Fracción

Una fracción (del latín fractus , "roto") representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier número de partes iguales. En el lenguaje cotidiano, una fracción describe cuántas partes de un tamaño determinado hay, por ejemplo, un medio, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción simple (ejemplos: 1/2 y 17/3 ) consta de un numerador entero, que se muestra encima de una línea (o antes de una barra, como 1/2 ) , y un denominador entero distinto de cero , que se muestra debajo (o después) de esa línea. Si estos enteros son positivos , el numerador representa un número de partes iguales, y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. Por ejemplo , en la fracción 3/4 , el numerador 3 indica que la fracción representa 3 partes iguales, y el denominador 4 indica que 4 partes forman un todo. La imagen de la derecha ilustra 3/4 de un pastel .

Las fracciones se pueden usar para representar razones y divisiones . ^{[ 1 ]} Así, la fracción 3 / 4 se puede usar para representar la razón 3:4 (la razón de la parte al todo) y la división 3 ÷ 4 ( tres dividido entre cuatro).

Las fracciones negativas representan lo opuesto a una fracción positiva. Por ejemplo, si 1/2 representa una ganancia de medio dólar, entonces -1/2 representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo (que establecen, entre otras cosas, que un número negativo dividido por uno positivo es negativo), -1/2 , -1/2 y 1/ -2 representan la misma fracción : menos un medio . Y como un número negativo dividido por otro negativo produce un número positivo , -1 / -2 representa un medio positivo .

En matemáticas, un número racional es un número que puede representarse mediante una fracción de la forma a / b , donde a y b son enteros y b no es cero; el conjunto de todos los números racionales se representa comúnmente con el símbolo ⁠ $\mathbb {Q}$ o Q , que significa cociente . El término fracción y la notación a / b también sepueden usar para expresiones matemáticas que no representan un número racional (por ejemplo $\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ ), o incluso no representan ningún número (por ejemplo, la fracción racional). $\textstyle {\frac {1}{x}}$ ).

Un número racional, expresado como ${\frac {p}{q}}$ donde p y q son enteros coprimos y está en base ${b}$ , tiene una representación terminante en base ${b}$ si y solo si q divide a una potencia de b, o ${\frac {p}{q}}={\frac {C}{b^{n}}}$ para algunos ${C}$ y algún número entero ${n}$ > 0.

Al multiplicar en cruz, la igualdad es equivalente a ${qC}={pb^{n}}$ . Como q no divide a p, debe dividir $b^{n}$ y la expansión no continuará.

Vocabulario

En una fracción, el número de partes iguales que se describen es el numerador ( numerador es latín para "contador" o "numerador") y el tipo o variedad de las partes es el denominador ( dēnōminātor es latín para "nombrador" o "designador"). ^[²^]^[³^] Como ejemplo, la fracción 8 / 5 equivale a ocho partes, cada una de las cuales es del tipo llamado quinto . En términos de división , el numerador corresponde al dividendo y el denominador corresponde al divisor .

De manera informal, el numerador y el denominador pueden distinguirse solo por su ubicación, pero en contextos formales suelen estar separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en ⁠ 1 / 3 ⁠ ), oblicua (como en 2/5) o diagonal (como en ⁄ 9 ). ^[⁴^] Estas marcas se conocen respectivamente como la barra horizontal; la barra diagonal ( EE . UU. ) o el trazo ( Reino Unido ); y la barra de fracción, la barra sólida, [ ⁵^]^o la barra de fracción . ^[^{n 1}^] En tipografía , las fracciones apiladas verticalmente también se conocen como fracciones en o nut , y las diagonales como fracciones em o mutton , según si una fracción con un numerador y denominador de un solo dígito ocupa la proporción de un cuadrado en estrecho o un cuadrado em más ancho . ^[⁴^] En la fundición de tipos tradicional , una pieza de tipo que contenía una fracción completa (por ejemplo, 1/2 ) se conocía como fracción de caja , mientras que aquellas que representaban solo partes de fracciones se llamaban fracciones de pieza .

Los denominadores de las fracciones inglesas generalmente se expresan como números ordinales , pluralizados cuando el numerador no es 1. (Por ejemplo, ⁠ 1 / 5 ⁠ y ⁠ 2 / 5 ⁠ se leen como un quinto y dos quintos ). Hay algunas excepciones notables para algunas de las fracciones más comunes. El numerador a menudo se omite por completo cuando es 1. (Por ejemplo, ⁠ 1 / 5 ⁠ también puede leerse como un quinto ). Las fracciones con un denominador de 1 generalmente se leen como el numerador solo, a veces en términos de enteros pero nunca como primeros . (Por ejemplo, ⁠ 5 / 1 ⁠ puede leerse como cinco o cinco enteros ). Las fracciones con el denominador 2 se leen como mitad o mitades , nunca segundos ; el denominador 4 puede leerse como cuarto / cuartos así como cuarto / cuartos ; y el denominador 100 puede leerse como porcentaje , así como centésimas / centésimas .

Cualquier fracción también puede describirse leyendo el numerador sobre el denominador, donde el denominador se expresa como un número cardinal . (Por ejemplo, 1/2 y 2/5 también pueden expresarse como uno sobre dos y dos sobre cinco ) . El término « sobre» se utiliza independientemente de la forma de la barra de fracción . (Por ejemplo, ⁠ 1 / 5 ⁠ , 1/5 y 1 ⁄ 5 pueden leerse como uno sobre cinco ). Las fracciones con componentes inusuales o con denominadores grandes que no son potencias de diez a menudo se representan de esta manera (por ejemplo, ⁠ √2 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / x ⁠ y ⁠ 1 / 117 ⁠ como raíz cuadrada de dos sobre dos , uno sobre x y uno sobre ciento diecisiete ), mientras que aquellas con denominadores grandes divisibles por diez se leen normalmente de la forma ordinal normal (por ejemplo, ⁠ 6 / 1000000 ⁠ como seis millonésimas ).

Al escribir fracciones, se usan guiones , especialmente cuando se usan como adjetivos. La fracción ⁠ 2 / 5 ⁠ como una sola unidad debe escribirse como dos quintos . Escribir dos quintos sin guion describe el mismo valor, pero se entiende como dos instancias separadas de ⁠ 1 / 5 ⁠ .

Formas de fracciones

Fracciones simples, comunes o vulgares

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar ) ^{[ n² ]} es un número racional escrito como $a\div b$ o ${\tfrac {a}{b}}$ donde a y b son ambos enteros .^{[ 9 ]} Al igual que con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Algunos ejemplos son 1 / 2 , − 8 / 5, −8 / 5 y 8 / −5 . El término se utilizó originalmente para distinguir este tipo de fracción de la fracción^sexagesimal^utilizada en astronomía .[ 10 ^]

Las fracciones comunes pueden ser positivas o negativas, y pueden ser propias o impropias (véase más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mixtos y las expresiones decimales (véase más abajo) no son fracciones comunes , aunque, a menos que sean irracionales, pueden redondearse a una fracción común.

Una fracción unitaria es una fracción común con un numerador de 1 (por ejemplo, 1/7 ) . Las fracciones unitarias también se pueden expresar usando exponentes negativos, como en $2^{-1}$ , que representa ${\frac {1}{2^{1}}}$ , que también es igual a ${\frac {1}{2}}$ , y $2^{-2}$ que representa ${\frac {1}{2^{2}}}$ o ${\frac {1}{4}}$ .
Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos , por ejemplo ⁠ 1 / 8 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ³ ⁠ .

En Unicode, los caracteres de fracción precompuestos se encuentran en el bloque de Formas numéricas .

Fracciones propias e impropias

Las fracciones comunes se pueden clasificar como propias o impropias. Cuando tanto el numerador como el denominador son positivos, la fracción se llama propia si el numerador es menor que el denominador, e impropia en caso contrario. ^{[ 11 ]} El concepto de fracción impropia es un desarrollo posterior, y la terminología deriva del hecho de que fracción significa "pieza", por lo que una fracción propia debe ser menor que 1. ^{[ 10 ]} Esto se explicó en el libro de texto del siglo XVII The Ground of Arts . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

En general, se dice que una fracción común es una fracción propia si su valor absoluto es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Se dice que es una fracción impropia , o a veces fracción con exceso de numerador , ^{[ 16 ]} si su valor absoluto es mayor o igual que 1. Ejemplos de fracciones propias son: ${\frac {2}{3}}$ , −3/4 y 4/9, mientras que ejemplos de fracciones impropias son ${\frac {9}{4}}$ , ${\frac {-4}{3}}$ , y ${\frac {3}{3}}$ Como se describe a continuación , cualquier fracción impropia se puede convertir en un número mixto (entero más fracción propia), y viceversa.

Recíprocos y el denominador invisible

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. Por ejemplo, el recíproco de 3/7 es 7/3 . El producto de una fracción distinta de cero y su recíproco es 1; por lo tanto, el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción propia es impropia, y el recíproco de una fracción impropia distinta de 1 (es decir, con numerador y denominador diferentes) es una fracción propia.

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales (por ejemplo, 7/7 ) , su valor es 1, y por lo tanto la fracción es impropia. Su recíproca es idéntica y , por consiguiente , también es igual a 1 e impropia.

Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se puede escribir como 17 / 1 , donde a veces se hace referencia al 1 como denominador invisible . ^[¹⁷^] Por lo tanto, toda fracción y todo número entero, excepto el cero, tiene un recíproco. Por ejemplo, el recíproco de 17 es 1 / 17 .

Relaciones

Una razón es una relación entre dos o más números que a veces se puede expresar como una fracción. Normalmente, se agrupan varios elementos y se comparan en una razón, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las razones se expresan como "grupo 1 a grupo 2 ... a grupo n ". Por ejemplo, si un lote de autos tenía 12 vehículos, de los cuales

2 son blancos,
6 son rojos y
4 son amarillos,

Entonces, la proporción de autos rojos a blancos a amarillos es de 6 a 2 a 4. La proporción de autos amarillos a blancos es de 4 a 2 y se puede expresar como 4:2 o 2:1.

Una razón se suele convertir en fracción cuando se expresa como una proporción respecto al total. En el ejemplo anterior, la proporción de coches amarillos respecto al total de coches en el aparcamiento es de 4:12 o 1:3. Podemos convertir estas razones a una fracción y decir que 4/12 de los coches, o 1/3 de los coches en el aparcamiento , son amarillos . Por lo tanto, si una persona eligiera un coche al azar en el aparcamiento, habría una probabilidad de uno entre tres de que fuera amarillo.

Fracciones decimales y porcentajes

Una fracción decimal es aquella cuyo denominador es una potencia entera de diez, comúnmente expresada en notación decimal, donde el denominador no se indica explícitamente, sino que se deduce del número de dígitos a la derecha del separador decimal . Este separador puede ser un punto ⟨.⟩, un punto medio ⟨·⟩ o una coma ⟨,⟩, según la configuración regional. (Para ver ejemplos, consulte Separador decimal ). Así, para 0,75, el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 elevado a la segunda potencia, es decir, 100, ya que hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3,75), la parte fraccionaria se expresa mediante los dígitos a la derecha del separador (con un valor de 0,75 en este caso). 3,75 se puede escribir como una fracción impropia, ⁠ 375 / 100 ⁠ , o como un número mixto, ⁠ 3 + 75 / 100 ⁠ .

Las fracciones decimales también se pueden expresar utilizando notación científica con exponentes negativos, como por ejemplo:6,023 × 10 ⁻⁷ , una alternativa conveniente al engorroso 0,0000006023. El10 ⁻⁷ representa un denominador de10 ⁷ . Dividiendo por10 ⁷ mueve el punto decimal siete lugares a la izquierda.

Una fracción decimal con infinitos dígitos a la derecha del separador decimal representa una serie infinita . Por ejemplo, 1/3 = 0,333... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...

Otro tipo de fracción es el porcentaje (del latín : per centum , que significa "por cien", representado por el símbolo % ), en el que el denominador implícito es siempre 100. Así, 51% significa 51/100 . Los porcentajes mayores que 100 o menores que cero se tratan de la misma manera, por ejemplo, 311% significa 311/100 y -27% significa -27/100 .

El concepto relacionado de por mil , o partes por mil (ppt), significa un denominador de 1000, y esta notación de partes por se usa comúnmente con denominadores más grandes, como millones y mil millones , por ejemplo, 75 partes por millón ( ppm ) significa que la proporción es 75 /1 000 000 ⁠.

La elección entre notación fraccionaria y decimal suele ser una cuestión de preferencia y contexto. Las fracciones se utilizan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Mediante cálculo mental, es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que realizar el mismo cálculo utilizando el equivalente decimal de la fracción (0,1875). Y es más preciso (exacto, de hecho) multiplicar 15 por 1/3 , por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con denominador 100, es decir, con dos dígitos después del separador decimal, por ejemplo, $ 3,75 . Sin embargo, como se mencionó anteriormente, en la moneda británica predecimal, los chelines y peniques a menudo se representaban con la forma (pero no el significado) de una fracción, como, por ejemplo, "3/6", que comúnmente se lee " tres y seis " , significa tres chelines y seis peniques y no tiene relación con la fracción "tres sextos" .

Números mixtos

Un número mixto (también llamado fracción mixta o numeral mixto ) es la suma de un entero distinto de cero y una fracción propia, que convencionalmente se escribe mediante la yuxtaposición (o concatenación ) de ambas partes, sin utilizar un signo intermedio de más (+) o menos ( − ). Cuando la fracción se escribe horizontalmente, se añade un espacio entre el entero y la fracción para separarlos.

Como ejemplo básico, dos pasteles enteros y tres cuartos de otro pastel podrían escribirse como $2{\tfrac {3}{4}}$ pasteles o $2\ \,3/4$ pasteles, con el numeral $2$ representando los pasteles enteros y la fracción ${\tfrac {3}{4}}$ representando el pastel parcial adicional yuxtapuesto; esto es más conciso que la notación más explícita $2+{\tfrac {3}{4}}$ pasteles. El número mixto ⁠ 2 + 3 / 4 ⁠ se pronuncia dos y tres cuartos o dos y tres cuartos , con las partes entera y fraccionaria conectadas por la palabra y . ^[¹⁸^] La resta o negación se aplica a todo el numeral mixto, por lo que $-2{\tfrac {3}{4}}$ medio $-{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.$

Cualquier número mixto se puede convertir en una fracción impropia aplicando las reglas de suma de cantidades diferentes : cambiar la medida de una de las cantidades diferentes para que tenga la misma medida que la otra. Por ejemplo, $2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.$ Alternativamente, se puede multiplicar la parte entera por el denominador y luego sumar el numerador para obtener el numerador de la fracción impropia, que mantiene el mismo denominador que la fracción impropia. Por el contrario, una fracción impropia se puede convertir en un número mixto usando la división con resto , donde el número mixto consta de la parte entera como cociente y la parte fraccionaria (si la hay) es el resto dividido por el denominador de la fracción impropia original. Por ejemplo, como 4 cabe en 11 dos veces, con un resto de 3, ${\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.$

En la escuela primaria, los maestros a menudo insisten en que cada resultado fraccionario debe expresarse como un número mixto. ^{[ 19 ]} Fuera de la escuela, los números mixtos se usan comúnmente para describir medidas, por ejemplo 2 + 1/2 horas o 5 3/16 pulgadas , y siguen estando muy extendidos en la vida cotidiana y en los oficios, especialmente en regiones que no utilizan el sistema métrico decimalizado. Sin embargo, las mediciones científicas suelen usar el sistema métrico, que se basa en fracciones decimales, y a partir del nivel de la escuela secundaria, la pedagogía matemática trata cada fracción uniformemente como un número racional , el cociente p / q de enteros , dejando atrás los conceptos de fracción impropia y número mixto . ^[²⁰^] Los estudiantes universitarios con años de formación matemática a veces se confunden al reencontrarse con números mixtos porque están acostumbrados a la convención de que la yuxtaposición en expresiones algebraicas significa multiplicación. ^[²¹^]

nociones históricas

fracción egipcia

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias positivas distintas, por ejemplo ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ Esta definición se deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaban todas las fracciones excepto ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ y ${\tfrac {3}{4}}$ De esta manera. Todo número racional positivo puede expandirse como una fracción egipcia. Por ejemplo, ${\tfrac {5}{7}}$ se puede escribir como ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ Cualquier número racional positivo puede escribirse como una suma de fracciones unitarias de infinitas maneras. Dos maneras de escribirlo ${\tfrac {13}{17}}$ son ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ y ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$ .

Fracciones complejas y compuestas

En una fracción compleja , el numerador, el denominador o ambos son una fracción o un número mixto, ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} correspondiente a la división de fracciones. Por ejemplo, ${\tfrac {1/2}{1/3}}$ y ${\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26$ son fracciones complejas. Para interpretar fracciones anidadas escritas apiladas con barras de fracción horizontales, considere las barras más cortas como anidadas dentro de las más largas. Las fracciones complejas se pueden simplificar mediante la multiplicación por el recíproco, como se describe a continuación en § División . Por ejemplo:

{\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}

Una fracción compleja nunca debe escribirse sin un marcador obvio que muestre qué fracción está anidada dentro de la otra, ya que tales expresiones son ambiguas. Por ejemplo, la expresión $5/10/20$ podría interpretarse plausiblemente como ${\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}$ o como $5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.$ El significado se puede hacer explícito escribiendo las fracciones usando separadores distintos o agregando paréntesis explícitos, en este caso. $(5/10){\big /}20$ o $5{\big /}(10/20).$

Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier número de fracciones conectadas con la palabra de , ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, basta con realizar la multiplicación (véase § Multiplicación ). Por ejemplo, ${\tfrac {3}{4}}$ de ${\tfrac {5}{7}}$ es una fracción compuesta, que corresponde a ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$ Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y a veces uno se usa como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta) ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ es equivalente a la fracción compleja ${\tfrac {3/4}{7/5}}$ . )

Sin embargo, tanto la fracción compleja como la fracción compuesta pueden considerarse obsoletas ^{[ 24 ]} y ahora se usan de manera no bien definida, incluso en parte se toman como sinónimos entre sí ^{[ 25 ]} o con numerales mixtos . ^{[ 26 ]} Han perdido su significado como términos técnicos y los atributos complejo y compuesto tienden a usarse en su significado cotidiano de que consta de partes .

Aritmética con fracciones

Al igual que los números enteros, las fracciones obedecen las leyes conmutativa , asociativa y distributiva , y la regla que prohíbe la división por cero .

La aritmética de números mixtos se puede realizar convirtiendo cada número mixto en una fracción impropia, o tratándolo como una suma de partes enteras y fraccionarias.

Fracciones equivalentes

Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero) da como resultado una fracción equivalente a la fracción original. Esto es cierto porque para cualquier número distinto de cero $n$ , la fracción ${\tfrac {n}{n}}$ es igual a 1. Por lo tanto, multiplicando por ${\tfrac {n}{n}}$ es lo mismo que multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comencemos con la fracción ⁠ ${\tfrac {1}{2}}$ Cuando tanto el numerador como el denominador se multiplican por 2, el resultado es 2/4 , que tiene el mismo valor (0,5) que 1/2 . Para visualizarlo , imagina cortar un pastel en cuatro trozos; dos de los trozos juntos ( 2/4 ) forman la mitad del pastel ( 1/2 ) .

Simplificación (reducción) de fracciones

Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero da como resultado una fracción equivalente: si tanto el numerador como el denominador de una fracción son divisibles por un número (llamado factor) mayor que 1, entonces la fracción se puede reducir a una fracción equivalente con un numerador y un denominador menores. Por ejemplo, si tanto el numerador como el denominador de la ${\tfrac {a}{b}}$ son divisibles por $c$ ⁠ , entonces se pueden escribir como $a=cd$ , $b=ce$ y la fracción se convierte en ⁠ cd / ce ⁠ , que se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por c para obtener la fracción reducida ⁠ d / e ⁠ .

Si se toma por $c$ el máximo común divisor del numerador y el denominador, se obtiene la fracción equivalente cuyo numerador y denominador tienen los valores absolutos más bajos . Se dice que la fracción se ha reducido a su mínima expresión .

Si el numerador y el denominador no comparten ningún factor mayor que 1, la fracción ya está reducida a su mínima expresión, y se dice que es irreducible , reducida o en su mínima expresión . Por ejemplo, ${\tfrac {3}{9}}$ no está en términos mínimos porque tanto 3 como 9 se pueden dividir exactamente por 3. En cambio, ${\tfrac {3}{8}}$ En términos mínimos, el único entero positivo que divide exactamente tanto al 3 como al 8 es el 1.

Usando estas reglas, podemos demostrar que ⁠ 5 / 10 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ = ⁠ 10 / 20 ⁠ = ⁠ 50 / 100 ⁠ , por ejemplo.

Como otro ejemplo, dado que el máximo común divisor de 63 y 462 es 21, la fracción 63 / 462 se puede reducir a su mínima expresión dividiendo el numerador y el denominador por 21 :

{\frac {63}{462}}={\frac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\frac {3}{22}}.

El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros cualesquiera.

Comparación de fracciones

Comparar fracciones con el mismo denominador positivo produce el mismo resultado que comparar los numeradores:

{\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}

porque 3 > 2 y los denominadores son iguales

4

son positivos.

Si los denominadores iguales son negativos, entonces se cumple el resultado opuesto al comparar los numeradores de las fracciones:

{\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.

Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, la fracción con el denominador menor es la mayor. Cuando un todo se divide en partes iguales, si se necesitan menos partes iguales para completar el todo, entonces cada parte debe ser mayor. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan la misma cantidad de partes, pero en la fracción con el denominador menor, las partes son mayores.

Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar ${\tfrac {a}{b}}$ y ${\tfrac {c}{d}}$ , estos se convierten en ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ y ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ (donde el punto significa multiplicación y es un símbolo alternativo a ×). Entonces bd es un denominador común y los numeradores ad y bc se pueden comparar. No es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones; uno puede simplemente comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparando ${\tfrac {2}{3}}$ ¿ ${\tfrac {1}{2}}$ da ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$ .

Para la pregunta más laboriosa ${\tfrac {5}{18}}$ ¿ ${\tfrac {4}{17}},$ multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por el denominador de la otra fracción, para obtener un denominador común, resultando en ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ¿ ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$ No es necesario calcular $18\times 17$ – solo es necesario comparar los numeradores. Dado que 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72), el resultado de la comparación es ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ ⁠ .

Dado que todo número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y todo número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.

Suma

La primera regla de la suma es que solo se pueden sumar cantidades iguales; por ejemplo, distintas cantidades de monedas de veinticinco centavos. Las cantidades diferentes, como sumar tercios a monedas de veinticinco centavos, primero deben convertirse a cantidades iguales como se describe a continuación: Imagina un bolsillo con dos monedas de veinticinco centavos y otro bolsillo con tres monedas de veinticinco centavos; en total, hay cinco monedas de veinticinco centavos. Dado que cuatro monedas de veinticinco centavos equivalen a un dólar, esto se puede representar de la siguiente manera:

{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}

.

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} — Si ${\tfrac {1}{2}}$ de un pastel se va a agregar a ${\tfrac {1}{4}}$ Para dividir un pastel, las porciones deben convertirse en cantidades comparables, como octavos o cuartos de pastel.

Sumar cantidades diferentes

Para sumar fracciones con cantidades diferentes (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades a cantidades iguales. Es fácil determinar el tipo de fracción a convertir; simplemente multiplique los dos denominadores (el denominador) de cada fracción. En el caso de un número entero, aplique el denominador invisible 1.

Para sumar cuartos a tercios, ambos tipos de fracción se convierten a doceavos, de la siguiente manera:

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

Consideremos sumar las siguientes dos cantidades:

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}.

Primero, convierte ${\tfrac {3}{5}}$ en quinceavos multiplicando tanto el numerador como el denominador por tres : ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$ ⁠ . Dado que ⁠ 3 / 3 ⁠ es igual a 1, la multiplicación por ⁠ 3 / 3 ⁠ no cambia el valor de la fracción.

Segundo, convierte ⁠ 2 / 3 ⁠ en quinceavos multiplicando tanto el numerador como el denominador por cinco: ⁠ ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$ ⁠ .

Ahora se puede ver que

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

es equivalente a

{\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}.

Este método se puede expresar algebraicamente:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}.

Este método algebraico siempre funciona, garantizando así que la suma de fracciones simples siempre sea una fracción simple. Sin embargo, si los denominadores individuales contienen un factor común, se puede utilizar un denominador menor que el producto de estos. Por ejemplo, al sumar ${\tfrac {3}{4}}$ y ${\tfrac {5}{6}}$ Los denominadores simples tienen un factor común 2, y por lo tanto, en lugar del denominador 24 (4 × 6), se puede usar el denominador dividido por la mitad 12, lo que no solo reduce el denominador en el resultado, sino también los factores en el numerador.

{\begin{alignedat}{3}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&&={\frac {19}{12}}\\[10mu]&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&&={\frac {19}{12}}.\end{alignedat}}

El denominador más pequeño posible viene dado por el mínimo común múltiplo de los denominadores individuales, que resulta de dividir el múltiplo entre todos los factores comunes de dichos denominadores. Esto se conoce como mínimo común denominador.

Sustracción

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que para sumarlas: encontrar un denominador común y convertir cada fracción en una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

{\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}.

Para restar un número mixto, se puede tomar prestado uno adicional del minuendo, por ejemplo

4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.

Multiplicación

Multiplicar una fracción por otra fracción.

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Por lo tanto:

{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}.

Para explicar el proceso, consideremos un tercio de un cuarto. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas de igual tamaño forman un cuarto, y cuatro cuartos forman un pastel entero, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales forman un pastel entero. Por lo tanto, un tercio de un cuarto es un doceavo. Ahora consideremos los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es el doble de grande que un tercio. Como un tercio de un cuarto es un doceavo, dos tercios de un cuarto son dos doceavos. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces mayor que un cuarto, por lo que dos tercios de tres cuartos es tres veces mayor que dos tercios de un cuarto. Así, dos tercios por tres cuartos son seis doceavos.

Un método abreviado para multiplicar fracciones se llama cancelación . Básicamente, la respuesta se reduce a su mínima expresión durante la multiplicación. Por ejemplo:

{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}2}}}^{~1}}{{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}}\times {\frac {{\color {RedOrange}{\cancel {\color {Black}3}}}^{~1}}{{\color {RoyalBlue}{\cancel {\color {Black}4}}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.

El dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción de la izquierda como en el denominador de la de la derecha, y se divide entre ambos. El tres es un factor común tanto en el denominador de la fracción de la izquierda como en el numerador de la de la derecha, y se divide entre ambos.

Multiplicar una fracción por un número entero

Dado que un número entero se puede reescribir como él mismo dividido por 1, las reglas normales de multiplicación de fracciones aún se pueden aplicar. Por ejemplo,

6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}.

Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un todo.

Multiplicación de números mixtos

El producto de números mixtos se puede calcular convirtiendo cada uno a una fracción impropia. ^{[ 27 ]} Por ejemplo:

3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}.

Alternativamente, los números mixtos pueden tratarse como sumas y multiplicarse como binomios . En este ejemplo,

3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.

División

Para dividir una fracción entre un número entero, puedes dividir el numerador entre el número, si cabe exactamente en el numerador, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ igual ${\tfrac {2}{3}}$ y también es igual ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$ , que se reduce a ${\tfrac {2}{3}}$ Para dividir un número entre una fracción, se multiplica ese número por el recíproco de esa fracción. Por lo tanto, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ .

Conversión entre notación fraccionaria y decimal

Para convertir una fracción común a notación decimal, realice una división larga del numerador entre el denominador (esto también se expresa idiomáticamente como "dividir el denominador entre el numerador") y redondee el resultado a la precisión deseada. Por ejemplo, para convertir 1/4 a una expresión decimal , divida1 por4 ("4 en1 "), para obtener exactamente0,25 . Para convertir 1/3 a una expresión decimal , divide1... por3 ("3 en1... "), y detenerse cuando se obtiene la precisión deseada, por ejemplo, en cuatro lugares después del separador decimal (diezmilésimas) como0.3333 . La fracción 1/4 se expresa exactamente con solo dos dígitos después del separador decimal, mientras que la fracción 1/3 no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos . Una expresión decimal se puede convertir en una fracción eliminando el separador decimal, usando el resultado como numerador y usando1 seguido de la misma cantidad de ceros que dígitos a la derecha del separador decimal como denominador. Por lo tanto, $1.23={\tfrac {123}{100}}.$

Conversión de dígitos repetidos en notación decimal a fracciones

Si bien los números decimales son posiblemente más útiles para realizar cálculos, a veces carecen de la precisión de las fracciones comunes. En ocasiones, se requiere un decimal periódico infinito para alcanzar la misma precisión. Por lo tanto, suele ser útil convertir dígitos periódicos en fracciones.

Una forma convencional de indicar un decimal periódico es colocar una barra (conocida como vínculo ) sobre los dígitos que se repiten; por ejemplo , 0.789 = 0.789789789... Para patrones que se repiten y comienzan inmediatamente después del punto decimal, el resultado de la conversión es la fracción con el patrón como numerador y la misma cantidad de nueves como denominador. Por ejemplo:

0,5 = 5/9

0,62 = 62/99

0,264 = 264/999

0,6291 = 6291/9999

Si los ceros iniciales preceden al patrón, los nueves se completan con el mismo número de ceros finales :

0,05 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Si un conjunto de dígitos que no se repite precede al patrón (como 0,1523987 ), se puede escribir el número como la suma de las partes que no se repiten y las que se repiten, respectivamente :

0,1523 + 0,0000 987

Luego, convierte ambas partes a fracciones y súmalas utilizando los métodos descritos anteriormente:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

Alternativamente, se puede utilizar álgebra, como se muestra a continuación:

Sea x = el decimal periódico:
x = 0,1523987
Multiplica ambos lados por la potencia de 10 lo suficientemente grande (en este caso 10⁴ ⁾ como para mover el punto decimal justo antes de la parte repetida del número decimal:
10.000 x = 1.523,987
Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10³ ⁾ que sea igual al número de lugares que se repiten:
10.000.000 x = 1.523.987,987
Resta las dos ecuaciones entre sí (si a = b y c = d , entonces a − c = b − d ):
10.000.000 x − 10.000 x = 1.523.987,987 − 1.523,987
Continúa la operación de resta para eliminar el decimal periódico:
9.990.000 x = 1.523.987 − 1.523
9.990.000 x = 1.522.464
Divide ambos lados por 9.990.000 para representar x como una fracción.
x = 1522464 / 9990000

Fracciones en matemáticas abstractas

Además de su gran importancia práctica, las fracciones también son estudiadas por los matemáticos, quienes verifican que las reglas para fracciones dadas anteriormente sean consistentes y confiables . Los matemáticos definen una fracción como un par ordenado. $(a,b)$ de números enteros $a$ y $b\neq 0,$ para las cuales las operaciones de suma , resta , multiplicación y división se definen de la siguiente manera: ^{[ 28 ]}

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,

(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,

(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)

(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)

Estas definiciones coinciden en todos los casos con las definiciones dadas anteriormente; solo difiere la notación. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones inversas con respecto a la suma y la multiplicación podrían definirse como:

{\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}

Además, la relación , especificada como

(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,

es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia puede considerarse como un representante de toda la clase, y cada clase completa puede considerarse como una fracción abstracta. Esta equivalencia se conserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar con fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para la suma de fracciones

(a,b)\sim (a',b')\quad

y

\quad (c,d)\sim (c',d')\quad

implicar

((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))

y de forma similar para las demás operaciones.

En el caso de las fracciones de enteros, las fracciones a / b , con $a$ y $b$ coprimos y $b$ $> 0,$ se suelen considerar representantes únicos de sus fracciones equivalentes , que se consideran números racionales iguales . De esta forma, las fracciones de enteros conforman el cuerpo de los números racionales.

En términos más generales, a y b pueden ser elementos de cualquier dominio de integridad R , en cuyo caso una fracción es un elemento del cuerpo de fracciones de R. Por ejemplo, los polinomios en una indeterminada, con coeficientes de algún dominio de integridad D , son en sí mismos un dominio de integridad, llamémoslo P. Así, para a y b elementos de P , el cuerpo de fracciones generado es el cuerpo de fracciones racionales (también conocido como cuerpo de funciones racionales ).

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas . Al igual que con las fracciones de números enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son: ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ y ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismaspropiedades de campo que las fracciones aritméticas.

Si el numerador y el denominador son polinomios , como en ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ ⁠ , la fracción algebraica se llama fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es aquella que no es racional, como, por ejemplo, aquella que contiene la variable bajo un exponente o raíz fraccionaria, como en ⁠ ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ ⁠ .

La terminología utilizada para describir las fracciones algebraicas es similar a la utilizada para las fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en su mínima expresión si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y −1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como por ejemplo : ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$ ⁠ , se denomina fracción compleja .

El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los enteros, mientras que los enteros mismos no son un campo sino un dominio de integridad . De manera similar, las fracciones racionales con coeficientes en un campo forman el campo de las fracciones de polinomios con coeficiente en ese campo. Considerando las fracciones racionales con coeficientes reales, las expresiones radicales que representan números, como $\textstyle {\sqrt {2}}/2$ ⁠ , también son fracciones racionales, al igual que los números trascendentales como ${\textstyle \pi /2,}$ ya que todo ${\sqrt {2}},\pi ,$ y $2$ son números reales y, por lo tanto, se consideran coeficientes. Sin embargo, estos mismos números no son fracciones racionales con coeficientes enteros .

El término fracción parcial se utiliza cuando se descomponen fracciones racionales en sumas de fracciones más simples. Por ejemplo, la fracción racional ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ se puede descomponer como la suma de dos fracciones : ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}$ Esto resulta útil para el cálculo de antiderivadas de funciones racionales ( para más información,consulte la descomposición en fracciones parciales ).

Expresiones radicales

Una fracción también puede contener radicales en el numerador o en el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede ser útil racionalizarlo ( véase Forma simplificada de una expresión radical ), especialmente si se van a realizar operaciones posteriores, como sumar o comparar esa fracción con otra. También resulta más conveniente si la división se va a realizar manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomial , se puede racionalizar multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fracción por el denominador:

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}.

El proceso de racionalización de denominadores binomiales consiste en multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado del denominador, de modo que este se convierta en un número racional. Por ejemplo:

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}},

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}.

Aunque este proceso dé como resultado un numerador irracional, como en los ejemplos anteriores, aún puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir la cantidad de números irracionales con los que hay que trabajar en el denominador.

Variaciones tipográficas

En las pantallas de ordenador y la tipografía , las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, por ejemplo, ½ ( un medio ). Consulte el artículo sobre formas numéricas para obtener información sobre cómo hacerlo en Unicode .

La publicación científica distingue cuatro formas de establecer fracciones, junto con pautas sobre su uso: ^{[ 29 ]}

Fracciones especiales: fracciones que se presentan como un solo carácter con una barra inclinada, con una altura y anchura similares a las de los demás caracteres del texto. Se utilizan generalmente para fracciones simples, como ½, ⅓, ⅔, ¼ y ¾ . Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede verse afectada, especialmente con fuentes de tamaño reducido. No se utilizan en la notación matemática moderna, sino en otros contextos.
Fracciones en mayúsculas: similares a las fracciones especiales, se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, lo que las hace verticales . Un ejemplo sería ⁠ 1 / 2 ⁠ , pero representada con la misma altura que otros caracteres. Algunas fuentes incluyen todas las fracciones representadas como fracciones en mayúsculas si ocupan solo un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. ^[³⁰^]
Fracciones de chelín o sólido: 1/2, llamado así porque esta notación se usaba para la moneda británica predecimal ( £sd ), como en "2/6" para media corona , que significa dos chelines y seis peniques. Si bien la notación de dos chelines y seis peniques no representaba una fracción, la barra inclinada se usa ahora en fracciones, especialmente para fracciones en línea con prosa (en lugar de mostradas), para evitar líneas desiguales. También se usa para fracciones dentro de fracciones ( fracciones complejas ) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de piezas , ^{[ 31 ]} se escriben todas en una línea tipográfica pero ocupan tres o más espacios tipográficos.
Fracciones acumuladas: ${\frac {1}{2}}$ Esta notación utiliza dos o más líneas de texto normal y produce una variación en el espaciado entre líneas cuando se incluye dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden resultar molestas, especialmente para fracciones simples o dentro de fracciones complejas.

Historia

Las primeras fracciones eran recíprocos de números enteros : símbolos antiguos que representaban una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, y así sucesivamente. ^{[ 32 ]} Los egipcios usaban fracciones egipcias alrededor del año 1000 a . C. Hace unos 4000 años, los egipcios dividían con fracciones usando métodos ligeramente diferentes. Usaban el mínimo común múltiplo con fracciones unitarias . Sus métodos daban el mismo resultado que los métodos modernos. ^[³³^] Los egipcios también tenían una notación diferente para fracciones diádicas , utilizada para ciertos sistemas de pesos y medidas. ^[³⁴^]

Los griegos usaban fracciones unitarias y (más tarde) fracciones continuas simples . Los seguidores del filósofo griego Pitágoras ( c. 530 a. C.) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no puede expresarse como una fracción de números enteros . (Esto se atribuye comúnmente, aunque probablemente de forma errónea, a Hipaso de Metaponto , quien supuestamente fue ejecutado por revelar este hecho). En el año 150 a. C. , matemáticos jainistas de la India escribieron el Sthananga Sutra , que contiene trabajos sobre la teoría de los números, las operaciones aritméticas y las operaciones con fracciones.

Una expresión moderna de fracciones conocida como bhinna parece haberse originado en la India. Se describieron por primera vez en el manuscrito Bakhshali ( c. 400 d. C. ), ^{[ 35 ]} Brahmagupta ( c. 628 ) y Bhaskara ( c. 1150 ). ^{[ 36 ]} Sus obras forman fracciones colocando los numeradores ( sánscrito : amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. ^{[ 36 ]} El entero se escribía en una línea y la fracción en sus dos partes en la siguiente. Si la fracción estaba marcada con un pequeño círculo ⟨०⟩ o una cruz ⟨ + ⟩ , se resta del entero; si no aparece tal signo, se entiende que se suma. Por ejemplo, Bhaskara I escribe : ^{[ 37 ]}

6 1 2

1 1 _{1 0}

4 5 9

que es el equivalente de

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

y se escribiría en notación moderna como 6 1/4 , 1 1/5 y 2 − 1/9 ( es decir , 1 8/9 ) .

La barra de fracción horizontal se atestigua por primera vez en la obra de Al-Hassār ( fl. 1200 ), ^{[ 36 ]} un matemático musulmán de Fez , Marruecos , que se especializó en jurisprudencia islámica de herencia . En su análisis escribe: "por ejemplo, si se le pide que escriba tres quintos y un tercio de un quinto, escriba así, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$ ". ^{[ 38 ]} La misma notación fraccionaria —con la fracción dada antes del entero ^{[ 36 ]} — aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII. ^{[ 39 ]}

Al hablar de los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik afirma: ^{[ 40 ]}

La introducción de las fracciones decimales como práctica computacional común se remonta al panfleto flamenco De Thiende , publicado en Leiden en 1585, junto con una traducción al francés, La Disme , del matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), entonces establecido en los Países Bajos septentrionales. Es cierto que los chinos utilizaban fracciones decimales muchos siglos antes que Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī empleaba con gran facilidad tanto fracciones decimales como sexagesimales en su Clave de la aritmética ( Samarcanda , principios del siglo XV). ^{[ 41 ]}

Si bien el matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto él mismo las fracciones decimales en el siglo XV, J. Lennart Berggren señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes por el matemático bagdadí Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. ^{[ 42 ]}^{[ n 3 ]}

En la educación formal

escuelas primarias

En las escuelas primarias , las fracciones se han demostrado mediante regletas de Cuisenaire , barras de fracciones, tiras de fracciones, círculos de fracciones, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones , piezas en forma de sector circular, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel punteado , geoplanos , fichas y software informático.

Documentos para profesores

Varios estados de los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las directrices de la Iniciativa de Estándares Estatales Comunes (Common Core State Standards Initiative) para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de fracción: "Un número que se puede expresar en la forma $a$ / $b$ dónde $a$ es un número entero y $b$ es un número entero positivo. (La palabra fracción en estas normas siempre se refiere a un número no negativo). ^{[ 44 ]} El documento mismo también se refiere a fracciones negativas.

Véase también

{\displaystyle \mathbb {N} } — Inclusiones de conjuntos entre los números naturales ( $\mathbb {N}$ ), los enteros ( $\mathbb {Z}$ ), los números racionales ( $\mathbb {Q}$ ), los números reales ( $\mathbb {R}$ ), y los números complejos ( $\mathbb {C}$ )

Notas

↑ Algunos tipógrafos, como Bringhurst, distinguen erróneamente la barra inclinada ⟨ / ⟩ como la barra virgula y la barra fraccionaria ⟨ ⁄ ⟩ como la barra sólida ,^{[ 6 ]} aunque de hecho ambas son sinónimos de la barra inclinada estándar.^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}
↑ Aquí vulgar significa común o popular , no ofensivo .
↑ Si bien existe cierto desacuerdo entre los historiadores de las matemáticas respecto a la primacía de la contribución de al-Uqlidisi, no cabe duda de su importante contribución al concepto de fracciones decimales.^{[ 43 ]}

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Enlaces externos

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[9] Algunos tipógrafos, como Bringhurst, distinguen erróneamente la barra inclinada ⟨ / ⟩ como la barra virgula y la barra fraccionaria ⟨ ⁄ ⟩ como la barra sólida ,^{[ 6 ]} aunque de hecho ambas son sinónimos de la barra inclinada estándar.^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

[vulgar-10] Aquí vulgar significa común o popular , no ofensivo .

[46] Si bien existe cierto desacuerdo entre los historiadores de las matemáticas respecto a la primacía de la contribución de al-Uqlidisi, no cabe duda de su importante contribución al concepto de fracciones decimales.^{[ 43 ]}

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