Paquete de procesos

En geometría algebraica , los haces de Procesi son haces vectoriales de rango${\displaystyle n!}$sobre ciertas resoluciones simplécticas de singularidades cociente, particularmente sobre el esquema de Hilbert de${\displaystyle n}$puntos en el plano complejo . ^{[ 1 ]} Juegan un papel fundamental en la teoría de la representación geométrica y fueron cruciales en la demostración del teorema n! de Mark Haiman y la conjetura de positividad de Macdonald , y recibieron su nombre del matemático italiano Claudio Procesi .

Dejar${\displaystyle H_{n}={\text{Hilb}}^{n}(\mathbb {C} ^{2})}$denotamos el esquema de Hilbert de n puntos en el plano complejo.${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, que proporciona una resolución de singularidades del cociente${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{n}/S_{n}}$, dónde${\displaystyle S_{n}}$es el grupo simétrico de grado${\displaystyle n}$Un paquete de Procesi${\displaystyle {\mathcal {P}}}$en${\displaystyle H_{n}}$es un${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$-fibrado vectorial equivariante de rango${\displaystyle n!}$junto con un isomorfismo${\displaystyle {\text{End}}({\mathcal {P}})\cong \mathbb {C} [x,y]\#S_{n}}$(dónde${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\#S_{n}}$es el álgebra del producto smash ) de${\displaystyle \mathbb {C} [V]^{S_{n}}}$-álgebras, tales que${\displaystyle {\text{Ext}}^{i}({\mathcal {P}},{\mathcal {P}})=0}$a pesar de${\displaystyle i>0}$. El isomorfismo asegura que cada fibra de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es naturalmente la representación regular de${\displaystyle S_{n}}$. ^{[ 1 ]}

De manera más general, para un subgrupo finito${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {C} )}$y su producto de corona${\displaystyle \Gamma _{n}=S_{n}\ltimes \Gamma ^{n}}$, los haces de Procesi se pueden definir en resoluciones simplécticas de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}/\Gamma _{n}}$. ^{[ 1 ]}

Los haces de Procesi proporcionan una equivalencia de McKay derivada entre la categoría derivada de haces coherentes en${\displaystyle H_{n}}$y la categoría derivada de${\displaystyle S_{n}}$-módulos equivariantes sobre${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$. Para un paquete Procesi distinguido${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, el${\displaystyle \Gamma _{n-1}}$-invariantes${\displaystyle {\mathcal {P}}^{S_{n-1}}}$coincidir con el paquete tautológico en${\displaystyle H_{n}}$. En cualquier resolución simpléctica de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}/\Gamma _{n}}$, hay exactamente dos normalizados (es decir,${\displaystyle {\mathcal {P}}^{S_{n}}\cong {\mathcal {O}}}$) Paquetes de Procesi que son duales entre sí. ^{[ 2 ]}

La primera construcción de un fibrado de Procesi fue presentada por el matemático estadounidense Mark Haiman en su demostración del teorema n!, utilizando intrincados métodos combinatorios. ^{[ 3 ]} Posteriormente, Roman Bezrukavnikov y Dmitry Kaledin desarrollaron construcciones alternativas utilizando cuantización en característica positiva , ^{[ 4 ]} y Victor Ginzburg utilizando D -módulos y la construcción de Hotta-Kashiwara . ^{[ 5 ]}

El matemático bielorruso-estadounidense Ivan Losev aportó importantes avances a la teoría de los haces de Procesi, incluyendo una clasificación completa de los haces de Procesi en reducciones hamiltonianas [ ^{1 ] y} una construcción inductiva que muestra cómo los haces de Procesi se relacionan con esquemas de Hilbert anidados ^{[ 2 ]} . Su trabajo estableció que existen exactamente dos haces de Procesi normalizados en cualquier resolución simpléctica dada obtenida mediante reducción hamiltoniana.

Como resultado de su uso en la demostración del teorema n!, los haces de Procesi también han encontrado aplicaciones importantes en la demostración de la conjetura de positividad de Macdonald , ^{[ 3 ]} el estudio de las álgebras racionales de Cherednik y sus representaciones, y la comprensión de las equivalencias derivadas para las singularidades de cociente simpléctico. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

• Teoría de invariantes geométricos