Proyección (álgebra lineal)

En álgebra lineal y análisis funcional , una proyección es una transformación lineal. $P$ de un espacio vectorial a sí mismo (un endomorfismo ) tal que $P\circ P=P$ . Es decir, siempre que $P$ si se aplica dos veces a cualquier vector, da el mismo resultado que si se aplicara una sola vez (es decir, $P$ es idempotente ). Deja su imagen inalterada. ^{[ 1 ]} Esta definición de "proyección" formaliza y generaliza la idea de proyección gráfica . También se puede considerar el efecto de una proyección sobre un objeto geométrico examinando el efecto de la proyección sobre puntos del objeto.

Definiciones

Una proyección sobre un espacio vectorial $V$ es un operador lineal $P\dos puntos V\a V$ de tal manera que $P^{2}=P$ .

Cuando $V$ tiene un producto interno y es completo , es decir, cuando $V$ es un espacio de Hilbert , se puede utilizar el concepto de ortogonalidad . Una proyección $P$ en un espacio de Hilbert $V$ Se denomina proyección ortogonal si satisface $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ a pesar de $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \en V$ Una proyección sobre un espacio de Hilbert que no es ortogonal se denomina proyección oblicua .

Matriz de proyección

Una matriz cuadrada $P$ se denomina matriz de proyección si es igual a su cuadrado, es decir, si $P^{2}=P$ . ^{[ 2 ]}^{: pág. 38}
Una matriz cuadrada $P$ se denomina matriz de proyección ortogonal si $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ para una matriz real y respectivamente $P^{2}=P=P^{*}$ para una matriz compleja , donde $P^{\mathrm {T} }$ denota la transpuesta de $P$ y $P^{*}$ denota la transpuesta adjunta o hermitiana de $P$ . ^{[ 2 ]}^{: pág. 223}
Una matriz de proyección que no es una matriz de proyección ortogonal se denomina matriz de proyección oblicua .

Los valores propios de una matriz de proyección deben ser 0 o 1.

Ejemplos

Proyección ortogonal

Por ejemplo, la función que mapea el punto $(x,y,z)$ en el espacio tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ hasta el punto $(x,y,0)$ es una proyección ortogonal sobre el plano xy . Esta función está representada por la matriz $P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

La acción de esta matriz sobre un vector arbitrario es $P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.$

Para ver eso $P$ es de hecho una proyección, es decir, $P=P^{2}$ , calculamos $P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

Observando que $P^{\mathrm {T} }=P$ muestra que la proyección es una proyección ortogonal.

Proyección oblicua

Un ejemplo sencillo de proyección no ortogonal (oblicua) es $P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.$

Mediante la multiplicación de matrices , se observa que $P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$ demostrando que $P$ Es, en efecto, una proyección.

La proyección $P$ es ortogonal si y solo si $\alpha =0$ porque solo entonces $P^{\mathrm {T} }=P.$

Propiedades y clasificación

Idempotencia

Por definición, una proyección $P$ es idempotente (es decir $P^{2}=P$ ).

Abrir mapa

Cada proyección es un mapa abierto sobre su imagen, lo que significa que mapea cada conjunto abierto en el dominio a un conjunto abierto en la topología del subespacio de la imagen . Es decir, para cualquier vector $\mathbf {x}$ y cualquier pelota $B_{\mathbf {x} }$ (con radio positivo) centrado en $\mathbf {x}$ , existe una pelota $B_{P\mathbf {x} }$ (con radio positivo) centrado en $P\mathbf {x}$ que está totalmente contenido en la imagen $P(B_{\mathbf {x} })$ .

Complementariedad de la imagen y el núcleo

Dejar $W$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y $P$ ser una proyección en $W$ . Supongamos que los subespacios $U$ y $V$ son la imagen y el núcleo de $P$ respectivamente. Entonces $P$ tiene las siguientes propiedades:

$P$ es el operador de identidad $I$ en $U$ : $\forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .$
Tenemos una suma directa $W=U\oplus V$ . Cada vector $\mathbf {x} \in W$ puede descomponerse de forma única como $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ con $\mathbf {u} =P\mathbf {x}$ y $\mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x}$ y dónde $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$

La imagen y el núcleo de una proyección son complementarios , al igual que $P$ y $Q=I-P$ El operador $Q$ es también una proyección como la imagen y el núcleo de $P$ convertirse en el núcleo y la imagen de $Q$ y viceversa. Decimos $P$ es una proyección a lo largo $V$ sobre $U$ (núcleo/imagen) y $Q$ es una proyección a lo largo $U$ sobre $V$ .

Espectro

En espacios vectoriales de dimensión infinita, el espectro de una proyección está contenido en $\{0,1\}$ como $(\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.$ Solo 0 o 1 pueden ser valores propios de una proyección. Esto implica que una proyección ortogonal $P$ es siempre una matriz semidefinida positiva . En general, los autoespacios correspondientes son (respectivamente) el núcleo y el rango de la proyección. La descomposición de un espacio vectorial en sumas directas no es única. Por lo tanto, dado un subespacio $V$ , puede haber muchas proyecciones cuyo rango (o núcleo) es $V$ .

Si una proyección no es trivial, tiene un polinomio mínimo. $x^{2}-x=x(x-1)$ , que se divide en factores lineales distintos y, por lo tanto, $P$ es diagonalizable .

Producto de proyecciones

El producto de proyecciones no es, en general, una proyección, incluso si son ortogonales. Si dos proyecciones conmutan , su producto es una proyección, pero lo contrario es falso: el producto de dos proyecciones que no conmutan puede ser o no una proyección.

Si dos proyecciones ortogonales conmutan, entonces su producto es una proyección ortogonal. Si el producto de dos proyecciones ortogonales es una proyección ortogonal, entonces las dos proyecciones ortogonales conmutan (en términos más generales: dos endomorfismos autoadjuntos conmutan si y solo si su producto es autoadjunto).

Proyecciones ortogonales

Cuando el espacio vectorial $W$ tiene un producto interno y es completo (es un espacio de Hilbert ) se puede utilizar el concepto de ortogonalidad . Una proyección ortogonal es una proyección para la cual el rango $U$ y el núcleo $V$ son subespacios ortogonales . Por lo tanto, para cada $\mathbf {x}$ y $\mathbf {y}$ en $W$ , $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$ . De forma equivalente: $\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$

Una proyección es ortogonal si y solo si es autoadjunta . Utilizando las propiedades autoadjunta e idempotente de $P$ , para cualquier $\mathbf {x}$ y $\mathbf {y}$ en $W$ tenemos $P\mathbf {x} \in U$ , $\mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V$ , y $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(P-P^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0$ dónde $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ es el producto interno asociado con $W$ . Por lo tanto, $P$ y $I-P$ son proyecciones ortogonales. ^{[ 3 ]} La otra dirección, es decir, que si $P$ es ortogonal entonces es autoadjunto, se deduce de la implicación de $\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0$ a $\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle$ por cada $x$ y $y$ en $W$ ; de este modo $P=P^{*}$ .

La existencia de una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado se deduce del teorema de proyección de Hilbert .

Propiedades y casos especiales

Una proyección ortogonal es un operador acotado . Esto se debe a que para cada $\mathbf {v}$ En el espacio vectorial tenemos, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz : $\left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|$ De este modo $\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|$ .

Para espacios vectoriales complejos o reales de dimensión finita, se puede sustituir el producto interno estándar por $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ .

Fórmulas

Un caso sencillo se produce cuando la proyección ortogonal se realiza sobre una línea. Si $\mathbf {u}$ es un vector unitario en la línea, entonces la proyección viene dada por el producto exterior. $P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.$ (Si $\mathbf {u}$ es de valor complejo, la transpuesta en la ecuación anterior se reemplaza por una transpuesta hermitiana). Este operador deja u invariante y aniquila todos los vectores ortogonales a $\mathbf {u}$ , demostrando que es efectivamente la proyección ortogonal sobre la línea que contiene a u . ^{[ 4 ]} Una forma sencilla de ver esto es considerar un vector arbitrario. $\mathbf {x}$ como la suma de una componente en la línea (es decir, el vector proyectado que buscamos) y otra perpendicular a ella, $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }$ Aplicando la proyección, obtenemos $P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }$ por las propiedades del producto escalar de vectores paralelos y perpendiculares.

Esta fórmula puede generalizarse a proyecciones ortogonales en un subespacio de dimensión arbitraria . Sea $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ ser una base ortonormal del subespacio $U$ , con el supuesto de que el entero $k\geq 1$ y dejar $A$ denotan el $n\times k$ matriz cuyas columnas son $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ , es decir, $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$ . Entonces la proyección viene dada por: ^{[ 5 ]} $P_{A}=AA^{\mathsf {T}}$ que puede reescribirse como $P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.$

La matriz $A^{\mathsf {T}}$ es la isometría parcial que se desvanece en el complemento ortogonal de $U$ , y $A$ es la isometría que se incrusta $U$ en el espacio vectorial subyacente. El rango de $P_{A}$ es por lo tanto el espacio final de $A$ También está claro que $AA^{\mathsf {T}}$ es el operador de identidad en $U$ .

La condición de ortonormalidad también puede eliminarse. Si $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ es una base (no necesariamente ortonormal) con $k\geq 1$ , y $A$ es la matriz con estos vectores como columnas, entonces la proyección es: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.$

La matriz $A$ aún se incrusta $U$ en el espacio vectorial subyacente, pero ya no es una isometría en general. La matriz $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$ es un "factor de normalización" que recupera la norma. Por ejemplo, el operador de rango -1 $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ no es una proyección si $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ Después de dividir por $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ obtenemos la proyección $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ sobre el subespacio abarcado por $u$ .

En el caso general, podemos tener una matriz definida positiva arbitraria. $D$ definir un producto interno $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$ y la proyección $P_{A}$ es dado por ${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$ . Entonces $P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.$

Cuando el espacio de rango de la proyección es generado por un marco (es decir, el número de generadores es mayor que su dimensión), la fórmula para la proyección toma la forma: $P_{A}=AA^{+}$ . Aquí $A^{+}$ representa la pseudoinversa de Moore-Penrose . Esta es solo una de las muchas maneras de construir el operador de proyección.

Si ${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ es una matriz no singular y $A^{\mathsf {T}}B=0$ (es decir, $B$ es la matriz del espacio nulo de $A$ ), ^{[ 8 ]} se cumple lo siguiente: ${\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{\mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$

Si la condición de ortogonalidad se mejora a $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ con $W$ no singular , se cumple lo siguiente: $I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.$

Todas estas fórmulas también son válidas para espacios con producto interno complejo, siempre que se utilice la transpuesta conjugada en lugar de la transpuesta. Se pueden encontrar más detalles sobre sumas de proyectores en Banerjee y Roy (2014). ^{[ 9 ]} Véase también Banerjee (2004) ^{[ 10 ]} para la aplicación de sumas de proyectores en trigonometría esférica básica .

Proyecciones oblicuas

El término proyecciones oblicuas se utiliza a veces para referirse a proyecciones no ortogonales. Estas proyecciones también se emplean para representar figuras espaciales en dibujos bidimensionales (véase proyección oblicua ), aunque no con tanta frecuencia como las proyecciones ortogonales. Mientras que el cálculo del valor ajustado de una regresión de mínimos cuadrados ordinarios requiere una proyección ortogonal, el cálculo del valor ajustado de una regresión de variables instrumentales requiere una proyección oblicua.

Una proyección se define por su núcleo y los vectores base que caracterizan su rango (que es el complemento del núcleo). Cuando estos vectores base son ortogonales al núcleo, la proyección es ortogonal. Cuando no lo son, se trata de una proyección oblicua o simplemente una proyección.

Fórmula de representación matricial para un operador de proyección distinto de cero.

Dejar $P\colon V\to V$ sea un operador lineal tal que $P^{2}=P$ y suponer que $P$ no es el operador cero. Sean los vectores $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ formar una base para la gama de $P$ y ensamblar estos vectores en el $n\times k$ matriz $A$ . Entonces $k\geq 1$ , de lo contrario $k=0$ y $P$ es el operador cero. El rango y el núcleo son espacios complementarios, por lo que el núcleo tiene dimensión $n-k$ De ello se deduce que el complemento ortogonal del núcleo tiene dimensión $k$ . Dejar $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ forman una base para el complemento ortogonal del núcleo de la proyección y ensamblan estos vectores en la matriz $B$ . Luego la proyección $P$ (con la condición $k\geq 1$ ) viene dado por $P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.$

Esta expresión generaliza la fórmula para proyecciones ortogonales dada anteriormente. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Una demostración estándar de esta expresión es la siguiente. Para cualquier vector $\mathbf {x}$ en el espacio vectorial $V$ , podemos descomponer $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}$ , donde vector $\mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )$ está en la imagen de $P$ y vector $\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} ).$ Entonces $P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ , y luego $\mathbf {x} _{2}$ está en el núcleo de $P$ , que es el espacio nulo de $A.$ En otras palabras, el vector $\mathbf {x} _{1}$ está en el espacio de columna de $A,$ entonces $\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w}$ para algunos $k$ vector de dimensión $\mathbf {w}$ y el vector $\mathbf {x} _{2}$ Satisface $B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0}$ mediante la construcción de $B$ Si juntamos estas condiciones, obtenemos un vector. $\mathbf {w}$ de modo que $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$ . Dado que las matrices $A$ y $B$ son de rango completo $k$ por su construcción, el $k\times k$ -matriz $B^{\mathsf {T}}A$ es invertible. Por lo tanto, la ecuación $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$ da el vector $\mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .$ De este modo, $P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$ para cualquier vector $\mathbf {x} \in V$ y por lo tanto $P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}$ .

En el caso de que $P$ es una proyección ortogonal, podemos tomar $A=B$ y de ello se deduce que $P=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}$ . Usando esta fórmula, se puede comprobar fácilmente que $P=P^{\mathsf {T}}$ En general, si el espacio vectorial está definido sobre un cuerpo de números complejos, se utiliza la transposición hermitiana . $A^{*}$ y tiene la fórmula $P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}$ Recordemos que se puede expresar la inversa de Moore-Penrose de la matriz . $A$ por $A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}$ desde $A$ tiene rango de columna completo, por lo tanto $P=AA^{+}$ .

Valores singulares

$I-P$ es también una proyección oblicua. Los valores singulares de $P$ y $I-P$ puede calcularse mediante una base ortonormal de $A$ . Dejar $Q_{A}$ ser una base ortonormal de $A$ y dejar $Q_{A}^{\perp }$ sea el complemento ortogonal de $Q_{A}$ . Denotemos los valores singulares de la matriz $Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^{T}Q_{A}^{\perp }$ por los valores positivos $\gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}$ Con esto, los valores singulares para $P$ son: ^{[ 13 ]} $\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ y los valores singulares para $I-P$ son $\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq n-k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ Esto implica que los valores singulares más grandes de $P$ y $I-P$ son iguales, y por lo tanto que la norma matricial de las proyecciones oblicuas es la misma. Sin embargo, el número de condición satisface la relación $\kappa (I-P)={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)$ y, por lo tanto, no es necesariamente igual.

Encontrar la proyección con un producto interno

Dejar $V$ sea un espacio vectorial (en este caso un plano) generado por vectores ortogonales. $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$ . Dejar $y$ sea un vector. Se puede definir una proyección de $\mathbf {y}$ sobre $V$ como $\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}$ donde se suman los índices repetidos ( notación de suma de Einstein ). El vector $\mathbf {y}$ se puede escribir como una suma ortogonal tal que $\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}$ . $\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}$ a veces se denota como ${\hat {\mathbf {y} }}$ . Existe un teorema en álgebra lineal que establece que esto $\mathbf {z}$ es la distancia más pequeña (la distancia ortogonal ) desde $\mathbf {y}$ a $V$ y se utiliza comúnmente en áreas como el aprendizaje automático .

Formas canónicas

Cualquier proyección $P=P^{2}$ en un espacio vectorial de dimensión $d$ sobre un campo es una matriz diagonalizable , ya que su polinomio mínimo divide $x^{2}-x$ , que se divide en factores lineales distintos. Por lo tanto, existe una base en la que $P$ tiene la forma

P=I_{r}\oplus 0_{d-r}

dónde $r$ es el rango de $P$ . Aquí $I_{r}$ es la matriz identidad de tamaño $r$ , $0_{d-r}$ es la matriz cero de tamaño $d-r$ , y $\oplus$ es el operador de suma directa . Si el espacio vectorial es complejo y está equipado con un producto interno , entonces existe una base ortonormal en la que la matriz de P es ^{[ 14 ].}

P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.

dónde $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$ Los números enteros $k,s,m$ y las cifras reales $\sigma _{i}$ están determinados de forma única. $2k+s+m=d$ . El factor $I_{m}\oplus 0_{s}$ corresponde al subespacio invariante máximo en el que $P$ actúa como una proyección ortogonal (de modo que P mismo es ortogonal si y solo si $k=0$ ) y el $\sigma _{i}$ Los bloques corresponden a los componentes oblicuos .

Proyecciones sobre espacios vectoriales normados

Cuando el espacio vectorial subyacente $X$ es un espacio vectorial normado (no necesariamente de dimensión finita) , es necesario considerar cuestiones analíticas, irrelevantes en el caso de dimensión finita. Supongamos ahora $X$ es un espacio Banach .

Muchos de los resultados algebraicos discutidos anteriormente sobreviven al paso a este contexto. Una descomposición en suma directa dada de $X$ en subespacios complementarios todavía especifica una proyección, y viceversa. Si $X$ es la suma directa $X=U\oplus V$ , entonces el operador definido por $P(u+v)=u$ sigue siendo una proyección con rango $U$ y núcleo $V$ También está claro que $P^{2}=P$ . Por el contrario, si $P$ es proyección en $X$ , es decir $P^{2}=P$ , entonces se verifica fácilmente que $(1-P)^{2}=(1-P)$ . En otras palabras, $1-P$ También es una proyección. La relación $P^{2}=P$ implica $1=P+(1-P)$ y $X$ es la suma directa $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$ .

Sin embargo, a diferencia del caso de dimensión finita, las proyecciones no tienen por qué ser continuas en general. Si un subespacio $U$ de $X$ no está cerrado en la topología de la norma, entonces la proyección sobre $U$ no es continuo. En otras palabras, el rango de una proyección continua $P$ debe ser un subespacio cerrado. Además, el núcleo de una proyección continua (de hecho, de un operador lineal continuo en general) es cerrado. Por lo tanto, una proyección continua $P$ da una descomposición de $X$ en dos subespacios cerrados complementarios: $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$ .

Lo contrario también es cierto, con una suposición adicional. Supongamos que $U$ es un subespacio cerrado de $X$ . Si existe un subespacio cerrado $V$ tal que X = U ⊕ V , entonces la proyección $P$ con rango $U$ y núcleo $V$ es continua. Esto se deduce del teorema del grafo cerrado . Supongamos que x _n → x y Px _n → y . Es necesario demostrar que $Px=y$ . Desde $U$ es cerrado y { Px _n } ⊂ U , y se encuentra en $U$ , es decir Py = y . Además, x _n − Px _n = ( I − P ) x _n → x − y . Porque $V$ es cerrado y {( I − P ) x _n } ⊂ V , tenemos $x-y\in V$ , es decir $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$ , lo cual prueba la afirmación.

El argumento anterior se basa en la suposición de que ambos $U$ y $V$ son cerrados. En general, dado un subespacio cerrado $U$ No es necesario que exista un subespacio cerrado complementario. $V$ , aunque para los espacios de Hilbert esto siempre se puede hacer tomando el complemento ortogonal . Para los espacios de Banach, un subespacio unidimensional siempre tiene un subespacio complementario cerrado. Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Hahn-Banach . Sea $U$ sea el intervalo lineal de $u$ Según Hahn-Banach, existe un funcional lineal acotado. $\varphi$ tal que φ ( u ) = 1 . El operador $P(x)=\varphi (x)u$ Satisface $P^{2}=P$ , es decir, es una proyección. Acotación de $\varphi$ implica continuidad de $P$ y por lo tanto $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ es un subespacio complementario cerrado de $U$ .

Aplicaciones y consideraciones adicionales

Las proyecciones (ortogonales y de otro tipo) desempeñan un papel fundamental en los algoritmos para ciertos problemas de álgebra lineal:

Descomposición QR (véase la transformación de Householder y la descomposición de Gram-Schmidt );
Descomposición en valores singulares
Reducción a la forma de Hessenberg (el primer paso en muchos algoritmos de valores propios ).
Regresión lineal
Los elementos proyectivos de las álgebras de matrices se utilizan en la construcción de ciertos K-grupos en la teoría de operadores K.

Como se mencionó anteriormente, las proyecciones son un caso especial de idempotentes. Analíticamente, las proyecciones ortogonales son generalizaciones no conmutativas de las funciones características . Los idempotentes se utilizan para clasificar, por ejemplo, álgebras semisimples , mientras que la teoría de la medida comienza considerando las funciones características de conjuntos medibles . Por lo tanto, como es de imaginar, las proyecciones se encuentran con frecuencia en el contexto de las álgebras de operadores . En particular, un álgebra de von Neumann se genera mediante su retículo completo de proyecciones.

Generalizaciones

De forma más general, dada una aplicación entre espacios vectoriales normados $T\colon V\to W,$ De forma análoga, se puede pedir que este mapa sea una isometría en el complemento ortogonal del núcleo: que $(\ker T)^{\perp }\to W$ ser una isometría (compárese con isometría parcial ); en particular debe ser sobreyectiva . El caso de una proyección ortogonal se da cuando W es un subespacio de V. En geometría riemanniana , esto se utiliza en la definición de una inmersión riemanniana .

Véase también

Matriz de centrado , que es un ejemplo de matriz de proyección.
El algoritmo de proyección de Dykstra para calcular la proyección sobre una intersección de conjuntos.
Subespacio invariante
Análisis espectral por mínimos cuadrados
Ortogonalización
Propiedades de traza

Notas

↑ Meyer, págs. 386+387
1 2 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial, segunda edición . Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
↑ Meyer, pág. 433
↑ Meyer, pág. 431
↑ Meyer, ecuación (5.13.4)
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Meyer, ecuación (5.13.3)
↑ Véase también Mínimos cuadrados lineales (matemáticas) § Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados .
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Banerjee, Sudipto (2004), "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors", The College Mathematics Journal , 35 (5): 375–381 , doi : 10.1080/07468342.2004.11922099 , S2CID 122277398
↑ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
↑ Meyer, ecuación (7.10.39)
↑ Brust, JJ; Marcia, RF; Petra, CG (2020), "Descomposiciones computacionalmente eficientes de matrices de proyección oblicua", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 41 (2): 852– 870, doi : 10.1137/19M1288115 , OSTI 1680061 , S2CID 219921214
↑ Doković, D. Ž. (Agosto de 1991). "Similitud unitaria de proyectores". Aecuaciones Mathematicae . 42 (1): 220– 224. doi : 10.1007/BF01818492 . S2CID 122704926 .

Referencias

Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Operadores lineales, parte I: teoría general . Interscience.
Meyer, Carl D. (2000). Análisis matricial y álgebra lineal aplicada . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 978-0-89871-454-8.
Brezinski, Claude: Métodos de proyección para sistemas de ecuaciones , North-Holland, ISBN 0-444-82777-3 (1997).

Enlaces externos

Clase de álgebra lineal del MIT sobre matrices de proyección en YouTube , de MIT OpenCourseWare.
Álgebra lineal 15d: La transformación de proyección en YouTube , por Pavel Grinfeld .
Tutorial sobre proyecciones geométricas planas : un tutorial sencillo que explica los diferentes tipos de proyecciones geométricas planas.

[1] Meyer, págs. 386+387

[HornJohnson-2] 1 2 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial, segunda edición . Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

[3] Meyer, pág. 433

[4] Meyer, pág. 431

[5] Meyer, ecuación (5.13.4)

[6] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[7] Meyer, ecuación (5.13.3)

[8] Véase también Mínimos cuadrados lineales (matemáticas) § Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados .

[9] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[10] Banerjee, Sudipto (2004), "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors", The College Mathematics Journal , 35 (5): 375–381 , doi : 10.1080/07468342.2004.11922099 , S2CID 122277398

[11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388

[12] Meyer, ecuación (7.10.39)

[13] Brust, JJ; Marcia, RF; Petra, CG (2020), "Descomposiciones computacionalmente eficientes de matrices de proyección oblicua", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 41 (2): 852– 870, doi : 10.1137/19M1288115 , OSTI 1680061 , S2CID 219921214

[14] Doković, D. Ž. (Agosto de 1991). "Similitud unitaria de proyectores". Aecuaciones Mathematicae . 42 (1): 220– 224. doi : 10.1007/BF01818492 . S2CID 122704926 .

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