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Persiguiendo pilas

Pursuing Stacks ( en francés : À la Poursuite des Champs ) es un influyente manuscrito matemático de 1983 de Alexander Grothendieck . [ 1 ] Consta de una carta de 12 páginas a D...

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Pursuing Stacks ( en francés : À la Poursuite des Champs ) es un influyente manuscrito matemático de 1983 de Alexander Grothendieck . [ 1 ] Consta de una carta de 12 páginas a Daniel Quillen seguida de unas 600 páginas de notas de investigación.

El tema de este trabajo es una teoría de homotopía generalizada que utiliza la teoría de categorías superiores . La palabra "pilas" en el título se refiere a lo que hoy en día se suele llamar " ∞-grupoides ", una posible definición de la cual Grothendieck esboza en su manuscrito. (Las pilas de geometría algebraica , que también se remontan a Grothendieck, no son el foco de este manuscrito). Entre los conceptos introducidos en el trabajo se encuentran los derivadores y las categorías de prueba .

Algunas partes del manuscrito fueron desarrolladas posteriormente en:

  • Georges Maltsiniotis (2005), "La théorie de l'homotopie de Grothendieck" [ Teoría de la homotopía de Grothendieck ] (PDF) , Astérisque , 301 , MR 2200690 
  • Denis-Charles Cisinski (2006), "Les préfaisceaux comme modèles destypes d'homotopie" [ Presheaves como modelos para tipos de homotopía ] (PDF) , Astérisque , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9, MR 2294028 {{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )

Resumen del manuscrito

I. La carta a Daniel Quillen

La búsqueda de pilas comenzó como una carta de Grothendieck a Daniel Quillen. En esta carta, discute el progreso de Quillen [ 2 ] en los fundamentos de la teoría de la homotopía y comenta la falta de progreso desde entonces. Menciona cómo algunos de sus amigos en la Universidad de Bangor , incluido Ronald Brown , estaban estudiando grupoides fundamentales superiores .Πnorte(incógnita){\displaystyle \Pi _{n}(X)}para un espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}y cómo se podrían sentar y relativizar las bases de dicho tema utilizando la teoría de topos , dando paso a gerbes superiores . Además, criticó el uso de grupoides estrictos para sentar estas bases, ya que no serían suficientes para desarrollar la teoría completa que él imaginaba.

Expuso sus ideas sobre cómo debería ser un ∞-grupoide de este tipo y proporcionó algunos axiomas que esbozaban su visión. En esencia, se trata de categorías con objetos, flechas, flechas entre flechas, etc., análogas a la situación de las homotopías superiores. Se conjetura que esto podría lograrse analizando una secuencia sucesiva de categorías y functores.

do0→do1→⋯→donorte→donorte+1→⋯{\displaystyle C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots }

que son universales con respecto a cualquier tipo de grupoide superior. Esto permite una definición inductiva de un ∞-grupoide que depende de los objetosdo0{\displaystyle C_{0}}y los functores de inclusióndonorte→donorte+1{\displaystyle C_{n}\to C_{n+1}}donde las categoríasdonorte{\displaystyle C_{n}}mantener un registro de la información homotópica superior hasta el nivelnorte{\displaystyle n}. Dicha estructura fue posteriormente denominada coherador, ya que mantiene un registro de todas las coherencias superiores. Esta estructura ha sido estudiada formalmente por George Malsiniotis [ 3 ], quien logró algunos avances en el establecimiento de estos fundamentos y demostró la hipótesis de homotopía .

II. Categorías de prueba y functores de prueba

La motivación de Grothendieck para obtener pilas de pilas más altas

De hecho, la descripción es formalmente análoga, y casi idéntica, a la descripción de los grupos de homología de un complejo de cadena ; por lo tanto, parecería que las pilas (más específicamente, las pilas Gr) son, en cierto sentido, la generalización no conmutativa más cercana posible de los complejos de cadena, convirtiéndose los grupos de homología del complejo de cadena en los grupos de homotopía del "complejo de cadena no conmutativo" o pila. - Grothendieck [ 1 ] pág. 23

Esto se explica más adelante mediante la intuición que proporciona la correspondencia de Dold-Kan : los grupos abelianos simpliciales corresponden a complejos de cadena de grupos abelianos, por lo que una pila superior modelada como un grupo simplicial debería corresponder a un complejo de cadena "no abeliano".F∙{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\bullet }}. Además, estos deberían tener una abelianización dada por homología y cohomología, escrita sugestivamente comoHk(incógnita,F∙){\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })}oRF∗(F∙){\displaystyle \mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })}, puesto que debería existir un formalismo de seis functores asociado [ 1 ] pág. 24 . Además, debería existir una teoría asociada de operaciones de Lefschetz, similar a la tesis de Raynaud . [ 4 ]

Debido a que Grothendieck concibió una formulación alternativa de pilas superiores utilizando grupoides globulares, y observó que debería existir una teoría correspondiente utilizando conjuntos cúbicos , se le ocurrió la idea de categorías de prueba y functores de prueba. [ 1 ] pág. 42 Esencialmente, las categorías de prueba deberían ser categoríasMETRO{\displaystyle M}con una clase de equivalencias débilesW{\displaystyle W}de tal manera que exista un functor de realización geométrica

|⋅|:METRO→Espacios{\displaystyle |\cdot |:M\to {\text{Espacios}}}

y una equivalencia débil

METRO[W−1]≃Caliente{\displaystyle M[W^{-1}]\simeq {\text{Caliente}}}

donde Hot denota la categoría de homotopía .

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 Grothendieck. "Pursuing Stacks" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Recuperado el 17 de septiembre de 2020 .
  2. ↑ Quillen, Daniel G. (1967). Álgebra homotópica . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 43. doi : 10.1007/bfb0097438 . ISBN  978-3-540-03914-3ISSN 0075-8434​​ 
  3. ↑ Maltsiniotis, Georges. "Grupoides infinitos de Grothendieck y otra definición más de categorías infinitas" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 3 de septiembre de 2020.
  4. ^ Raynaud, Michèle (1974). "Théorèmes de Lefschetz en cohomologie des faisceaux cohérents et en cohomologie étale. Aplicación en el grupo fundamental" . Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 (1): 29– 52. doi : 10.24033/asens.1260 .
  • Persiguiendo pilas , A. Grothendieck, 1983
  • Explorando pilas de memoria en el laboratorio n
  • Conjeturas en “Pursuing stacks” de Grothendieck , Mathoverflow.net
  • El gato como categoría de modelo cerrado
  • ¿Existe una explicación conceptual avanzada de por qué lo "simplical" conduce a lo "homotópico"? , Mathoverflow.net
  • ¿Qué tiene de especial la categoría Simplex?
  • R. Brown , Los orígenes de «Persiguiendo pilas» de Alexander Grothendieck