Retroceso (geometría diferencial)

Dejar${\displaystyle \phi :M\to N}$ser un mapa suave entre variedades suaves${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$. Luego hay un mapeo lineal asociado del espacio de 1-formas en${\displaystyle N}$(el espacio lineal de secciones del fibrado cotangente ) al espacio de 1-formas en${\displaystyle M}$Este mapa lineal se conoce como el pullback (por${\displaystyle \phi }$), y frecuentemente se denota por${\displaystyle \phi ^{*}}$. De manera más general, cualquier campo tensorial covariante –en particular cualquier forma diferencial– en${\displaystyle N}$puede ser retirado${\displaystyle M}$usando${\displaystyle \phi }$.

Cuando el mapa${\displaystyle \phi }$es un difeomorfismo , entonces el retroceso, junto con el avance , se puede utilizar para transformar cualquier campo tensorial de${\displaystyle N}$a${\displaystyle M}$o viceversa. En particular, si${\displaystyle \phi }$es un difeomorfismo entre subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, visto como un cambio de coordenadas (quizás entre diferentes cartas en una variedad)${\displaystyle M}$), entonces el retroceso y el avance describen las propiedades de transformación de los tensores covariantes y contravariantes utilizados en enfoques más tradicionales (dependientes de las coordenadas) del tema.

La idea subyacente al retroceso es, esencialmente, la noción de precomposición de una función con otra. Sin embargo, al combinar esta idea en diferentes contextos, se pueden construir operaciones de retroceso bastante elaboradas. Este artículo comienza con las operaciones más simples y luego las utiliza para construir otras más sofisticadas. En términos generales, el mecanismo de retroceso (mediante la precomposición) transforma varias construcciones de geometría diferencial en functores contravariantes .

Dejar${\displaystyle \phi :M\to N}$ser una aplicación suave entre variedades (suaves)${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$y supongamos que${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$es una función suave en${\displaystyle N}$. Luego el retroceso de${\displaystyle f}$por${\displaystyle \phi }$es la función suave${\displaystyle \phi ^{*}f}$en${\displaystyle M}$definido por${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$. De manera similar, si${\displaystyle f}$es una función suave en un conjunto abierto${\displaystyle U}$en${\displaystyle N}$, entonces la misma fórmula define una función suave en el conjunto abierto ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$. (En el lenguaje de haces , el retroceso define un morfismo del haz de funciones suaves en${\displaystyle N}$a la imagen directa por${\displaystyle \phi }$del haz de funciones suaves en${\displaystyle M}$.)

En términos más generales, si${\displaystyle f:N\to A}$es un mapa suave de${\displaystyle N}$a cualquier otro colector${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$es un mapa suave de${\displaystyle M}$a${\displaystyle A}$.

Si${\displaystyle E}$es un fibrado vectorial (o de hecho cualquier fibrado ) sobre${\displaystyle N}$y${\displaystyle \phi :M\to N}$es un mapa suave, luego el paquete de retroceso${\displaystyle \phi ^{*}E}$es un fibrado vectorial (o fibrado ) sobre${\displaystyle M}$cuya fibra sobre${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$es dado por${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$.

En esta situación, la precomposición define una operación de retroceso en secciones de${\displaystyle E}$: si${\displaystyle s}$es una sección de${\displaystyle E}$encima${\displaystyle N}$, luego la sección de retroceso${\displaystyle \phi ^{*}s=s\circ \phi }$es una sección de${\displaystyle \phi ^{*}E}$encima${\displaystyle M}$.

Sea Φ: V → W una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y W (es decir, Φ es un elemento de L ( V , W ) , también denotado Hom( V , W ) ), y sea

$${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$$

Sea W una forma multilineal (también conocida como tensor – que no debe confundirse con un campo tensorial – de rango (0, s ) , donde s es el número de factores de W en el producto). Entonces, el retroceso Φ ^∗ F de F por Φ es una forma multilineal en V definida por la precomposición de F con Φ. Más precisamente, dados los vectores v ₁ , v ₂ , ..., v _s en V , Φ ^∗ F se define por la fórmula

$${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$$

que es una forma multilineal en V. Por lo tanto, Φ ^∗ es un operador (lineal) de formas multilineales en W a formas multilineales en V. Como caso especial, observe que si F es una forma lineal (o tensor (0,1)) en W , de modo que F es un elemento de W ^∗ , el espacio dual de W , entonces Φ ^∗ F es un elemento de V ^∗ , y por lo tanto, el retroceso por Φ define una aplicación lineal entre espacios duales que actúa en la dirección opuesta a la aplicación lineal Φ misma:

$${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$$

Desde un punto de vista tensorial, es natural intentar extender la noción de retroceso a tensores de rango arbitrario, es decir, a aplicaciones multilineales en W que toman valores en un producto tensorial de r copias de W , es decir, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Sin embargo, los elementos de dicho producto tensorial no retroceden naturalmente: en cambio, hay una operación de avance de V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V a W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dada por

$${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$$

Sin embargo, de esto se deduce que si Φ es invertible, el retroceso se puede definir usando el avance mediante la función inversa Φ ⁻¹ . La combinación de estas dos construcciones produce una operación de avance, a lo largo de una aplicación lineal invertible, para tensores de cualquier rango ( r , s ) .

Dejar${\displaystyle \phi :M\to N}$sea ​​una aplicación suave entre variedades suaves . Entonces, el diferencial de${\displaystyle \phi }$, escrito${\displaystyle \phi _{*}}$,${\displaystyle d\phi }$, o${\displaystyle D\phi }$, es un morfismo de fibrado vectorial (sobre${\displaystyle M}$) del fibrado tangente${\displaystyle TM}$de${\displaystyle M}$al paquete de retroceso${\displaystyle \phi ^{*}TN}$. La transpuesta de${\displaystyle \phi _{*}}$es, por lo tanto, un mapa de paquetes de${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$a${\displaystyle T^{*}M}$, el haz cotangente de${\displaystyle M}$.

Ahora supongamos que${\displaystyle \alpha }$es una sección de${\displaystyle T^{*}N}$(una forma 1 en${\displaystyle N}$), y precomponer${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle \phi }$para obtener una sección de retroceso de${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$. Al aplicar el mapa de paquetes anterior (punto por punto) a esta sección se obtiene el retroceso de${\displaystyle \alpha }$por${\displaystyle \phi }$, que es la forma 1${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$en${\displaystyle M}$definido por $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ para${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$y${\displaystyle X}$en${\displaystyle T_{x}M}$.

La construcción de la sección anterior se generaliza inmediatamente a haces tensoriales de rango${\displaystyle (0,s)}$para cualquier número natural${\displaystyle s}$: a${\displaystyle (0,s)}$campo tensorial en una variedad${\displaystyle N}$es una sección del fibrado tensorial en${\displaystyle N}$cuya fibra en${\displaystyle y}$en${\displaystyle N}$es el espacio de multilineal${\displaystyle s}$-formularios $${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$$ Tomando${\displaystyle \phi }$igual a la diferencial (puntual) de una aplicación suave${\displaystyle \phi }$de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$, el retroceso de formas multilineales se puede combinar con el retroceso de secciones para producir un retroceso${\displaystyle (0,s)}$campo tensorial en${\displaystyle M}$. Más precisamente si${\displaystyle S}$es un${\displaystyle (0,s)}$-campo tensorial en${\displaystyle N}$, luego el retroceso de${\displaystyle S}$por${\displaystyle \phi }$es el${\displaystyle (0,s)}$campo tensorial${\displaystyle \phi ^{*}S}$en${\displaystyle M}$definido por $${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$$ para${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$y${\displaystyle X_{j}}$en${\displaystyle T_{x}M}$.

Un caso particularmente importante de la imagen inversa de campos tensoriales covariantes es la imagen inversa de formas diferenciales . Si${\displaystyle \alpha }$es un diferencial${\displaystyle k}$-forma, es decir, una sección del haz exterior${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$de alternancia (fibra a fibra)${\displaystyle k}$-formularios en${\displaystyle TN}$, luego el retroceso de${\displaystyle \alpha }$es el diferencial${\displaystyle k}$-formulario en${\displaystyle M}$definido por la misma fórmula que en la sección anterior: $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$$ para${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$y${\displaystyle X_{j}}$en${\displaystyle T_{x}M}$.

La técnica de retroceso de formas diferenciales posee dos propiedades que la hacen extremadamente útil.

1. Es compatible con el producto cuña en el sentido de que para formas diferenciales${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle N}$,$${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta .}$$
2. Es compatible con el derivado exterior${\displaystyle d}$: si${\displaystyle \alpha }$es una forma diferencial en${\displaystyle N}$entonces$${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$$

Cuando el mapa${\displaystyle \phi }$Entre variedades existe un difeomorfismo , es decir, tiene una inversa suave; entonces, el retroceso puede definirse tanto para campos vectoriales como para 1-formas y, por extensión, para un campo tensorial mixto arbitrario en la variedad. El mapeo lineal $${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$$

se puede invertir para dar $${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$$

Un campo tensorial mixto general se transformará entonces utilizando${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Phi ^{-1}}$según la descomposición del producto tensorial del haz tensorial en copias de${\displaystyle TN}$y${\displaystyle T^{*}N}$. Cuando${\displaystyle M=N}$Entonces, el retroceso y el avance describen las propiedades de transformación de un tensor en la variedad.${\displaystyle M}$. En términos tradicionales, el retroceso describe las propiedades de transformación de los índices covariantes de un tensor ; por el contrario, la transformación de los índices contravariantes viene dada por un empuje hacia adelante .

La construcción de la sección anterior tiene una interpretación teórica de la representación cuando${\displaystyle \phi }$es un difeomorfismo de una variedad${\displaystyle M}$a sí misma. En este caso, la derivada${\displaystyle d\phi }$es una sección de${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$Esto induce una acción de retracción en secciones de cualquier haz asociado al haz del marco .${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$de${\displaystyle M}$mediante una representación del grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$(dónde${\displaystyle m=\dim M}$).

Ver derivada de Lie . Aplicando las ideas anteriores al grupo local de 1 parámetro de difeomorfismos definido por un campo vectorial en${\displaystyle M}$y diferenciando con respecto al parámetro, se obtiene una noción de derivada de Lie en cualquier fibrado asociado.

Si${\displaystyle \nabla }$es una conexión (o derivada covariante ) en un fibrado vectorial${\displaystyle E}$encima${\displaystyle N}$y${\displaystyle \phi }$es un mapa suave de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$, entonces hay una conexión de retroceso${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$en${\displaystyle \phi ^{*}E}$encima${\displaystyle M}$, determinado de forma única por la condición de que $${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$$

• Empuje hacia adelante (diferencial)
• Paquete de retroceso
• Retroceso (teoría de categorías)

• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.Véanse las secciones 1.5 y 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.Consulte las secciones 1.7 y 2.3 .