Línea real extendida proyectivamente

En análisis real , la recta real extendida proyectivamente (también llamada compactificación de un punto de la recta real ), es la extensión del conjunto de los números reales , $\mathbb {R}$ , por un punto denotado $\infty$ . ^{[ 1 ]} Es, por lo tanto, el conjunto $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ con las operaciones aritméticas estándar extendidas donde sea posible, ^{[ 1 ]} y a veces se denota por $\mathbb {R} ^{*}$ ^{[ 2 ]} o ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ El punto añadido se denomina punto en el infinito , ya que se considera vecino de ambos extremos de la recta real. Más precisamente, el punto en el infinito es el límite de toda sucesión de números reales cuyos valores absolutos son crecientes e ilimitados .

La recta real extendida proyectivamente puede identificarse con una recta proyectiva real en la que se han asignado los valores específicos $0$ , $1$ e $\infty$ a tres puntos . La recta numérica real extendida proyectivamente es distinta de la recta numérica real extendida afínmente , en la que $+\infty$ y $-\infty$ son distintos.

Dividir por cero

A diferencia de la mayoría de los modelos matemáticos de números, esta estructura permite la división por cero :

{\frac {a}{0}}=\infty

para a distinto de cero . En particular, $1 / 0 = \infty$ y $1 / \infty = 0$ , lo que hace que la función recíproca $1 /$ $x$ sea una función total en esta estructura. ^[¹^] Sin embargo, la estructura no es un cuerpo , y ninguna de las operaciones aritméticas binarias es total; por ejemplo, $0 \cdot \infty$ no está definida, aunque la recíproca sí lo sea. ^[¹^] No obstante, tiene interpretaciones útiles; por ejemplo, en geometría, la pendiente de una línea vertical es $\infty$ . ^[¹^]

Extensiones de la recta real

La recta real extendida proyectivamente extiende el campo de los números reales de la misma manera que la esfera de Riemann extiende el campo de los números complejos , agregando un solo punto llamado convencionalmente $\infty$ .

En cambio, la recta numérica real extendida afínmente (también llamada compactificación de dos puntos de la recta real) distingue entre $+\infty$ y $-\infty$ .

Orden

La relación de orden no se puede extender a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ de manera significativa. Dado un número $a \neq \infty$ , no hay ningún argumento convincente para definir $a > \infty$ o que $a < \infty$ . Dado que $\infty$ no se puede comparar con ninguno de los otros elementos, no tiene sentido mantener esta relación en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . ^{[ 2 ]} Sin embargo, orden en $\mathbb {R}$ se utiliza en definiciones en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ .

Geometría

Fundamental para la idea de que $\infty$ es un punto que no se diferencia de ningún otro es la forma en que la recta proyectiva real es un espacio homogéneo , de hecho homeomorfo a un círculo. Por ejemplo, el grupo lineal general de matrices reales invertibles de 2 × 2 tiene una acción transitiva sobre él. La acción del grupo puede expresarse mediante transformaciones de Möbius (también llamadas transformaciones fraccionarias lineales), entendiendo que cuando el denominador de la transformación fraccionaria lineal es $0$ , la imagen es $\infty$ .

El análisis detallado de la acción muestra que para cualesquiera tres puntos distintos P , Q y R , existe una transformación fraccionaria lineal que transforma P en 0, Q en 1 y R en $\infty;$ es decir, el grupo de transformaciones fraccionarias lineales es triplemente transitivo en la recta proyectiva real. Esto no se puede extender a cuádruplas de puntos, ya que la razón antagónica es invariante.

La terminología línea proyectiva es apropiada, porque los puntos están en correspondencia uno a uno con subespacios lineales unidimensionales de $\mathbb {R} ^{2}$ .

Operaciones aritméticas

Motivación para las operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas en este espacio son una extensión de las mismas operaciones en los números reales. Una de las motivaciones para las nuevas definiciones son los límites de las funciones de los números reales.

Operaciones aritméticas que se definen

Además de las operaciones estándar en el subconjunto $\mathbb {R}$ de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , las siguientes operaciones se definen para $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , con las excepciones indicadas: ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

Operaciones aritméticas que quedan sin definir

Las siguientes expresiones no pueden justificarse considerando límites de funciones reales, y ninguna definición de las mismas permite que el enunciado de las propiedades algebraicas estándar se mantenga sin cambios en su forma para todos los casos definidos. ^{[ a ]} En consecuencia, se dejan sin definir:

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

La función exponencial $e^{x}$ no se puede extender a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . ^{[ 2 ]}

Propiedades algebraicas

Las siguientes igualdades significan: o ambos lados están indefinidos, o ambos lados están definidos y son iguales. Esto es cierto para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Lo siguiente es cierto siempre que se definan las expresiones involucradas, para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

En general, todas las leyes de la aritmética que son válidas para $\mathbb {R}$ también son válidos para ${\widehat {\mathbb {R} }}$ siempre que se definan todas las expresiones que aparecen.

Intervalos y topología

El concepto de intervalo puede extenderse a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ Sin embargo, dado que no es un conjunto ordenado, el intervalo tiene un significado ligeramente diferente. Las definiciones de intervalos cerrados son las siguientes (se supone que $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ): ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

Salvo cuando los extremos son iguales, los intervalos abiertos y semiabiertos correspondientes se definen eliminando los extremos respectivos. Esta redefinición es útil en aritmética de intervalos al dividir por un intervalo que contiene 0. ^{[ 2 ]}

${\widehat {\mathbb {R} }}$ y el conjunto vacío también son intervalos, como es ${\widehat {\mathbb {R} }}$ excluyendo cualquier punto individual. ^{[ b ]}

Los intervalos abiertos como base definen una topología en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Basta con que una base sean los intervalos abiertos acotados en $\mathbb {R}$ y los intervalos $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ a pesar de $a,b\in \mathbb {R}$ de tal manera que $a<b.$

Como se ha dicho, la topología es homeomorfa a un círculo. Por lo tanto, es metrizable y corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este círculo (ya sea medida en línea recta o a lo largo del círculo). No existe ninguna métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en $\mathbb {R} .$

aritmética de intervalos

La aritmética de intervalos se extiende a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ de $\mathbb {R}$ . El resultado de una operación aritmética sobre intervalos es siempre un intervalo, excepto cuando los intervalos con una operación binaria contienen valores incompatibles que conducen a un resultado indefinido. ^{[ c ]} En particular, tenemos, para cada $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ :

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

independientemente de si alguno de los intervalos incluye $0$ e $\infty$ .

Cálculo

Las herramientas del cálculo se pueden utilizar para analizar funciones de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ Las definiciones están motivadas por la topología de este espacio.

barrios

Dejar $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ y $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

$A$ es un entorno de $x$ , si $A$ contiene un intervalo abierto $B$ que contiene $a x$ .
$A$ es un entorno derecho de $x$ , si existe un número real $y$ tal que $y\neq x$ y $A$ contiene el intervalo semiabierto $[x,y)$ .
$A$ es un entorno izquierdo de $x$ , si existe un número real $y$ tal que $y\neq x$ y $A$ contiene el intervalo semiabierto $(y,x]$ .
$A$ es un vecindario perforado (respectivamente, un vecindario perforado del lado derecho o del lado izquierdo) de $x$ , si $x\not \in A,$ y $A\cup \{x\}$ es un vecindario (respectivamente, un vecindario del lado derecho o del lado izquierdo) de $x$ .

Límites

Definiciones básicas de límites

Dejar $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ y $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

El límite de f ( x ) cuando $x$ se aproxima a p es L , denotado

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

si y solo si para cada vecindario A de L , existe un vecindario perforado B de p , tal que $x\in B$ implica $f(x)\in A$ .

El límite lateral de f ( x ) cuando x se aproxima a p desde la derecha (izquierda) es L , denotado

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),

si y solo si para cada vecindario A de L , existe un vecindario perforado del lado derecho (lado izquierdo) B de p , tal que $x\in B$ implica $f(x)\in A.$

Se puede demostrar que $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ si y solo si ambos $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ y $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ .

Comparación con los límites en $\mathbb {R}$

Las definiciones dadas anteriormente se pueden comparar con las definiciones habituales de límites de funciones reales. En las siguientes afirmaciones, $p,L\in \mathbb {R} ,$ El primer límite es el definido anteriormente, y el segundo límite es en el sentido habitual:

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

Definición ampliada de límites

Dejar $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ . Entonces p es un punto límite de A si y solo si cada entorno de p incluye un punto $y\in A$ de tal manera que $y\neq p.$

Dejar $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , p un punto límite de A . El límite de f ( x ) cuando x se aproxima a p a través de A es L , si y solo si para cada entorno B de L , existe un entorno perforado C de p , tal que $x\in A\cap C$ implica $f(x)\in B.$

Esto corresponde a la definición topológica regular de continuidad , aplicada a la topología del subespacio en $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ y la restricción de f a $A\cup \lbrace p\rbrace .$

Continuidad

La función

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

es continua en $p$ si y solo si $f$ está definida en $p$ y

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

Si $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ la función

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

es continua en $A$ si y solo si, para cada $p\in A$ , $f$ se define en $p$ y el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $p$ a través de $A$ es $f(p).$

Toda función racional $P (x)/ Q (x)$ , donde $P$ y $Q$ son polinomios , puede prolongarse, de manera única, a una función de ${\widehat {\mathbb {R} }}$ a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ que es continuo en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ En particular, este es el caso de las funciones polinómicas , que toman el valor $\infty$ en $\infty ,$ si no son constantes .

Además, si la función tangente $\tan$ se extiende de modo que

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

entonces $\tan$ es continuo en $\mathbb {R} ,$ pero no puede prolongarse más a una función que sea continua en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

Muchas funciones elementales que son continuas en $\mathbb {R}$ no se puede extender a funciones que son continuas en ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso, por ejemplo, de la función exponencial y de todas las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno es continua en $\mathbb {R} ,$ pero no se puede hacer continuo en $\infty .$ Como se vio anteriormente, la función tangente se puede prolongar a una función que es continua en $\mathbb {R} ,$ pero esta función no puede hacerse continua en $\infty .$

Muchas funciones discontinuas que se vuelven continuas cuando el codominio se extiende a ${\widehat {\mathbb {R} }}$ permanecen discontinuos si el codominio se extiende al sistema de números reales extendido afínmente. ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso de la función $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ Por otro lado, algunas funciones que son continuas en $\mathbb {R}$ y discontinuo en $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ se vuelven continuos si el dominio se extiende a ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Este es el caso de la arcotangente .

Como rango proyectivo

Cuando se considera la recta proyectiva real en el contexto del plano proyectivo real , las consecuencias del teorema de Desargues son implícitas. En particular, la construcción de la relación de conjugación armónica proyectiva entre puntos forma parte de la estructura de la recta proyectiva real. Por ejemplo, dado cualquier par de puntos, el punto en el infinito es la conjugación armónica proyectiva de su punto medio .

Como las proyectividades preservan la relación armónica, forman los automorfismos de la recta proyectiva real. Las proyectividades se describen algebraicamente como homografías , ya que los números reales forman un anillo , según la construcción general de una recta proyectiva sobre un anillo . Colectivamente, forman el grupo PGL(2, R ) .

Las proyectividades que son sus propias inversas se denominan involuciones . Una involución hiperbólica tiene dos puntos fijos . Dos de ellos corresponden a operaciones aritméticas elementales sobre la recta proyectiva real: la negación y la reciprocidad . En efecto, 0 e ∞ son fijos bajo la negación, mientras que 1 y −1 son fijos bajo la reciprocidad.

Véase también

Notas

↑ Sin embargo, existe una extensión en la que todas las propiedades algebraicas, cuando se restringen a operaciones definidas en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , remitir a las reglas estándar: ver teoría de la rueda .
↑ Si se requiere consistencia de complementación, de tal manera que $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ y $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ a pesar de $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (donde se define el intervalo a cada lado), todos los intervalos excluyendo $\varnothing$ y ${\widehat {\mathbb {R} }}$ puede representarse naturalmente utilizando esta notación, con $(a,a)$ ser interpretado como ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ y intervalos semiabiertos con extremos iguales, por ejemplo $(a,a]$ , quedando sin definir.
↑ Por ejemplo, la razón de intervalos $[0,1]/[0,1]$ contiene $0$ en ambos intervalos, y dado que $0 / 0$ no está definido, el resultado de la división de estos intervalos no está definido.

Referencias

1 2 3 4 5 NBU, DDE (2019-11-05). PG MTM 201 B1 . Dirección de Educación a Distancia, Universidad del Norte de Bengala.
1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos proyectivamente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de julio de 2025 .
↑ Lee, Nam-Hoon (28 de abril de 2020). Geometría: de las isometrías a la relatividad especial . Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4.

[4] Sin embargo, existe una extensión en la que todas las propiedades algebraicas, cuando se restringen a operaciones definidas en ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , remitir a las reglas estándar: ver teoría de la rueda .

[5] Si se requiere consistencia de complementación, de tal manera que $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ y $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ a pesar de $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (donde se define el intervalo a cada lado), todos los intervalos excluyendo $\varnothing$ y ${\widehat {\mathbb {R} }}$ puede representarse naturalmente utilizando esta notación, con $(a,a)$ ser interpretado como ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ y intervalos semiabiertos con extremos iguales, por ejemplo $(a,a]$ , quedando sin definir.

[6] Por ejemplo, la razón de intervalos $[0,1]/[0,1]$ contiene $0$ en ambos intervalos, y dado que $0 / 0$ no está definido, el resultado de la división de estos intervalos no está definido.

[:0-1] 1 2 3 4 5 NBU, DDE (2019-11-05). PG MTM 201 B1 . Dirección de Educación a Distancia, Universidad del Norte de Bengala.

[:1-2] 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos proyectivamente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 13 de julio de 2025 .

[3] Lee, Nam-Hoon (28 de abril de 2020). Geometría: de las isometrías a la relatividad especial . Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4.

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