Pseudocírculo

El pseudocírculo es el espacio topológico finito X que consta de cuatro puntos distintos { a , b , c , d  } con la siguiente topología no Hausdorff : $${\displaystyle \{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \}.}$$

Esta topología corresponde al orden parcial donde los conjuntos abiertos son conjuntos cerrados hacia abajo. X es altamente patológico desde el punto de vista habitual de la topología general ya que no satisface ningún axioma de separación además de T ₀ . Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica X tiene la notable propiedad de que es indistinguible del círculo S ¹ . ${\estilo de visualización a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d}$

Más precisamente, la función continua de S ¹ a X (donde pensamos en S ¹ como el círculo unitario en ) dada por es una equivalencia de homotopía débil , es decir induce un isomorfismo en todos los grupos de homotopía . Se deduce ^[1] que también induce un isomorfismo en la homología y cohomología singulares y, más generalmente, un isomorfismo en todas las teorías de homología y cohomología ordinarias o extraordinarias (por ejemplo, la teoría K ). ${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a,&x<0\\b,&x>0\\c,&(x,y)=(0,1)\\d,&(x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

Esto se puede demostrar utilizando la siguiente observación. Al igual que S ¹ , X es la unión de dos conjuntos abiertos contráctiles { a , b , c } y { a , b , d  } cuya intersección { a , b } es también la unión de dos conjuntos abiertos contráctiles disjuntos { a } y { b }. Así que, al igual que S ¹ , el resultado se sigue del teorema de Seifert-van Kampen del grupoide , como en el libro Topología y grupoides . ^[2]

De manera más general, McCord ha demostrado que para cualquier complejo simplicial finito K , existe un espacio topológico finito X _K que tiene el mismo tipo de homotopía débil que la realización geométrica | K | de K . Más precisamente, existe un funtor , que toma K a X _K , de la categoría de complejos simpliciales finitos y mapas simpliciales y una equivalencia de homotopía débil natural de | K | a X _K . ^[3]

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos