Próstataféresis

La prostaféresis (del griego προσθαφαίρεσις ) fue un algoritmo utilizado a finales del siglo XVI y principios del XVII para la multiplicación y división aproximadas mediante fórmulas trigonométricas . Durante los 25 años anteriores a la invención del logaritmo en 1614, fue el único método conocido de aplicación general para aproximar productos rápidamente. Su nombre proviene del griego πρόσθεν , prosthen , « antes » , y ἀφαίρεσις , aphaeresis , « quitar, restar » . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

En la antigüedad, el término se utilizaba para referirse a una reducción que llevaba la posición aparente de un punto o planeta en movimiento a su posición media (véase la ecuación del centro ). Nicolás Copérnico menciona la "prostaféresis" varias veces en su obra de 1543, De Revolutionibus Orbium Coelestium , que significa " gran paralaje " , causada por el desplazamiento del observador debido al movimiento anual de la Tierra.

En la Europa del siglo XVI, la navegación celeste de los barcos en viajes largos dependía en gran medida de las efemérides para determinar su posición y rumbo. Estos voluminosos mapas preparados por astrónomos detallaban la posición de las estrellas y los planetas en diferentes momentos. Los modelos utilizados para calcularlos se basaban en la trigonometría esférica , que relaciona los ángulos y las longitudes de arco de triángulos esféricos (véase el diagrama de la derecha) mediante fórmulas como

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha }$

y

${\displaystyle \sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,}$

donde a , b y c son los ángulos subtendidos en el centro de la esfera por los arcos correspondientes.

Cuando una cantidad en una fórmula es desconocida pero las demás son conocidas, la cantidad desconocida se puede calcular mediante una serie de multiplicaciones, divisiones y consultas a tablas trigonométricas. Los astrónomos tenían que realizar miles de estos cálculos, y dado que el mejor método de multiplicación disponible era la multiplicación larga , la mayor parte del tiempo se dedicaba a multiplicar tediosamente los productos.

Los matemáticos, en particular los astrónomos, buscaban una manera más sencilla, y la trigonometría era uno de los campos más avanzados y familiares para ellos. La prostaféresis apareció en la década de 1580, pero no se conoce con certeza quién la creó; ^{[ 4 ]} entre sus contribuyentes se encontraban los matemáticos Ibn Yunis , Johannes Werner , Paul Wittich , Joost Bürgi , Christopher Clavius ​​y François Viète . Wittich, Ibn Yunis y Clavius ​​eran astrónomos y diversas fuentes les atribuyen el descubrimiento del método. Su defensor más conocido fue Tycho Brahe , quien lo utilizó extensamente para cálculos astronómicos como los descritos anteriormente. También lo utilizó John Napier , a quien se le atribuye la invención de los logaritmos que lo reemplazarían.

Las identidades trigonométricas utilizadas por la prostaféresis relacionan productos de funciones trigonométricas con sumas. Estas incluyen las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}$

Se cree que las dos primeras fueron derivadas de Jost Bürgi , quien las relató a [Tycho?] Brahe; las demás se derivan fácilmente de estas dos. Si ambos lados se multiplican por 2, estas fórmulas también se denominan fórmulas de Werner .

Utilizando la segunda fórmula anterior, la técnica para multiplicar dos números funciona de la siguiente manera:

1. Reducción de escala : Al desplazar el punto decimal hacia la izquierda o hacia la derecha, se escalan ambos números a valores entre${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$, para ser denominado${\displaystyle \cos \alpha }$y${\displaystyle \cos \beta }$.
2. Coseno inverso : Utilizando una tabla de cosenos inversos, encuentra dos ángulos.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$cuyos cosenos son nuestros dos valores.
3. Suma y diferencia : Encuentra la suma y la diferencia de los dos ángulos.
4. Promediar los cosenos : Encuentra los cosenos de los ángulos suma y diferencia usando una tabla de cosenos y promedialos, obteniendo (según la segunda fórmula anterior) el producto${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$.
5. Escalar : Desplazar la coma decimal en la respuesta el número combinado de posiciones que hemos desplazado la coma decimal en el primer paso para cada entrada, pero en la dirección opuesta.

Por ejemplo, para multiplicar${\displaystyle 309}$y${\displaystyle 78.8}$:

1. Reducción de escala : Desplazamos el punto decimal tres y dos lugares a la izquierda, respectivamente. Obtenemos${\displaystyle \cos \alpha =0.309}$y${\displaystyle \cos \beta =0.788}$.
2. Coseno inverso :${\displaystyle \arccos 0.309\approx 72^{\circ }}$, y${\displaystyle \arccos 0.788\approx 38^{\circ }}$.
3. Suma y diferencia :${\displaystyle 72^{\circ }+38^{\circ }=110^{\circ }}$, y${\displaystyle 72^{\circ }-38^{\circ }=34^{\circ }}$.
4. Calcula el promedio de los cosenos :${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 110^{\circ }+\cos 34^{\circ })}$Se trata de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-0.342+0.829)=0.2435}$.
5. Ampliar escala : Para cada uno de${\displaystyle 309}$y${\displaystyle 78.8}$Desplazamos el punto decimal un total de cinco lugares a la izquierda, por lo que en la respuesta lo desplazamos cinco lugares a la derecha. El resultado es${\displaystyle 24\,350}$Esto es muy parecido al producto real.${\displaystyle 24\,349.2}$(un margen de error porcentual de ≈0,003%).

Si queremos el producto de los cosenos de los dos valores iniciales, lo cual es útil en algunos de los cálculos astronómicos mencionados anteriormente, esto es sorprendentemente aún más fácil: solo son necesarios los pasos 3 y 4 anteriores.

Para dividir, aprovechamos la definición de la secante como el recíproco del coseno. Para dividir${\displaystyle 3420}$por${\displaystyle 127}$, escalamos los números a${\displaystyle 0.342}$y${\displaystyle 1.27}$. Ahora${\displaystyle 0.342}$es el coseno de${\displaystyle 70^{\circ }}$. Usando una tabla de secantes , encontramos${\displaystyle 1.27}$es la secante de${\displaystyle 38^{\circ }}$Esto significa que${\displaystyle 1/1.27\approx \cos 38^{\circ }}$y así podemos multiplicar${\displaystyle 0.342}$por${\displaystyle 1/1.27}$utilizando el procedimiento anterior. Promediar el coseno de la suma de los ángulos,${\displaystyle 70^{\circ }+38^{\circ }=108^{\circ }}$, con el coseno de su diferencia,${\displaystyle 70^{\circ }-38^{\circ }=32^{\circ }}$,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 108^{\circ }+\cos 32^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.309+0.848)=0.2695.}$

Ampliar la escala para ubicar el punto decimal da la respuesta aproximada,${\displaystyle 26.95}$.

Los algoritmos que utilizan las demás fórmulas son similares, pero cada uno emplea tablas diferentes (seno, seno inverso, coseno y coseno inverso) en ubicaciones distintas. Los dos primeros son los más sencillos, ya que cada uno solo requiere dos tablas. Sin embargo, la segunda fórmula tiene la ventaja única de que, si solo se dispone de una tabla de cosenos, puede utilizarse para estimar cosenos inversos buscando el ángulo con el valor de coseno más cercano.

Nótese la similitud del algoritmo anterior con el proceso de multiplicación mediante logaritmos, que sigue estos pasos: reducir la escala, tomar logaritmos, sumar, tomar el logaritmo inverso, aumentar la escala. No es de extrañar que los creadores de los logaritmos utilizaran la prostaféresis. De hecho, ambos están estrechamente relacionados matemáticamente. En términos modernos, la prostaféresis puede considerarse como un método basado en el logaritmo de números complejos, en particular en la fórmula de Euler.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Si todas las operaciones se realizan con alta precisión, el producto puede ser tan exacto como se desee. Si bien las sumas, las diferencias y los promedios son fáciles de calcular con alta precisión, incluso a mano, las funciones trigonométricas, y especialmente las inversas, no lo son. Por esta razón, la exactitud del método depende en gran medida de la precisión y el detalle de las tablas trigonométricas utilizadas.

Por ejemplo, una tabla de senos con una entrada para cada grado puede tener un margen de error de hasta 0,0087 si simplemente redondeamos un ángulo al grado más cercano ; cada vez que duplicamos el tamaño de la tabla (por ejemplo, al incluir entradas para cada medio grado en lugar de cada grado), reducimos este error a la mitad. Las tablas para la prostaféresis se construían minuciosamente con valores para cada segundo, o 3600avo de grado.

Las funciones seno y coseno inversos son particularmente problemáticas, ya que se vuelven muy pronunciadas cerca de -1 y 1. Una solución es incluir más valores en la tabla en esta zona. Otra es escalar los valores de entrada a números entre -0,9 y 0,9. Por ejemplo, 950 se convertiría en 0,095 en lugar de 0,950.

Otro enfoque eficaz para mejorar la precisión es la interpolación lineal , que elige un valor entre dos valores adyacentes de la tabla. Por ejemplo, si sabemos que el seno de 45° es aproximadamente 0,707 y el seno de 46° es aproximadamente 0,719, podemos estimar el seno de 45,7° como 0,707 × (1 − 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. El seno real es 0,7157. Una tabla de cosenos con solo 180 entradas combinada con interpolación lineal es tan precisa como una tabla con aproximadamente45 000 entradas sin él. Incluso una estimación rápida del valor interpolado suele ser mucho más precisa que el valor más cercano de la tabla. Consulte la tabla de búsqueda para obtener más detalles.

• Regla de cálculo

• Fórmulas de prostatoféresis
• Daniel E. Otero Henry Briggs Archivado el 22/05/2005 en Wayback Machine . Introducción: la necesidad de velocidad en el cálculo.
• Mathworld: Fórmulas de prostaféresis
• Adam Mosley. Tycho Brahe y las técnicas matemáticas . Universidad de Cambridge.
• Sociedad de Computación del IEEE. Historia de la informática: John Napier y la invención de los logaritmos .
• Palabras matemáticas: Próstata
• Beatrice Lumpkin. Contribuciones africanas y afroamericanas a las matemáticas. Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine . Analiza la contribución de Ibn Yunis a la prostaféresis.
• Prostaféresis y fenómeno de pulsación en la teoría de las vibraciones, por Nicholas J. Rose