Geometría proyectiva

En matemáticas , la geometría proyectiva estudia las propiedades geométricas invariantes ante transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental, la geometría proyectiva se desarrolla en un espacio proyectivo diferente y posee un conjunto selecto de conceptos geométricos básicos. La intuición fundamental reside en que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que convierten los puntos adicionales (denominados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.

Esta nueva idea de transformación respeta las propiedades relevantes para la geometría proyectiva, cuyos efectos son más radicales que los que se pueden expresar mediante una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines ). La primera cuestión para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación novedosa. A diferencia de la geometría euclidiana , el concepto de ángulo no se aplica en la geometría proyectiva, ya que ninguna medida de ángulos es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se observa en el dibujo en perspectiva desde una perspectiva cambiante. De hecho, una de las fuentes de la geometría proyectiva fue la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas convergen en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Nuevamente, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que convergen en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Véase Plano proyectivo para los fundamentos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.

Aunque las ideas ya existían, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , cuyas coordenadas ( coordenadas homogéneas ) eran números complejos. Varios tipos importantes de matemáticas más abstractas (incluida la teoría de invariantes , la escuela italiana de geometría algebraica y el programa de Erlangen de Felix Klein , que dio lugar al estudio de los grupos clásicos ) se inspiraron en la geometría proyectiva. También fue un tema con muchos practicantes por sí mismo, como geometría sintética . Otro tema que se desarrolló a partir de los estudios axiomáticos de la geometría proyectiva es la geometría finita .

El tema de la geometría proyectiva se divide actualmente en numerosos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de los invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).

La geometría proyectiva es una forma elemental de geometría no métrica , lo que significa que no admite ningún concepto de distancia. En dos dimensiones, comienza con el estudio de configuraciones de puntos y líneas . Que existe cierto interés geométrico en este entorno disperso fue establecido por primera vez por Desargues y otros en su exploración de los principios del arte de la perspectiva . ^{[ 1 ]} En espacios de dimensiones superiores se consideran hiperplanos (que siempre se encuentran) y otros subespacios lineales, que exhiben el principio de dualidad . La ilustración más simple de la dualidad se encuentra en el plano proyectivo, donde las afirmaciones "dos puntos distintos determinan una línea única" (es decir, la línea que pasa por ellos) y "dos líneas distintas determinan un punto único" (es decir, su punto de intersección) muestran la misma estructura como proposiciones. La geometría proyectiva también puede verse como una geometría de construcciones con una regla únicamente, excluyendo las construcciones con compás , comunes en las construcciones con regla y compás . ^{[ 2 ]} Por lo tanto, no hay círculos, ni ángulos, ni medidas, ni paralelos, ni concepto de intermediación (o «entre»). ^{[ 3 ]} Se comprendió que los teoremas que sí se aplican a la geometría proyectiva son enunciados más simples. Por ejemplo, las diferentes secciones cónicas son todas equivalentes en la geometría proyectiva (compleja), y algunos teoremas sobre círculos pueden considerarse casos especiales de estos teoremas generales.

Durante los primeros años del siglo XIX, el trabajo de Jean-Victor Poncelet , Lazare Carnot y otros estableció la geometría proyectiva como un campo independiente de las matemáticas . ^{[ 3 ]} Sus fundamentos rigurosos fueron abordados por Karl von Staudt y perfeccionados por los italianos Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa y Gino Fano durante finales del siglo XIX. ^{[ 4 ]} La geometría proyectiva, al igual que la geometría afín y euclidiana , también puede desarrollarse a partir del programa de Erlangen de Felix Klein; la geometría proyectiva se caracteriza por invariantes bajo transformaciones del grupo proyectivo .

Después de mucho trabajo sobre la gran cantidad de teoremas en el tema, por lo tanto, se comprendieron los fundamentos de la geometría proyectiva. La estructura de incidencia y la razón antagónica son invariantes fundamentales bajo transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva puede modelarse mediante el plano afín (o espacio afín) más una línea (hiperplano) "en el infinito" y luego tratar esa línea (o hiperplano) como "ordinaria". ^{[ 5 ]} Un modelo algebraico para hacer geometría proyectiva al estilo de la geometría analítica viene dado por coordenadas homogéneas. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Por otro lado, los estudios axiomáticos revelaron la existencia de planos no desarguesianos , ejemplos para mostrar que los axiomas de incidencia pueden modelarse (solo en dos dimensiones) mediante estructuras no accesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneas.

En un sentido fundamental, la geometría proyectiva y la geometría ordenada son elementales, ya que cada una implica un conjunto mínimo de axiomas y cualquiera de ellas puede usarse como fundamento para la geometría afín y euclidiana . ^{[ 8 ] [ 9 ]} La geometría proyectiva no es "ordenada" ^{[ 3 ]} y, por lo tanto, es un fundamento distinto para la geometría.

La geometría proyectiva es menos restrictiva que la geometría euclidiana o la geometría afín . Es una geometría intrínsecamente no métrica , lo que significa que los hechos son independientes de cualquier estructura métrica. Bajo las transformaciones proyectivas, se conservan la estructura de incidencia y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Un rango proyectivo es el fundamento unidimensional. La geometría proyectiva formaliza uno de los principios centrales del arte de la perspectiva: que las líneas paralelas se encuentran en el infinito y, por lo tanto, se dibujan de esa manera. En esencia, una geometría proyectiva puede considerarse una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se subsume dentro de la línea como un "punto" adicional, y en la que un "horizonte" de direcciones correspondientes a líneas coplanares se considera una "línea". Así, dos líneas paralelas se encuentran en una línea de horizonte en virtud de que incorporan la misma dirección.

Las direcciones idealizadas se denominan puntos en el infinito, mientras que los horizontes idealizados se denominan líneas en el infinito. A su vez, todas estas líneas se encuentran en el plano del infinito. Sin embargo, el infinito es un concepto métrico, por lo que una geometría puramente proyectiva no distingue ningún punto, línea o plano en este sentido; los que se encuentran en el infinito se tratan como cualquier otro.

Dado que la geometría euclidiana está contenida dentro de la geometría proyectiva —que posee una base más simple—, los resultados generales de la geometría euclidiana pueden derivarse de manera más transparente, donde teoremas separados pero similares de la geometría euclidiana pueden tratarse colectivamente dentro del marco de la geometría proyectiva. Por ejemplo, las líneas paralelas y no paralelas no necesitan tratarse como casos separados; en cambio, se selecciona un plano proyectivo arbitrario como el plano ideal y se ubica "en el infinito" utilizando coordenadas homogéneas .

Otras propiedades de fundamental importancia incluyen el teorema de Desargues y el teorema del hexágono de Pappus . En espacios proyectivos de dimensión 3 o superior, existe una construcción que permite demostrar el teorema de Desargues. Sin embargo, para dimensión 2, este debe postularse por separado.

Utilizando el teorema de Desargues, junto con los demás axiomas, es posible definir geométricamente las operaciones básicas de la aritmética. Las operaciones resultantes satisfacen los axiomas de un cuerpo, salvo que la conmutatividad de la multiplicación requiere el teorema del hexágono de Pappus. Como resultado, los puntos de cada línea están en correspondencia biunívoca con un campo dado, F , complementado por un elemento adicional, ∞, de tal manera que r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , excepto que 0 / 0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ y ∞ ⋅ 0 permanecen indefinidos.

La geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas , un tema ampliamente desarrollado en la geometría euclidiana. Resulta ventajoso poder concebir una hipérbola y una elipse como figuras que se distinguen únicamente por la forma en que la hipérbola se encuentra sobre la línea del infinito ; y que una parábola se distingue únicamente por ser tangente a la misma línea. Toda la familia de círculos puede considerarse como cónicas que pasan por dos puntos dados en la línea del infinito , aunque esto requiere el uso de coordenadas complejas . Dado que las coordenadas no son "sintéticas", se las reemplaza fijando una línea y dos puntos sobre ella, y considerando el sistema lineal de todas las cónicas que pasan por esos puntos como el objeto de estudio fundamental. Este método resultó muy atractivo para los geómetras talentosos, y el tema se estudió exhaustivamente. Un ejemplo de este método es el tratado en varios volúmenes de H.F. Baker .

Las primeras propiedades geométricas de naturaleza proyectiva fueron descubiertas durante el siglo III por Pappus de Alejandría . ^{[ 3 ]} Filippo Brunelleschi (1404–1472) comenzó a investigar la geometría de la perspectiva durante 1425 ^{[ 10 ]} (véase Perspectiva (gráfica) §  Historia para una discusión más completa del trabajo en las bellas artes que motivó gran parte del desarrollo de la geometría proyectiva). Johannes Kepler (1571–1630) y Girard Desargues (1591–1661) desarrollaron independientemente el concepto del "punto en el infinito". ^{[ 11 ]} Desargues desarrolló una forma alternativa de construir dibujos en perspectiva al generalizar el uso de puntos de fuga para incluir el caso en que estos están infinitamente lejos. Hizo de la geometría euclidiana , donde las líneas paralelas son verdaderamente paralelas, un caso especial de un sistema geométrico que lo abarca todo. El estudio de Desargues sobre las secciones cónicas atrajo la atención de Blaise Pascal, de 16 años , y le ayudó a formular el teorema de Pascal . Las obras de Gaspard Monge, a finales del siglo XVIII y principios del XIX, fueron importantes para el posterior desarrollo de la geometría proyectiva. El trabajo de Desargues fue ignorado hasta que Michel Chasles encontró por casualidad una copia manuscrita en 1845. Mientras tanto, Jean-Victor Poncelet había publicado el tratado fundamental sobre geometría proyectiva en 1822. Poncelet examinó las propiedades proyectivas de los objetos (aquellas invariantes bajo proyección central) y, al basar su teoría en el polo concreto y la relación polar con respecto a un círculo, estableció una relación entre las propiedades métricas y proyectivas. Las geometrías no euclidianas descubiertas poco después demostraron tener modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico , relacionados con la geometría proyectiva.

En 1855, A.F. Möbius escribió un artículo sobre permutaciones, ahora llamadas transformaciones de Möbius , de círculos generalizados en el plano complejo . Estas transformaciones representan proyectividades de la recta proyectiva compleja . En el estudio de las rectas en el espacio, Julius Plücker utilizó coordenadas homogéneas en su descripción, y el conjunto de rectas se visualizó en la cuádrica de Klein , una de las primeras contribuciones de la geometría proyectiva a un nuevo campo llamado geometría algebraica , una rama de la geometría analítica con ideas proyectivas.

La geometría proyectiva fue fundamental para la validación de las especulaciones de Lobachevski y Bolyai sobre la geometría hiperbólica al proporcionar modelos para el plano hiperbólico : ^{[ 12 ]} por ejemplo, el modelo del disco de Poincaré donde los círculos generalizados perpendiculares al círculo unitario corresponden a "líneas hiperbólicas" ( geodésicas ), y las "traslaciones" de este modelo se describen mediante transformaciones de Möbius que mapean el disco unitario sobre sí mismo. La distancia entre puntos viene dada por una métrica de Cayley-Klein , que se sabe que es invariante bajo las traslaciones ya que depende de la razón antagónica , un invariante proyectivo clave. Las traslaciones se describen de diversas maneras como isometrías en la teoría del espacio métrico , como transformaciones fraccionarias lineales formalmente, y como transformaciones lineales proyectivas del grupo lineal proyectivo , en este caso SU(1, 1) .

El trabajo de Poncelet , Jakob Steiner y otros no tenía como objetivo extender la geometría analítica. Se suponía que las técnicas serían sintéticas : en efecto, el espacio proyectivo, tal como se entiende hoy, debía introducirse axiomáticamente. En consecuencia, reformular los primeros trabajos en geometría proyectiva para que cumplan con los estándares de rigor actuales puede resultar algo difícil. Incluso en el caso del plano proyectivo , el enfoque axiomático puede dar lugar a modelos que no se pueden describir mediante álgebra lineal .

Este periodo de la geometría fue superado por las investigaciones sobre la curva algebraica general realizadas por Clebsch , Riemann , Max Noether y otros, que ampliaron las técnicas existentes, y posteriormente por la teoría de invariantes . Hacia finales de siglo, la escuela italiana de geometría algebraica ( Enriques , Segre , Severi ) trascendió el ámbito tradicional para adentrarse en un campo que requería técnicas más profundas.

Durante la última parte del siglo XIX, el estudio detallado de la geometría proyectiva se volvió menos popular, aunque la bibliografía al respecto es voluminosa. Se realizaron importantes trabajos en geometría enumerativa , en particular por Schubert, que ahora se consideran precursores de la teoría de las clases de Chern , entendidas como la topología algebraica de las grassmannianas .

La geometría proyectiva resultó fundamental para la invención de la mecánica cuántica por Paul Dirac . A nivel fundamental, el descubrimiento de que las mediciones cuánticas podían no conmutar había inquietado y disuadido a Heisenberg , pero el estudio previo de planos proyectivos sobre anillos no conmutativos probablemente había insensibilizado a Dirac. En trabajos más avanzados, Dirac utilizó extensos dibujos en geometría proyectiva para comprender el significado intuitivo de sus ecuaciones, antes de redactar su trabajo en un formalismo exclusivamente algebraico. ^{[ 13 ]}

Existen numerosas geometrías proyectivas, que pueden dividirse en discretas y continuas: una geometría discreta comprende un conjunto de puntos, que pueden ser finitos o no , mientras que una geometría continua tiene infinitos puntos sin espacios entre ellos.

La única geometría proyectiva de dimensión 0 es un solo punto. Una geometría proyectiva de dimensión 1 consiste en una sola línea que contiene al menos 3 puntos. La construcción geométrica de operaciones aritméticas no puede realizarse en ninguno de estos casos. Para la dimensión 2, existe una estructura rica en virtud de la ausencia del teorema de Desargues .

La geometría proyectiva bidimensional más pequeña (aquella con el menor número de puntos) es el plano de Fano , que tiene 3 puntos en cada línea, con 7 puntos y 7 líneas en total, teniendo las siguientes colinealidades:

con coordenadas homogéneas A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0,0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , o, en coordenadas afines, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) y G = (1) . Las coordenadas afines en un plano de Desarguesian para los puntos designados como puntos en el infinito (en este ejemplo: C, E y G) se pueden definir de varias otras maneras.

En notación estándar, una geometría proyectiva finita se escribe PG( a , b ) donde:

a es la dimensión proyectiva (o geométrica), y

b es uno menos que el número de puntos en una línea (llamado orden de la geometría).

Así, el ejemplo que tiene solo 7 puntos se escribe PG(2, 2) .

El término "geometría proyectiva" se utiliza a veces para indicar la geometría abstracta subyacente generalizada, y otras veces para indicar una geometría particular de amplio interés, como la geometría métrica del espacio plano que analizamos mediante el uso de coordenadas homogéneas , y en la que se puede integrar la geometría euclidiana (de ahí su nombre, plano euclidiano extendido ).

La propiedad fundamental que distingue a todas las geometrías proyectivas es la propiedad de incidencia elíptica , según la cual dos rectas distintas L y M en el plano proyectivo se intersecan en un único punto P. El caso particular de las rectas paralelas en la geometría analítica se engloba en la forma más suave de una recta en el infinito sobre la que se encuentra P. La recta en el infinito es, por lo tanto, una recta como cualquier otra en la teoría: no tiene nada de especial ni se distingue de ninguna otra. (Siguiendo el espíritu posterior del programa de Erlangen, se podría señalar cómo el grupo de transformaciones puede convertir cualquier recta en la recta en el infinito ).

Las propiedades paralelas de las geometrías elíptica, euclidiana e hiperbólica contrastan de la siguiente manera:

Dada una línea l y un punto P que no está en la línea,

Elíptico

No existe ninguna línea que pase por P que no cumpla l

euclidiano

Existe exactamente una línea que pasa por P que no cumple l

Hiperbólico

Existe más de una línea que pasa por P que no cumple l

La propiedad de paralelismo de la geometría elíptica es la idea clave que conduce al principio de dualidad proyectiva, posiblemente la propiedad más importante que todas las geometrías proyectivas tienen en común.

En 1825, Joseph Gergonne señaló el principio de dualidad que caracteriza la geometría del plano proyectivo: dado cualquier teorema o definición de esa geometría, sustituir punto por línea , yace en por pasa por , colineal por concurrente , intersección por unión , o viceversa, resulta en otro teorema o definición válida, el "dual" del primero. De manera similar en 3 dimensiones, la relación de dualidad se cumple entre puntos y planos, lo que permite que cualquier teorema se transforme intercambiando punto y plano , está contenido por y contiene . Más generalmente, para espacios proyectivos de dimensión N, hay una dualidad entre los subespacios de dimensión R y dimensión N − R − 1 . Para N = 2 , esto se especializa a la forma más comúnmente conocida de dualidad: la que existe entre puntos y líneas. El principio de dualidad también fue descubierto independientemente por Jean-Victor Poncelet .

Para establecer la dualidad, solo se requiere establecer teoremas que sean las versiones duales de los axiomas para la dimensión en cuestión. Así, para espacios tridimensionales, es necesario demostrar que (1*) cada punto se encuentra en 3 planos distintos, (2*) cada dos planos se intersecan en una única línea y una versión dual de (3*) que establezca que: si la intersección de los planos P y Q es coplanar con la intersección de los planos R y S, entonces también lo son las intersecciones respectivas de los planos P y R, Q y S (suponiendo que los planos P y S son distintos de Q y R).

En la práctica, el principio de dualidad nos permite establecer una correspondencia dual entre dos construcciones geométricas. La más conocida es la polaridad o reciprocidad de dos figuras en una curva cónica (en 2 dimensiones) o en una superficie cuádrica (en 3 dimensiones). Un ejemplo común se encuentra en la reciprocidad de un poliedro simétrico en una esfera concéntrica para obtener el poliedro dual.

Otro ejemplo es el teorema de Brianchon , dual del ya mencionado teorema de Pascal , y una de cuyas demostraciones consiste simplemente en aplicar el principio de dualidad al teorema de Pascal. A continuación se presentan enunciados comparativos de estos dos teoremas (en ambos casos dentro del marco del plano proyectivo):

• Pascal: Si los seis vértices de un hexágono se encuentran sobre una cónica , entonces las intersecciones de sus lados opuestos (consideradas como líneas continuas, ya que en el plano proyectivo no existe el concepto de "segmento de línea") son tres puntos colineales. La línea que los une se denomina línea de Pascal del hexágono.
• Brianchon: Si los seis lados de un hexágono son tangentes a una cónica, entonces sus diagonales (es decir, las líneas que unen vértices opuestos) son tres líneas concurrentes. Su punto de intersección se denomina punto de Brianchon del hexágono.

(Si la cónica degenera en dos líneas rectas, el teorema de Pascal se convierte en el teorema de Pappus , que no tiene un dual interesante, ya que el punto de Brianchon se convierte trivialmente en el punto de intersección de las dos líneas).

Cualquier geometría dada puede deducirse a partir de un conjunto apropiado de axiomas . Las geometrías proyectivas se caracterizan por el axioma de las líneas elípticas paralelas, que establece que dos planos cualesquiera siempre se intersecan en una sola línea , o, en el plano, dos líneas cualesquiera siempre se intersecan en un solo punto . En otras palabras, en geometría proyectiva no existen líneas ni planos paralelos.

Se han propuesto muchos conjuntos alternativos de axiomas para la geometría proyectiva (véase, por ejemplo, Coxeter 2003 , Hilbert y Cohn-Vossen 1999 , Greenberg 2008 ).

Dados tres puntos no colineales , existen tres líneas que los conectan; pero con cuatro puntos, sin que haya tres colineales, existen seis líneas que los conectan y tres puntos diagonales adicionales determinados por sus intersecciones. La geometría proyectiva explica este excedente, determinado por cuatro puntos, mediante una relación cuaternaria y las proyectividades que preservan la configuración completa del cuadrilátero .

Una cuádrupla armónica de puntos en una línea se produce cuando hay un cuadrilátero completo, dos de cuyos puntos diagonales están en la primera y tercera posición de la cuádrupla, y las otras dos posiciones son puntos en las líneas que unen dos puntos del cuadrilátero a través del tercer punto diagonal. ^{[ 18 ]}

Una perspectiva espacial de una configuración proyectiva en un plano produce una configuración similar en otro, y esto se aplica a la configuración del cuadrilátero completo. Por lo tanto, las cuádruplas armónicas se conservan mediante la perspectiva. Si una perspectiva sigue a otra, las configuraciones la siguen. La composición de dos perspectivas ya no es una perspectiva, sino una proyectividad .

Si bien los puntos correspondientes de una perspectiva convergen en un punto, esta convergencia no se cumple para una proyectividad que no sea una perspectiva. En geometría proyectiva, la intersección de las líneas formadas por los puntos correspondientes de una proyectividad en un plano es de particular interés. El conjunto de dichas intersecciones se denomina cónica proyectiva y, en reconocimiento a la obra de Jakob Steiner , se la conoce como cónica de Steiner .

Supongamos que una proyectividad está formada por dos perspectivas centradas en los puntos A y B , que relacionan x con X mediante un punto intermedio p :

${\displaystyle x\ {\overset {A}{\doublebarwedge }}\ p\ {\overset {B}{\doublebarwedge }}\ X.}$

La proyectividad es entonces${\displaystyle x\ \barwedge \ X.}$Entonces, dada la proyectividad${\displaystyle \barwedge }$la cónica inducida es

${\displaystyle C(\barwedge )\ =\ \bigcup \{xX\cdot yY:x\barwedge X\ \ \land \ \ y\barwedge Y\}.}$

Dada una cónica C y un punto P que no pertenece a ella, dos rectas secantes distintas que pasan por P intersecan a C en cuatro puntos. Estos cuatro puntos determinan un cuadrilátero del cual P es un punto diagonal. La recta que pasa por los otros dos puntos diagonales se llama polar de P y P es el polo de esta recta. ^{[ 19 ]} Alternativamente, la recta polar de P es el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de P sobre una recta secante variable que pasa por P y C.

• Geometría proyectiva para visión artificial : tutorial de Joe Mundy y Andrew Zisserman ( copiar ).
• Notas basadas en El plano proyectivo real de Coxeter .
• Geometría proyectiva para el análisis de imágenes: tutorial gratuito de Roger Mohr y Bill Triggs: PDF y HTML .
• Geometría proyectiva. — Tutorial gratuito de Tom Davis.
• El método Grassmann en geometría proyectiva. Una recopilación de tres notas de Cesare Burali-Forti sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva.
• C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" (traducción al inglés del libro)
• E. Kummer, "Teoría general de los sistemas de rayos rectilíneos" (traducción al inglés)
• M. Pasch, "Sobre las superficies focales de los sistemas de rayos y las superficies de singularidad de los complejos" (traducción al inglés)