Espacio estratificado

En matemáticas, especialmente en topología, un espacio estratificado es un espacio topológico que admite o está equipado con una estratificación , una descomposición en subespacios, que son agradables en algún sentido (por ejemplo, suaves o planos ^{[ 1 ]} ).

Un ejemplo básico es un subconjunto de una variedad diferenciable que admite una estratificación de Whitney . Pero también existe un espacio estratificado abstracto, como un espacio estratificado de Thom-Mather .

En un espacio estratificado, un haz construible puede definirse como un haz que es localmente constante en cada estrato.

Entre los diversos ideales, la obra Esquisse d'un programme de Grothendieck considera (o propone) un espacio estratificado con lo que él llama la topología dócil .

Mather da la siguiente definición de un espacio estratificado. Una preestratificación en un espacio topológico X es una partición de X en subconjuntos (llamados estratos) tales que (a) cada estrato es localmente cerrado , (b) es localmente finito y (c) (axioma de frontera) si dos estratos A , B son tales que la clausura de A interseca a B , entonces B está en la clausura de A. Una estratificación en X es una regla que asigna a un punto x en X un germen de conjunto en x de un subconjunto cerrado de X que satisface el siguiente axioma: para cada punto x en X , existe un entorno U de x y una preestratificación de U tal que para cada y en U , es el germen de conjunto en y del estrato de la preestratificación en U que contiene a y . ${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$

Un espacio estratificado es, por lo tanto, un espacio topológico dotado de una estratificación.

En las pseudovariedades estratificadas de MacPherson , los estratos son las diferencias X _i+i -X _i entre conjuntos en la filtración. También hay una condición cónica local; debe haber un atlas casi liso donde localmente cada pequeño conjunto abierto se parece al producto de dos factores R ⁿ x c(L) ; un factor euclidiano y el cono topológico de un espacio L. Clásicamente, aquí es donde las definiciones se vuelven oscuras, ya que se pide que L sea una pseudovariedad estratificada. El problema lógico se evita mediante un truco inductivo que hace diferentes los objetos L y X.

En el contexto original de MacPherson, los cambios de cartas o cociclos no tienen condiciones. Pflaum exige que sean suaves, mientras que en el contexto de Thom-Mather deben preservar la descomposición anterior, ser suaves en el factor euclidiano y conservar el radio cónico.

• Equisingularidad
• gavilla perversa
• Teoría de Morse estratificada
• Estratificación de Harder-Narasimhan
• Espacio difeológico

• Apéndice 1 de R. MacPherson, Homología de intersección y haces perversos, notas de 1990
• J. Mather, Estratificaciones y mapeos, Sistemas dinámicos, Actas de un simposio celebrado en la Universidad de Bahía, Salvador, Brasil, del 26 de julio al 14 de agosto de 1971, 1973, páginas 195-232.
• Markus J. Pflaum, Estudio analítico y geométrico de espacios estratificados: Contribuciones a los aspectos analíticos y geométricos (Lecture Notes in Mathematics, 1768); Editorial, Springer;

• https://ncatlab.org/nlab/show/stratified+space
• https://mathoverflow.net/questions/258562/correct-definition-of-stratified-spaces-and-reference-for-constructible-sheave
• Capítulo 2 de Greg Friedman, Homología de intersección singular
• https://ncatlab.org/nlab/show/poset-stratified+space