Resolución simpléctica

En matemáticas , particularmente en la teoría de la representación , una resolución simpléctica es un morfismo que combina la geometría simpléctica y la resolución de singularidades . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \pi :Y\to X}$sea ​​un morfismo entre variedades algebraicas complejas , donde${\displaystyle Y}$es suave y posee una estructura simpléctica , y${\displaystyle X}$es afín , normal y posee una estructura de Poisson . Entonces${\displaystyle \pi }$es una resolución simpléctica si y solo si${\displaystyle \pi }$es proyectiva , birracional y de Poisson. ^{[ 1 ]}

Una resolución simpléctica cónica es aquella que está equipada con acciones compatibles de${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$en ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. Bajo estas acciones,${\displaystyle X}$se contrae a un solo punto (denotado 0), la forma simpléctica se escala con peso 2 y el morfismo${\displaystyle \pi }$es compatible con estas acciones. El núcleo de una resolución simpléctica cónica se define como la fibra central.${\displaystyle F_{0}=\pi ^{-1}(0)}$Una resolución simpléctica cónica es hamiltoniana si posee acciones hamiltonianas de un toro.${\displaystyle T}$en ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$. En este caso, el morfismo${\displaystyle \pi }$debe ser${\displaystyle T}$-equivariante, con el${\displaystyle T}$acción que conmuta con el cónico${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$acción. Además, el conjunto de puntos fijos${\displaystyle Y^{T}}$debe ser finito. ^{[ 1 ]}

El estudio de las resoluciones simplécticas surgió como una generalización natural de las técnicas clásicas en la teoría de la representación . Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron principalmente la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples mediante métodos geométricos, centrándose particularmente en las variedades de banderas y sus haces cotangentes . ^{[ 1 ]}

En el siglo XXI, este enfoque evolucionó hacia un marco más general donde el fibrado cotangente tradicional de la variedad de banderas fue reemplazado por resoluciones simplécticas. Esta generalización condujo a avances significativos en la comprensión de la relación entre la geometría y la teoría de la representación. El álgebra de Lie semisimple clásica fue reemplazada correspondientemente por la cuantización de deformación de la variedad de Poisson afín . ^{[ 1 ]}

• rama de Coulomb
• variedad de Poisson
• Dualidad simpléctica
• Geometría simpléctica