Teorema de propagación de singularidades

En el análisis microlocal , el teorema de propagación de singularidades (también llamado teorema de Duistermaat-Hörmander ) es un teorema que caracteriza el conjunto de frentes de onda de la solución distribucional de la ecuación (pseudo)diferencial parcial.

${\displaystyle Pu=f}$

para un operador pseudodiferencial${\displaystyle P}$en una variedad suave . Dice que la propagación de singularidades sigue el flujo bicaracterístico del símbolo principal de${\displaystyle P}$.

El teorema apareció en 1972 en un trabajo sobre operadores integrales de Fourier de Johannes Jisse Duistermaat y Lars Hörmander y desde entonces ha habido muchas generalizaciones que se conocen con el nombre de propagación de singularidades . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Utilizamos la siguiente notación:

• ${\displaystyle X}$es un${\displaystyle C^{\infty }}$- variedad diferenciable y${\displaystyle C_{0}^{\infty }(X)}$es el espacio de funciones suaves${\displaystyle u}$con un conjunto compacto${\displaystyle K\subset X}$, de tal manera que${\displaystyle u\mid {X\setminus K}=0}$.
• ${\displaystyle L_{\sigma ,\delta }^{m}(X)}$denota la clase de operadores pseudodiferenciales de tipo${\displaystyle (\sigma ,\delta )}$con símbolo${\displaystyle a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^{m}(X\times X\times \mathbb {R} ^{n})}$.
• ${\displaystyle S_{\sigma ,\delta }^{m}}$es la clase de símbolos de Hörmander.
• ${\displaystyle L_{1}^{m}(X):=L_{1,0}^{m}(X)}$.
• ${\displaystyle D'(X)=(C_{0}^{\infty }(X))^{*}}$es el espacio de distribuciones , el espacio dual de${\displaystyle C_{0}^{\infty }(X)}$.
• ${\displaystyle WF(u)}$es el conjunto de frentes de onda de${\displaystyle u}$
• ${\displaystyle \operatorname {char} p_{m}}$es el conjunto característico del símbolo principal${\displaystyle p_{m}}$

• Hörmander, Lars (1972). Operadores integrales de Fourier. I . Acta Matemática. vol.  128. Instituto Mittag-Leffler. págs. 79-183 . doi : 10.1007/BF02392052 . 
• Duistermaat, Johannes Jisse; Hörmander, Lars (1972). Operadores integrales de Fourier. II . Acta Matemática. vol.  128. Instituto Mittag-Leffler. págs. 183–269 . doi : 10.1007/BF02392165 . 
• Shubin, Mikhail A. Operadores pseudodiferenciales y teoría espectral . Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-41195-6.
• Taylor, Michael E. (1978). "Propagación, reflexión y difracción de singularidades de soluciones a ecuaciones de onda" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 84 (4). Sociedad Matemática Americana: 589–611 .