Pseudocomplemento

En matemáticas , particularmente en la teoría del orden , un pseudocomplemento es una generalización de la noción de complemento . En un retículo L con elemento inferior 0, se dice que un elemento x ∈ L tiene un pseudocomplemento si existe un elemento máximo.${\displaystyle x^{*}\in L}$con la propiedad que${\displaystyle x\wedge x^{*}=0}$. Más formalmente,${\displaystyle x^{*}=\max\{y\in L\mid x\wedge y=0\}}$. El retículo L se denomina retículo pseudocomplementado si cada elemento de L es pseudocomplementado. Todo retículo pseudocomplementado es necesariamente acotado , es decir, también tiene un 1. Dado que el pseudocomplemento es único por definición (si existe), un retículo pseudocomplementado puede dotarse de una operación unaria * que asigna a cada elemento su pseudocomplemento; esta estructura a veces se denomina p -álgebra . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sin embargo, este último término puede tener otros significados en otras áreas de las matemáticas.

En un álgebra p L , para todo${\displaystyle x,y\in L:}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

• El mapa${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$es antitono . En particular,${\displaystyle 0^{*}=1}$y${\displaystyle 1^{*}=0}$.
• El mapa${\displaystyle x\mapsto x^{**}}$es un cierre .
• ${\displaystyle x^{*}=x^{***}}$.
• ${\displaystyle (x\vee y)^{*}=x^{*}\wedge y^{*}}$.
• ${\displaystyle (x\wedge y)^{**}=x^{**}\wedge y^{**}}$.
• ${\displaystyle x\wedge (x\wedge y)^{*}=x\wedge y^{*}}$.

El conjunto${\displaystyle S(L){\stackrel {\mathrm {d} ef}{=}}\{x^{*}\mid x\in L\}}$se llama el esqueleto de L . S ( L ) es un${\displaystyle \wedge }$- subsemirretículo de L y junto con${\displaystyle x\cup y=(x\vee y)^{**}=(x^{*}\wedge y^{*})^{*}}$forma un álgebra booleana (el complemento en esta álgebra es${\displaystyle ^{*}}$). ^{[ 1 ] [ 2 ]} En general, S ( L ) no es un subretículo de L . ^{[ 2 ]} En un álgebra p distributiva , S ( L ) es el conjunto de elementos complementados de L . ^{[ 1 ]}

Cada elemento x con la propiedad${\displaystyle x^{*}=0}$(o equivalentemente,${\displaystyle x^{**}=1}$) se llama denso . Cada elemento de la forma${\displaystyle x\vee x^{*}}$es denso. D ( L ), el conjunto de todos los elementos densos en L es un filtro de L . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Un álgebra p distributiva es booleana si y solo si${\displaystyle D(L)=\{1\}}$. ^{[ 1 ]}

Las retículas pseudocomplementadas forman una variedad ; de hecho, también lo hacen las semirretículas pseudocomplementadas. ^{[ 3 ]}

• Toda red distributiva finita es pseudocomplementada. ^{[ 1 ]}
• Cada álgebra de Stone es pseudocomplementada. De hecho, un álgebra de Stone puede definirse como un retículo distributivo pseudocomplementado L en el que cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes se cumple para todos${\displaystyle x,y\in L:}$^{[ 1 ]}
  • S ( L ) es una subred de L ;
  • ${\displaystyle (x\wedge y)^{*}=x^{*}\vee y^{*}}$;
  • ${\displaystyle (x\vee y)^{**}=x^{**}\vee y^{**}}$;
  • ${\displaystyle x^{*}\vee x^{**}=1}$.
• Cada álgebra de Heyting es pseudocomplementada. ^{[ 1 ]}
• Si X es un espacio topológico , la topología (de conjuntos abiertos) en X es un retículo pseudocomplementado (y distributivo) donde la intersección y la unión son la unión y la intersección usuales de conjuntos abiertos. El pseudocomplemento de un conjunto abierto A es el interior del complemento de conjunto de A. Además, los elementos densos de este retículo son precisamente los subconjuntos abiertos densos en el sentido topológico. ^{[ 2 ]}

Un pseudocomplemento relativo de a con respecto a b es un elemento maximal c tal que${\displaystyle a\wedge c\leq b}$Esta operación binaria se denota${\displaystyle a\to b}$. Una red con un pseudocomplemento relativo para cada par de elementos se llama red implicativa o red brouweriana . En general, una red implicativa puede no tener un elemento mínimo. Si existe tal elemento mínimo, entonces cada pseudocomplemento${\displaystyle a^{*}}$podría definirse utilizando el pseudocomplemento relativo como${\displaystyle a\to 0}$. ^{[ 4 ]}

• Red vectorial topológica