función pseudoanalítica

En matemáticas, las funciones pseudoanalíticas son funciones introducidas por Lipman Bers ( 1950 , 1951 , 1953 , 1956 ) que generalizan las funciones analíticas y satisfacen una forma debilitada de las ecuaciones de Cauchy-Riemann . 

Dejar${\displaystyle z=x+iy}$y dejar${\displaystyle \sigma (x,y)=\sigma (z)}$sea ​​una función de valor real definida en un dominio acotado${\displaystyle D}$. Si${\displaystyle \sigma >0}$y${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{y}}$son Hölder continuos , entonces${\displaystyle \sigma }$es admisible en${\displaystyle D}$Además, dada una superficie de Riemann${\displaystyle F}$, si${\displaystyle \sigma }$es admisible para algún vecindario en cada punto de${\displaystyle F}$,${\displaystyle \sigma }$es admisible en${\displaystyle F}$.

La función de valor complejo${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$es pseudoanalítico con respecto a un admisible${\displaystyle \sigma }$en ese punto${\displaystyle z_{0}}$si todas las derivadas parciales de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$Existen y cumplen las siguientes condiciones:

${\displaystyle u_{x}=\sigma (x,y)v_{y},\quad u_{y}=-\sigma (x,y)v_{x}}$

Si${\displaystyle f}$Si es pseudoanalítica en cada punto de algún dominio, entonces es pseudoanalítica en ese dominio. ^{[ 1 ]}

• Si${\displaystyle f(z)}$no es la constante${\displaystyle 0}$, entonces los ceros de${\displaystyle f}$están todos aislados.
• Por lo tanto, cualquier continuación analítica de${\displaystyle f}$es único. ^{[ 2 ]}

• Las constantes complejas son pseudoanalíticas.
• Cualquier combinación lineal con coeficientes reales de funciones pseudoanalíticas es pseudoanalítica. ^{[ 1 ]}

• Mapeo cuasiconforme
• ecuaciones diferenciales parciales elípticas
• ecuaciones de Cauchy-Riemann

• Kravchenko, Vladislav V. (2009). Teoría de funciones pseudoanalíticas aplicadas . Birkhauser. ISBN 978-3-0346-0004-0.
• Bers, Lipman (1951), "Ecuaciones diferenciales parciales y funciones analíticas generalizadas. Segunda nota" (PDF) , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 37 (1): 42–47 , Bibcode : 1951PNAS...37...42B , doi : 10.1073/pnas.37.1.42 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88213 , MR 0044006 , PMC 1063297 , PMID 16588987     
• Bers, Lipman (1953), Teoría de las funciones pseudoanalíticas , Instituto de Matemáticas y Mecánica, Universidad de Nueva York, Nueva York, MR 0057347