Pseudovariedad

En matemáticas , una pseudovariedad es un tipo especial de espacio topológico . Se parece a una variedad en la mayoría de sus puntos, pero puede contener singularidades . Por ejemplo, el cono de soluciones de${\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}}$forma una pseudovariedad.

Una pseudovariedad puede considerarse una realización combinatoria de la idea general de una variedad con singularidades. Los conceptos de orientabilidad , orientación y grado de una aplicación tienen sentido para las pseudovariedades y, además, dentro del enfoque combinatorio, las pseudovariedades constituyen el dominio natural de definición de estos conceptos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un espacio topológico X dotado de una triangulación K es una pseudovariedad n- dimensional si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ 3 ]}

1. ( puro ) X = | K | es la unión de todos los n - símplices .
2. Todo ( n –1)-símplex es una cara de exactamente uno o dos n -símplices para n > 1 .
3. Para cada par de n -símplices σ y σ' en K , existe una secuencia de n- símplices σ = σ ₀ , σ ₁ , ..., σ _k = σ' tal que la intersección σ _i ∩ σ _{i +1} es un ( n −1)-símplice para todo i = 0, ..., k −1.

Descomposición

Los n-complejos fuertemente conectados siempre se pueden ensamblar a partir de n- símplexes pegando solo dos de ellos en ( n -1)-símplexes . Sin embargo, en general, la construcción mediante pegado puede dar lugar a la no pseudovariedad (véase la Figura 2).

Sin embargo, siempre es posible descomponer una superficie no pseudovariedad en partes manifold que cortan únicamente en aristas y vértices singulares (véase la figura 2 en azul). Para algunas superficies, son posibles varias opciones no equivalentes (véase la figura 3).

Por otro lado, en dimensiones superiores, para n>2, la situación se vuelve bastante complicada.

• En general, para n≥3, las n-pseudovariedades no se pueden descomponer en partes de variedad solo cortando en singularidades (ver Figura 4).

• Para n≥3, existen n-complejos que no pueden descomponerse, ni siquiera en partes de pseudovariedad, solo cortando en singularidades. ^{[ 5 ]}

• Una pseudovariedad se denomina normal si el enlace de cada símplex con codimensión ≥ 2 es una pseudovariedad.

• Un toro comprimido (véase la Figura 1) es un ejemplo de una pseudovariedad bidimensional compacta y orientable. ^{[ 3 ]}

(Tenga en cuenta que un toro pinzado no es una pseudovariedad normal, ya que el enlace de un vértice no está conectado).

• Las variedades algebraicas complejas (incluso con singularidades) son ejemplos de pseudovariedades. ^{[ 4 ]}

(Tenga en cuenta que las variedades algebraicas reales no siempre son pseudovariedades, ya que sus singularidades pueden ser de codimensión 1; por ejemplo, xy=0).

• Los espacios de Thom de haces vectoriales sobre variedades compactas triangulables son ejemplos de pseudovariedades. ^{[ 4 ]}
• Las variedades de homología triangulables, compactas y conexas sobre Z son ejemplos de pseudovariedades. ^{[ 4 ]}
• Los complejos obtenidos al pegar dos 4-símplices en un tetraedro común son un superconjunto propio de 4-pseudovariedades utilizadas en la formulación de espuma de espín de la gravedad cuántica de bucles . ^{[ 6 ]}
• Los n-complejos combinatorios definidos al pegar dos n- símplexes en una cara (n-1) no siempre son n-pseudovariedades. El pegado puede inducir la no-pseudovariedad. ^{[ 5 ]}

• Espacio estratificado