Serie Puiseux

Una serie de Puiseux distinta de cero${\displaystyle f}$puede escribirse de forma única como

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

con${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$La valoración

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

de${\displaystyle f}$es el exponente más pequeño para el orden natural de los números racionales, y el coeficiente correspondiente${\textstyle c_{k_{0}}}$se denomina coeficiente inicial o coeficiente de valoración de ${\displaystyle f}$. La valoración de la serie cero es${\displaystyle +\infty .}$

La función v es una valuación y convierte la serie de Puiseux en un campo valuado , con el grupo aditivo.${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales como su grupo de valoración .

En cuanto a cada campo valorado, la valoración define una distancia ultramétrica mediante la fórmula${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(fg)).}$Para esta distancia, el campo de series de Puiseux es un espacio métrico . La notación

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

expresa que un Puiseux es el límite de sus sumas parciales. Sin embargo, el cuerpo de las series de Puiseux no es completo ; véase más abajo §  Cuerpo de Levi–Civita .

Las series de Puiseux proporcionadas por el teorema de Newton-Puiseux son convergentes en el sentido de que existe un entorno de cero en el que son convergentes (0 excluido si la valuación es negativa). Más precisamente, sea

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

Sea T una serie de Puiseux con coeficientes complejos . Existe un número real r , llamado radio de convergencia, tal que la serie converge si se sustituye T por un número complejo t distinto de cero, cuyo valor absoluto es menor que r , y r es el mayor número que posee esta propiedad. Una serie de Puiseux es convergente si tiene un radio de convergencia distinto de cero.

Debido a que un número complejo distinto de cero tiene n raíces enésimas , se debe tener cuidado con la sustitución: se debe elegir una raíz enésima específica de t , digamos x . Entonces la sustitución consiste en reemplazar${\displaystyle T^{k/n}}$por${\displaystyle x^{k}}$para cada k .

La existencia del radio de convergencia resulta de la existencia similar para una serie de potencias , aplicada a${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$considerada como una serie de potencias en${\displaystyle T^{1/n}.}$

El teorema de Newton-Puiseux establece que la serie de Puiseux proporcionada tiene un radio de convergencia positivo y, por lo tanto, define una función analítica ( multivaluada ) en algún entorno de cero (posiblemente excluyendo el cero mismo).

Si el campo base${\displaystyle K}$se ordena , luego el campo de la serie Puiseux sobre${\displaystyle K}$También se ordena naturalmente (“ lexicográficamente ”) de la siguiente manera: una serie de Puiseux distinta de cero${\displaystyle f}$con 0 se declara positivo siempre que su coeficiente de valoración sea así. Esencialmente, esto significa que cualquier potencia racional positiva de la indeterminada${\displaystyle T}$se convierte en positivo, pero es menor que cualquier elemento positivo en el campo base.${\displaystyle K}$.

Si el campo base${\displaystyle K}$está dotado de una valoración${\displaystyle w}$, entonces podemos construir una valoración diferente en el campo de las series de Puiseux sobre${\displaystyle K}$al permitir la valoración${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$ser${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$dónde${\displaystyle v=k/n}$es la valoración definida previamente (${\displaystyle c_{k}}$es el primer coeficiente distinto de cero) y${\displaystyle \omega }$es infinitamente grande (en otras palabras, el grupo de valores de${\displaystyle {\hat {w}}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$ordenado lexicográficamente, donde${\displaystyle \Gamma }$es el grupo de valores de${\displaystyle w}$). En esencia, esto significa que la valoración definida previamente${\displaystyle v}$se corrige en una cantidad infinitesimal para tener en cuenta la valoración${\displaystyle w}$dado en el campo base.

Dejar

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

sea ​​un polinomio cuyos coeficientes no nulos${\displaystyle a_{i}(x)}$son polinomios, series de potencias o incluso series de Puiseux en x . En esta sección, la valoración${\displaystyle v(a_{i})}$de${\displaystyle a_{i}}$es el exponente más bajo de x en${\displaystyle a_{i}.}$(La mayor parte de lo que sigue se aplica de forma más general a los coeficientes de cualquier anillo valuado ).

Para calcular la serie de Puiseux que son raíces de P (es decir, soluciones de la ecuación funcional)${\displaystyle P(y)=0}$), lo primero que hay que hacer es calcular la valuación de las raíces. Este es el papel del polígono de Newton.

Consideremos, en un plano cartesiano , los puntos de coordenadas${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$El polígono de Newton de P es la envoltura convexa inferior de estos puntos. Es decir, los bordes del polígono de Newton son los segmentos de recta que unen dos de estos puntos, de manera que ninguno de estos puntos se encuentra por debajo de la recta que sostiene el segmento (por debajo, como es habitual, en relación con el valor de la segunda coordenada).

Dado un Puiseux Series${\displaystyle y_{0}}$de valoración${\displaystyle v_{0}}$, la valoración de${\displaystyle P(y_{0})}$es al menos el mínimo de los números${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$y es igual a este mínimo si este mínimo se alcanza para un solo i . Entonces, para${\displaystyle y_{0}}$Siendo una raíz de P , el mínimo debe alcanzarse al menos dos veces. Es decir, debe haber dos valores.${\displaystyle i_{1}}$y${\displaystyle i_{2}}$de i tal que${\ Displaystyle i_ {1} v_ {0} + v (a_ {i_ {1}}) = i_ {2} v_ {0} + v (a_ {i_ {2}}}),}$y${\ Displaystyle iv_ {0} + v (a_ {i}) \ geq i_ {1} v_ {0} + v (a_ {i_ {1}})}$por cada i .

Eso es,${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$y${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$debe pertenecer a una arista del polígono de Newton, y $${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$ debe ser el opuesto de la pendiente de esta arista. Este es un número racional tan pronto como todas las valoraciones${\displaystyle v(a_{i})}$son números racionales, y esta es la razón por la que se introducen exponentes racionales en las series de Puiseux.

En resumen, la valoración de una raíz de P debe ser la opuesta a la pendiente de una arista del polinomio de Newton.

El coeficiente inicial de una solución en serie de Puiseux de${\displaystyle P(y)=0}$Se puede deducir fácilmente.${\displaystyle c_{i}}$sea ​​el coeficiente inicial de${\displaystyle a_{i}(x),}$es decir, el coeficiente de${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$en${\displaystyle a_{i}(x).}$Dejar${\displaystyle -v_{0}}$sea ​​una pendiente del polígono de Newton, y${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$sea ​​el término inicial de una solución de la serie de Puiseux correspondiente de${\displaystyle P(y)=0.}$Si no se produjera ninguna cancelación, entonces el coeficiente inicial de${\displaystyle P(y)}$sería${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ donde I es el conjunto de los índices i tales que${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$pertenece al borde de la pendiente${\displaystyle v_{0}}$del polígono de Newton. Entonces, para tener una raíz, el coeficiente inicial${\displaystyle \gamma }$debe ser una raíz no nula del polinomio $${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$ (Esta notación se utilizará en la siguiente sección).

En resumen, el polinomio de Newton permite un cálculo sencillo de todos los posibles términos iniciales de las series de Puiseux que son soluciones de${\displaystyle P(y)=0.}$

La demostración del teorema de Newton-Puiseux consistirá en partir de estos términos iniciales para calcular recursivamente los siguientes términos de las soluciones de la serie de Puiseux.

Supongamos que el primer término${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$de una solución de la serie Puiseux de${\displaystyle P(y)=0}$se ha calculado mediante el método de la sección anterior. Resta calcular${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$Para ello, establecimos${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$y escribe la expansión de Taylor de P en${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

Este es un polinomio en z cuyos coeficientes son series de Puiseux en x . Se le puede aplicar el método del polígono de Newton e iterar para obtener los términos de la serie de Puiseux, uno tras otro. Pero se requiere cierto cuidado para asegurar que${\displaystyle v(z)>v_{0},}$y demostrando que se obtiene una serie de Puiseux, es decir, que los denominadores de los exponentes de x permanecen acotados.

La derivación con respecto a y no cambia la valoración en x de los coeficientes; es decir,

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

y la igualdad se produce si y solo si ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$dónde${\displaystyle \chi (x)}$es el polinomio de la sección anterior. Si m es la multiplicidad de${\displaystyle \gamma }$como raíz de${\displaystyle \chi ,}$Resulta que la desigualdad es una igualdad para${\displaystyle j=m.}$Los términos tales que${\displaystyle j>m}$puede olvidarse en lo que a uno le concierne en materia de valoraciones, ya que${\displaystyle v(z)>v_{0}}$y${\displaystyle j>m}$implicar

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

Esto significa que, para iterar el método del polígono de Newton, se puede y se debe considerar solo la parte del polígono de Newton cuyas primeras coordenadas pertenecen al intervalo${\displaystyle [0,m].}$Hay dos casos que deben considerarse por separado y serán objeto de las siguientes subsecciones, el llamado caso ramificado , donde m > 1 , y el caso regular donde m = 1 .

La forma de aplicar recursivamente el método del polígono de Newton se ha descrito previamente. Como cada aplicación del método puede aumentar, en el caso ramificado, los denominadores de los exponentes (valoraciones), queda por demostrar que se alcanza el caso regular después de un número finito de iteraciones (de lo contrario, los denominadores de los exponentes de la serie resultante no estarían acotados, y esta serie no sería una serie de Puiseux). Por cierto, también se demostrará que se obtienen exactamente tantas soluciones de la serie de Puiseux como se espera, es decir, el grado de${\displaystyle P(y)}$en y .

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que${\displaystyle P(0)\neq 0,}$eso es,${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$De hecho, cada factor y de${\displaystyle P(y)}$proporciona una solución que es la serie de Puiseux cero, y dichos factores pueden ser factorizados.

Como se supone que la característica es cero, también se puede suponer que${\displaystyle P(y)}$es un polinomio libre de cuadrados , es decir, que las soluciones de${\displaystyle P(y)=0}$son todos diferentes. De hecho, la factorización sin cuadrados utiliza solo las operaciones del campo de coeficientes para factorizar.${\displaystyle P(y)}$en factores libres de cuadrados que se pueden resolver por separado. (Se necesita la hipótesis de característica cero, ya que, en característica p , la descomposición libre de cuadrados puede proporcionar factores irreducibles, como${\displaystyle y^{p}-x,}$que tienen múltiples raíces sobre una extensión algebraica.)

En este contexto, se define la longitud de una arista de un polígono de Newton como la diferencia de las abscisas de sus extremos. La longitud de un polígono es la suma de las longitudes de sus aristas. Con la hipótesis${\displaystyle P(0)\neq 0,}$La longitud del polígono de Newton de P es su grado en y , es decir, el número de sus raíces. La longitud de una arista del polígono de Newton es el número de raíces de una valuación dada. Este número es igual al grado del polinomio definido previamente.${\displaystyle \chi (x).}$

El caso ramificado corresponde, por lo tanto, a dos (o más) soluciones que tienen el mismo término inicial. Como estas soluciones deben ser distintas (hipótesis libre de cuadrados), deben distinguirse después de un número finito de iteraciones. Es decir, se obtiene finalmente un polinomio.${\displaystyle \chi (x)}$que no es cuadrado, y el cálculo puede continuar como en el caso regular para cada raíz de${\displaystyle \chi (x).}$

Como la iteración del caso regular no aumenta los denominadores de los exponentes, esto muestra que el método proporciona todas las soluciones como series de Puiseux, es decir, que el campo de series de Puiseux sobre los números complejos es un campo algebraicamente cerrado que contiene el anillo de polinomios univariados con coeficientes complejos.

El teorema de Newton-Puiseux no es válido sobre cuerpos de característica positiva. Por ejemplo, la ecuación${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$tiene soluciones

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

y

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(uno comprueba fácilmente en los primeros términos que la suma y el producto de estas dos series son 1 y${\displaystyle -T^{-1}}$respectivamente; esto es válido siempre que el campo base K tenga una característica diferente de  2).

Como podrían sugerir las potencias de 2 en los denominadores de los coeficientes del ejemplo anterior, el enunciado del teorema no es cierto en característica positiva. El ejemplo de la ecuación de Artin-Schreier${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$muestra esto: razonar con valoraciones muestra que X debería tener una valoración${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$y si lo reescribimos como${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$entonces

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

y uno muestra de manera similar que${\displaystyle X_{1}}$debería tener valoración${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$y procediendo de esa manera se obtiene la serie

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots$ ;}

Dado que esta serie no tiene sentido como una serie de Puiseux —porque los exponentes tienen denominadores no acotados— la ecuación original no tiene solución. Sin embargo, tales ecuaciones de Eisenstein son esencialmente las únicas que no tienen solución, porque, si${\displaystyle K}$es algebraicamente cerrado de característica${\displaystyle p>0}$, luego el campo de la serie Puiseux sobre${\displaystyle K}$es el cierre perfecto de la extensión máxima dócilmente ramificada de${\displaystyle K(\!(T)\!)}$. ^{[ 4 ]}

De forma similar al caso del cierre algebraico, existe un teorema análogo para el cierre real : si${\displaystyle K}$es un campo realmente cerrado, entonces el campo de la serie Puiseux sobre${\displaystyle K}$es el cierre real del campo de la serie formal de Laurent sobre${\displaystyle K}$. ^{[ 5 ]} (Esto implica el teorema anterior, ya que cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero es la única extensión cuadrática de algún cuerpo real cerrado.)

También existe un resultado análogo para el cierre p-ádico : si${\displaystyle K}$es un${\displaystyle p}$-campo cerrado ádicamente con respecto a una valoración${\displaystyle w}$, luego el campo de la serie Puiseux sobre${\displaystyle K}$también lo es${\displaystyle p}$-cerrado ádicamente. ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una curva algebraica ^{[ 7 ]} dada por una ecuación afín${\displaystyle F(x,y)=0}$sobre un campo algebraicamente cerrado${\displaystyle K}$de característica cero, y consideremos un punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$que podemos suponer que es${\displaystyle (0,0)}$También asumimos que${\displaystyle X}$no es el eje de coordenadas${\displaystyle x=0}$. Luego una expansión de Puiseux de (el${\displaystyle y}$coordenada de)${\displaystyle X}$en${\displaystyle p}$es una serie Puiseux${\displaystyle f}$tener una valoración positiva tal que${\displaystyle F(x,f(x))=0}$.

Más precisamente, definamos las ramas de${\displaystyle X}$en${\displaystyle p}$ser los puntos${\displaystyle q}$de la normalización${\displaystyle Y}$de${\displaystyle X}$qué mapa a${\displaystyle p}$. Para cada uno de esos${\displaystyle q}$, hay una coordenada local${\displaystyle t}$de${\displaystyle Y}$en${\displaystyle q}$(que es un punto suave) de tal manera que las coordenadas${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$puede expresarse como una serie de potencias formal de${\displaystyle t}$, decir${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$(desde${\displaystyle K}$es algebraicamente cerrado, podemos suponer que el coeficiente de valoración es  1) y${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$: entonces hay una serie Puiseux única de la forma${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$(una serie de potencias en${\displaystyle T^{1/n}}$), de tal manera que${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$(esta última expresión es significativa ya que${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$es una serie de potencias bien definida en${\displaystyle t}$). Esta es una expansión de Puiseux de${\displaystyle X}$en${\displaystyle p}$que se dice que está asociada a la rama dada por${\displaystyle q}$(o simplemente, la expansión de Puiseux de esa rama de${\displaystyle X}$), y cada expansión de Puiseux de${\displaystyle X}$en${\displaystyle p}$se da de esta manera para una rama única de${\displaystyle X}$en${\displaystyle p}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Esta existencia de una parametrización formal de las ramas de una curva o función algebraica también se conoce como el teorema de Puiseux : podría decirse que tiene el mismo contenido matemático que el hecho de que el cuerpo de las series de Puiseux sea algebraicamente cerrado y es una descripción históricamente más precisa de la afirmación del autor original. ^{[ 10 ]}

Por ejemplo, la curva${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$(cuya normalización es una línea con coordenadas${\displaystyle t}$y mapa${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$) tiene dos ramas en el punto doble (0,0), correspondientes a los puntos${\displaystyle t=+1}$y${\displaystyle t=-1}$sobre la normalización, cuyas expansiones de Puiseux son${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$y${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$respectivamente (aquí, ambas son series de potencias porque la${\displaystyle x}$La coordenada es étale en los puntos correspondientes en la normalización). En el punto suave${\displaystyle (-1,0)}$(que es${\displaystyle t=0}$en la normalización), tiene una única rama, dada por la expansión de Puiseux.${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$(el${\displaystyle x}$La coordenada se ramifica en este punto, por lo que no se trata de una serie de potencias.

La curva${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$(cuya normalización es de nuevo una línea con coordenadas${\displaystyle t}$y mapa${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$), por otro lado, tiene una sola rama en el punto de cúspide${\displaystyle (0,0)}$, cuya expansión Puiseux es${\displaystyle y=x^{3/2}}$.

Cuando${\displaystyle K=\mathbb {C} }$es el campo de los números complejos, la expansión de Puiseux de una curva algebraica (como se definió anteriormente) es convergente en el sentido de que para una elección dada de${\displaystyle n}$raíz -ésima de${\displaystyle x}$convergen para valores suficientemente pequeños${\displaystyle |x|}$, por lo tanto, defina una parametrización analítica de cada rama de${\displaystyle X}$en el vecindario de${\displaystyle p}$(más precisamente, la parametrización es por la${\displaystyle n}$raíz -ésima de${\displaystyle x}$).

El campo de las series de Puiseux no es completo como espacio métrico . Su completitud, llamada campo de Levi-Civita , puede describirse de la siguiente manera: es el campo de expresiones formales de la forma${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$donde el soporte de los coeficientes (es decir, el conjunto de e tales que${\displaystyle c_{e}\neq 0}$) es el rango de una secuencia creciente de números racionales que es finito o tiende a${\displaystyle +\infty }$En otras palabras, dichas series admiten exponentes de denominadores no acotados, siempre que haya un número finito de términos de exponente menor que${\displaystyle A}$para cualquier límite dado${\displaystyle A}$. Por ejemplo,${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$no es una serie de Puiseux, pero es el límite de una sucesión de Cauchy de series de Puiseux; en particular, es el límite de${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$como${\displaystyle N\to +\infty }$. Sin embargo, incluso esta completitud todavía no es "máximamente completa" en el sentido de que admite extensiones no triviales que son campos valuados que tienen el mismo grupo de valores y campo residual, ^{[ 11 ] [ 12 ]} de ahí la oportunidad de completarla aún más.

Las series de Hahn son una generalización (más amplia) de las series de Puiseux, introducidas por Hans Hahn durante la demostración de su teorema de inmersión en 1907 y posteriormente estudiadas por él en su aproximación al decimoséptimo problema de Hilbert . En una serie de Hahn, en lugar de requerir que los exponentes tengan un denominador acotado, se requiere que formen un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (generalmente${\displaystyle \mathbb {Q} }$o${\displaystyle \mathbb {R} }$Estas series fueron posteriormente generalizadas por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un contexto no conmutativo (por lo que a veces se las conoce como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ). Utilizando las series de Hahn, es posible describir la clausura algebraica del cuerpo de series de potencias en característica positiva, que es algo análoga al cuerpo de series de Puiseux. ^{[ 13 ]}