellos puntos que corresponden a cónicas que pasan por los puntos circulares. Sustituyendo los puntos circulares en la ecuación de una cónica genérica se obtienen las dos ecuaciones

A+Bi-C=0,

A-Bi-C=0.

Tomando la suma y la diferencia de estas ecuaciones se demuestra que es equivalente a imponer las condiciones

A=C

y

B=0

.

Por lo tanto, la variedad de todos los círculos es un subespacio lineal tridimensional de $P 5$ . Después de reescalar y completar el cuadrado , estas ecuaciones también demuestran que cada cónica que pasa por los puntos circulares tiene una ecuación de la forma

(X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},

que es la homogeneización de la ecuación usual de un círculo en el plano afín. Por lo tanto, estudiar círculos en el sentido anterior es casi equivalente a estudiarlos en el sentido convencional. La única diferencia es que el sentido anterior permite círculos degenerados, que son la unión de dos líneas. Los círculos no degenerados se llaman círculos suaves , mientras que los degenerados se llaman círculos singulares . Hay dos tipos de círculos singulares. Uno es la unión de la línea en el infinito $Z = 0$ con otra línea en el plano proyectivo (posiblemente la línea en el infinito nuevamente), y el otro es la unión de dos líneas en el plano proyectivo, una que pasa por cada uno de los dos puntos circulares. Estos son los límites de los círculos suaves cuando el radio $r$ tiende a $+\infty$ y $0$ , respectivamente. En este último caso, ningún punto en ninguna de las dos líneas tiene coordenadas reales excepto el origen $[0 : 0 : 1]$ .

Sea $D$ un círculo fijo y liso. Si $C$ es cualquier otro círculo, entonces, por definición de círculo, $C$ y $D$ se intersecan en los puntos circulares $O +$ y $O -$ . Como $C$ y $D$ son cónicas, el teorema de Bézout implica que $C$ y $D$ se intersecan en cuatro puntos en total, cuando esos puntos se cuentan con la multiplicidad de intersección adecuada . Es decir, hay cuatro puntos de intersección $O +$ , $O -$ , $P$ y $Q$ , pero algunos de estos puntos podrían colisionar. El problema de Apolonio se refiere a la situación donde $P = Q$ , lo que significa que la multiplicidad de intersección en ese punto es $2$ ; si $P$ también es igual a un punto circular, esto debe interpretarse como que la multiplicidad de intersección es $3$ .

Sea $Z D$ la variedad de círculos tangentes a $D.$ Esta variedad es un cono cuádrico en el $P 3$ de todos los círculos. Para ver esto, consideremos la correspondencia de incidencia.

\Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C{\text{ is tangent to }}D{\text{ at }}r\}.

Para una curva que es el lugar geométrico de anulación de una sola ecuación $f = 0$ , la condición de que la curva se encuentre con $D$ en $r$ con multiplicidad $m$ significa que la expansión en serie de Taylor de $f | D$ se anula hasta el orden $m$ en $r$ ; por lo tanto, son $m$ condiciones lineales sobre los coeficientes de $f$ . Esto muestra que, para cada $r$ , la fibra de $Φ$ sobre $r$ es un $P 1$ cortado por dos ecuaciones lineales en el espacio de círculos. En consecuencia, $Φ$ es irreducible de dimensión $2.$ Dado que es posible exhibir un círculo que sea tangente a $D$ en un solo punto, un elemento genérico de $Z D$ debe ser tangente en un solo punto. Por lo tanto, la proyección $Φ \to P 2$ que envía $(r, C)$ a $C$ es un morfismo birracional . De ello se deduce que la imagen de $Φ$ , que es $Z D$ , también es irreducible y bidimensional.

Para determinar la forma de $Z D$ , fijemos dos círculos distintos $C 0$ y $C \infty$ , no necesariamente tangentes a $D.$ Estos dos círculos determinan un haz , es decir, una línea $L$ en el $conjunto P 3$ de círculos. Si las ecuaciones de $C 0$ y $C \infty$ son $f$ y $g$ , respectivamente, entonces los puntos en $L$ corresponden a los círculos cuyas ecuaciones son $Sf + Tg$ , donde $[S : T]$ es un punto de $P 1.$ Los puntos donde $L$ intersecta $a Z D$ son precisamente los círculos en el haz que son tangentes a $D.$

Hay dos posibilidades para el número de puntos de intersección. Una es que $f$ o $g$ , digamos $f$ , sea la ecuación de $D.$ En este caso, $L$ es una línea que pasa por $D.$ Si $C \infty$ es tangente a $D$ , entonces también lo es cada círculo en el haz, y por lo tanto $L$ está contenido en $Z D.$ La otra posibilidad es que ni $f$ ni $g$ sean la ecuación de $D.$ En este caso, la función $(f / g)| D$ es un cociente de funciones cuadráticas, ninguna de las cuales se anula idénticamente. Por lo tanto, se anula en dos puntos y tiene polos en dos puntos. Estos son los puntos en $C 0 \cap D$ y $C \infty \cap D$ , respectivamente, contados con multiplicidad y con los puntos circulares restados. La función racional determina un morfismo $D \to P 1$ de grado dos. La fibra sobre $[S : T] \in P 1$ es el conjunto de puntos $P$ para los cuales $f (P) T = g (P) S$ . Estos son precisamente los puntos en los que el círculo cuya ecuación es $Tf - Sg$ se encuentra con $D$ . Los puntos de ramificación de este morfismo son los círculos tangentes a $D$ . Por la fórmula de Riemann-Hurwitz , hay precisamente dos puntos de ramificación, y por lo tanto $L$ se encuentra con $Z D$ en dos puntos. Juntas, estas dos posibilidades para la intersección de $L$ y $Z D$ demuestran que $Z D$ es un cono cuádrico. Todos estos conos en $P 3$ son iguales salvo un cambio de coordenadas, por lo que esto determina completamente la forma de $Z D$ .

Para concluir el argumento, sean $D 1$ , $D 2$ y $D 3$ tres círculos. Si la intersección $Z D 1 \cap Z D 2 \cap Z D 3$ es finita, entonces tiene grado $23 = 8$ , y por lo tanto hay ocho soluciones al problema de Apolonio, contadas con multiplicidad. Para demostrar que la intersección es genéricamente finita, consideremos la correspondencia de incidencia.

\Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C{\text{ is tangent to all }}D_{i}\}.

Existe un morfismo que proyecta $Ψ$ sobre su factor final $P 3$ . La fibra sobre $C$ es $Z C 3$ . Esta tiene dimensión $6$ , por lo que $Ψ$ tiene dimensión $9$ . Dado que $(P 3) 3$ también tiene dimensión $9$ , la fibra genérica de la proyección de $Ψ$ a los tres primeros factores no puede tener dimensión positiva. Esto demuestra que, genéricamente, existen ocho soluciones contadas con multiplicidad. Dado que es posible exhibir una configuración donde las ocho soluciones son distintas, la configuración genérica debe tener las ocho soluciones distintas.

radios

En el problema genérico con ocho círculos de solución, los recíprocos de los radios de cuatro de los círculos de solución suman el mismo valor que los recíprocos de los radios de los otros cuatro círculos de solución ^{[ 40 ].}

Casos especiales

Diez combinaciones de puntos, círculos y líneas

El problema de Apolonio consiste en construir uno o más círculos tangentes a tres objetos dados en un plano, que pueden ser círculos, puntos o líneas. Esto da lugar a diez tipos de problemas de Apolonio, uno correspondiente a cada combinación de círculos, líneas y puntos, que pueden etiquetarse con tres letras, ya sea C , L o P , para indicar si los elementos dados son un círculo, una línea o un punto, respectivamente ( Tabla 1 ). ^{[ 32 ]} Como ejemplo, el tipo de problema de Apolonio con un círculo, una línea y un punto dados se denota como CLP .

Algunos de estos casos especiales son mucho más fáciles de resolver que el caso general de tres círculos dados. Los dos casos más sencillos son los problemas de trazar un círculo que pase por tres puntos dados ( PPP ) o que sea tangente a tres líneas ( LLL ), que fueron resueltos por primera vez por Euclides en sus Elementos . Por ejemplo, el problema PPP se puede resolver de la siguiente manera: el centro del círculo solución está a igual distancia de los tres puntos y, por lo tanto, debe estar sobre la línea mediatriz de dos cualesquiera de ellos. Por consiguiente, el centro es el punto de intersección de dos mediatrices cualesquiera. De manera similar, en el caso LLL , el centro debe estar sobre una línea que biseca el ángulo en los tres puntos de intersección entre las tres líneas dadas; por lo tanto, el centro se encuentra en el punto de intersección de dos de dichas bisectrices. Dado que hay dos bisectrices de este tipo en cada punto de intersección de las tres líneas dadas, existen cuatro soluciones para el problema general LLL (el círculo inscrito y los círculos exscritos del triángulo formado por las tres líneas).

Los puntos y las líneas pueden considerarse casos especiales de círculos; un punto puede considerarse como un círculo de radio infinitamente pequeño, y una línea puede pensarse como un círculo infinitamente grande cuyo centro también se encuentra en el infinito. Desde esta perspectiva, el problema general de Apolonio consiste en construir círculos tangentes a tres círculos dados. Los otros nueve casos que involucran puntos y líneas pueden considerarse casos límite del problema general. ^{[ 32 ]}^{[ 12 ]} Estos casos límite suelen tener menos soluciones que el problema general; por ejemplo, la sustitución de un círculo dado por un punto dado reduce a la mitad el número de soluciones, ya que un punto puede interpretarse como un círculo infinitesimal que es tangente interna o externamente.

Número de soluciones

El problema de contar el número de soluciones a diferentes tipos del problema de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa . ^{[ 12 ]}^{[ 41 ]} El número general de soluciones para cada uno de los diez tipos del problema de Apolonio se da en la Tabla 1 anterior. Sin embargo, disposiciones especiales de los elementos dados pueden cambiar el número de soluciones. Por ejemplo, el problema de Apolonio no tiene solución si un círculo separa los dos (Figura 11); para tocar ambos círculos sólidos dados, el círculo solución tendría que cruzar el círculo dado punteado; pero eso no puede hacerlo, si toca el círculo punteado tangencialmente. Por el contrario, si tres círculos dados son todos tangentes en el mismo punto, entonces cualquier círculo tangente en el mismo punto es una solución; tales problemas de Apolonio tienen un número infinito de soluciones. Si alguno de los círculos dados es idéntico, también hay un infinito de soluciones. Si solo dos círculos dados son idénticos, solo hay dos círculos dados distintos; Los centros de los círculos de solución forman una hipérbola , como se utiliza en una solución al problema de Apolonio.

Una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las configuraciones posibles de tres círculos, puntos o líneas dados fue realizada por primera vez por Muirhead en 1896, ^{[ 42 ] aunque Stoll}^{[ 43 ] y Study}^{[ 44 ]} habían realizado trabajos previos . Sin embargo, el trabajo de Muirhead fue incompleto; fue ampliado en 1974 ^{[ 45 ]} y una enumeración definitiva, con 33 casos distintos, fue publicada en 1983. ^{[ 12 ]} Aunque las soluciones al problema de Apolonio generalmente ocurren en pares relacionados por inversión , un número impar de soluciones es posible en algunos casos, por ejemplo, la solución única para PPP , o cuando uno o tres de los círculos dados son en sí mismos soluciones. (Un ejemplo de esto último se da en la sección sobre el teorema de Descartes ). Sin embargo, no hay problemas de Apolonio con siete soluciones. ^{[ 34 ]}^{[ 43 ]} Se han desarrollado y utilizado en dimensiones superiores soluciones alternativas basadas en la geometría de círculos y esferas . ^{[ 26 ]}^{[ 35 ]}

Círculos mutuamente tangentes dados: los círculos de Soddy y el teorema de Descartes.

Si los tres círculos dados son tangentes entre sí, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Tres soluciones son los propios círculos dados, ya que cada uno es tangente a sí mismo y a los otros dos círculos dados. Las dos soluciones restantes (mostradas en rojo en la Figura 12) corresponden a los círculos inscrito y circunscrito , y se denominan círculos de Soddy . ^{[ 46 ]} Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como el problema de las cuatro monedas . ^{[ 47 ]} Los tres círculos dados de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a los dos círculos de Soddy.

Figura 12: Las dos soluciones (en rojo) al problema de Apolonio con círculos mutuamente tangentes dados (en negro), etiquetadas por sus curvaturas.

Cualquiera de los círculos de Soddy, cuando se toma junto con los tres círculos dados, produce un conjunto de cuatro círculos que son tangentes entre sí en seis puntos. Los radios de estos cuatro círculos están relacionados por una ecuación conocida como el teorema de Descartes . En una carta de 1643 a la princesa Isabel de Bohemia , ^{[ 48 ]} René Descartes demostró que

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2})

donde k _s = 1/ r _s y r _s son la curvatura y el radio del círculo solución, respectivamente, y de manera similar para las curvaturas k ₁ , k ₂ y k ₃ y los radios r ₁ , r ₂ y r ₃ de los tres círculos dados. Para cada conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes, hay un segundo conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes que son tangentes en los mismos seis puntos. ^{[ 2 ]}^{[ 49 ]}

El teorema de Descartes fue redescubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner , ^{[ 50 ]} en 1842 por Philip Beecroft, ^{[ 2 ]}^{[ 49 ]} y nuevamente en 1936 por Frederick Soddy . ^{[ 51 ]} Soddy publicó sus hallazgos en la revista científica Nature como un poema, The Kiss Precise , cuyas dos primeras estrofas se reproducen a continuación. La primera estrofa describe los círculos de Soddy, mientras que la segunda estrofa presenta el teorema de Descartes. En el poema de Soddy, se dice que dos círculos "se besan" si son tangentes, mientras que el término "curvatura" se refiere a la curvatura k del círculo.

Para que dos labios se besen, tal vez no haya trigonometría involucrada. No sucede así cuando cuatro círculos se besan, cada uno a los otros tres. Para que esto ocurra, los cuatro deben ser como tres en uno o uno en tres. Si son uno en tres, sin duda cada uno recibe tres besos desde afuera. Si son tres en uno, entonces ese es besado tres veces internamente.

Cuatro círculos se unen para besarse. Cuanto más pequeños son los ángulos. La curvatura es simplemente la inversa de la distancia desde el centro. Aunque su intriga dejó mudo a Euclides, ahora no hay necesidad de una regla empírica. Dado que la curvatura cero es una línea recta y las curvaturas cóncavas tienen signo negativo, la suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas es la mitad del cuadrado de su suma.

Daniel Pedoe ha derivado diversas extensiones del teorema de Descartes . ^{[ 52 ]}

Generalizaciones

El problema de Apolonio puede extenderse para construir todos los círculos que intersecan tres círculos dados en un ángulo preciso θ, o en tres ángulos de intersección específicos θ ₁ , θ ₂ y θ ₃ ; ^{[ 50 ]} el problema de Apolonio ordinario corresponde a un caso especial en el que el ángulo de intersección es cero para los tres círculos dados. Otra generalización es la dual de la primera extensión, a saber, construir círculos con tres distancias tangenciales específicas desde los tres círculos dados. ^{[ 26 ]}

El problema de Apolonio puede extenderse del plano a la esfera y otras superficies cuadráticas . Para la esfera, el problema consiste en construir todos los círculos (los límites de las calotas esféricas ) que son tangentes a tres círculos dados en la esfera. ^{[ 24 ]}^{[ 53 ]}^{[ 54 ]} Este problema esférico puede transformarse en un problema plano correspondiente mediante proyección estereográfica . Una vez construidas las soluciones del problema plano, las soluciones correspondientes del problema esférico pueden determinarse invirtiendo la proyección estereográfica. De forma aún más general, se puede considerar el problema de las cuatro curvas tangentes que resultan de las intersecciones de una superficie cuadrática arbitraria y cuatro planos, un problema considerado por primera vez por Charles Dupin . ^{[ 9 ]}

Al resolver repetidamente el problema de Apolonio para encontrar el círculo inscrito, los intersticios entre círculos mutuamente tangentes pueden rellenarse con una precisión arbitraria, formando una almohadilla apolínea , también conocida como empaquetamiento de Leibniz o empaquetamiento apolíneo . ^{[ 55 ]} Esta almohadilla es un fractal , es autosimilar y tiene una dimensión d que no se conoce con exactitud, pero es aproximadamente 1,3, ^{[ 56 ]} que es mayor que la de una curva regular (o rectificable ) ( d = 1) pero menor que la de un plano ( d = 2). La almohadilla apolínea fue descrita por primera vez por Gottfried Leibniz en el siglo XVII, y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX . ^{[ 57 ]} La almohadilla apolínea también tiene profundas conexiones con otros campos de las matemáticas; por ejemplo, es el conjunto límite de los grupos kleinianos . ^{[ 58 ]}

La configuración de un círculo tangente a cuatro círculos en el plano posee propiedades especiales, que han sido dilucidadas por Larmor (1891) ^{[ 59 ]} y Lachlan (1893). ^{[ 60 ]} Dicha configuración es también la base del teorema de Casey , ^{[ 17 ]} que a su vez es una generalización del teorema de Ptolomeo . ^{[ 37 ]}

La extensión del problema de Apolonio a tres dimensiones, es decir, el problema de encontrar una quinta esfera tangente a cuatro esferas dadas, puede resolverse mediante métodos análogos. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, las esferas dadas y la solución pueden redimensionarse de manera que una de las esferas dadas se reduzca a un punto manteniendo la tangencia. ^{[ 38 ]} La inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano tangente a tres esferas dadas. En general, existen ocho planos de este tipo, que se convierten en las soluciones del problema original al invertir la inversión y redimensionar. Este problema fue considerado por primera vez por Pierre de Fermat , ^{[ 61 ]} y se han desarrollado muchos métodos de solución alternativos a lo largo de los siglos. ^{[ 62 ]}

El problema de Apolonio puede incluso extenderse a d dimensiones, para construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de d + 1 hiperesferas. ^{[ 41 ]} Tras la publicación de la rededucción del teorema de Descartes por Frederick Soddy en 1936, varias personas resolvieron (de forma independiente) el caso de tangencia mutua correspondiente a los círculos de Soddy en d dimensiones. ^[⁶³^]

Aplicaciones

La principal aplicación del problema de Apolonio, tal como lo formuló Isaac Newton, es la trilateración hiperbólica , que busca determinar una posición a partir de las diferencias en las distancias a al menos tres puntos. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, un barco puede intentar determinar su posición a partir de las diferencias en los tiempos de llegada de las señales de tres transmisores sincronizados. Las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron en la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería a partir del momento en que se escuchó un disparo en tres posiciones diferentes, ^{[ 9 ]} y la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por el Sistema de Navegación Decca y LORAN . ^{[ 7 ]} De manera similar, la ubicación de una aeronave puede determinarse a partir de la diferencia en los tiempos de llegada de la señal de su transpondedor a cuatro estaciones receptoras. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a los sistemas globales de navegación por satélite (véase GPS#Interpretación geométrica ). ^{[ 31 ]} También se utiliza para determinar la posición de los animales que emiten sonidos (como aves y ballenas), aunque el problema de Apolonio no se aplica si la velocidad del sonido varía con la dirección (es decir, el medio de transmisión no es isotrópico ). ^{[ 64 ]}

El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. En el Libro 1, Proposición 21 de sus Principia , Isaac Newton utilizó su solución del problema de Apolonio para construir una órbita en mecánica celeste a partir del centro de atracción y las observaciones de las líneas tangentes a la órbita correspondiente a la velocidad instantánea . ^{[ 9 ]} El caso especial del problema de Apolonio en el que los tres círculos son tangentes se utiliza en el método de círculos de Hardy-Littlewood de la teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja, dado por los límites de un conjunto infinito de círculos de Ford, cada uno de los cuales toca a varios otros. ^{[ 65 ]} Finalmente, el problema de Apolonio se ha aplicado a algunos tipos de problemas de empaquetamiento , que surgen en campos dispares como los códigos de corrección de errores utilizados en los DVD y el diseño de productos farmacéuticos que se unen a una enzima particular de una bacteria patógena . ^{[ 66 ]}

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

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