Paridad put-call

En matemáticas financieras , la paridad put-call define una relación entre el precio de una opción de compra europea y una opción de venta europea , ambas con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Es decir, una cartera compuesta por una opción de compra larga y una opción de venta corta equivale a (y, por lo tanto, tiene el mismo valor que) un único contrato a plazo con ese precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Esto se debe a que si el precio al vencimiento es superior al precio de ejercicio, se ejercerá la opción de compra, mientras que si es inferior, se ejercerá la opción de venta. En ambos casos, se comprará una unidad del activo al precio de ejercicio, al igual que en un contrato a plazo.

La validez de esta relación exige que se cumplan ciertos supuestos, los cuales se especifican y la relación se deduce a continuación. En la práctica, los costos de transacción y los costos de financiamiento (apalancamiento) implican que esta relación no se cumplirá exactamente, pero en mercados líquidos la relación es prácticamente exacta.

La paridad put-call es una réplica estática , y por lo tanto requiere supuestos mínimos, de un contrato a plazo . En ausencia de contratos a plazo negociados, el contrato a plazo puede ser reemplazado (de hecho, replicado) por la capacidad de comprar el activo subyacente y financiarlo mediante préstamos a plazo fijo (por ejemplo, mediante el préstamo de bonos), o, a la inversa, pedir prestado y vender (en corto) el activo subyacente y prestar el dinero recibido a plazo, generando en ambos casos una cartera autofinanciada .

Estos supuestos no requieren ninguna transacción entre la fecha inicial y la fecha de vencimiento, y por lo tanto son significativamente más débiles que los del modelo Black-Scholes , que requiere replicación dinámica y transacciones continuas en el subyacente.

La replicación presupone la posibilidad de realizar transacciones con derivados, lo que requiere apalancamiento (y los costes de capital necesarios para respaldarlo), y que la compraventa conlleva costes de transacción , en particular el diferencial entre el precio de compra y el de venta . Por lo tanto, esta relación solo se cumple con exactitud en un mercado ideal sin fricciones y con liquidez ilimitada. Sin embargo, los mercados reales pueden ser suficientemente líquidos como para que la relación sea casi exacta, especialmente los mercados de divisas de las principales monedas o los principales índices bursátiles, en ausencia de turbulencias.

La paridad put-call se puede expresar de varias maneras equivalentes, la más concisa de las cuales es:

${\displaystyle CP=D\cdot (FK)}$

dónde${\displaystyle C}$es el valor (actual) de una llamada,${\displaystyle P}$es el valor (actual) de una opción de venta,${\displaystyle D}$es el factor de descuento ,${\displaystyle F}$es el precio a plazo del activo subyacente, y${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio. El lado izquierdo corresponde a una cartera de una opción de compra larga y una opción de venta corta; el lado derecho corresponde a un contrato a plazo. Los activos${\displaystyle C}$y${\displaystyle P}$En el lado izquierdo se dan en valores presentes, mientras que los activos${\displaystyle F}$y${\displaystyle K}$se dan en valores futuros (precio a plazo del activo y precio de ejercicio pagado al vencimiento), que es el factor de descuento.${\displaystyle D}$convierte a valores presentes.

Ahora el precio al contado${\displaystyle S=D\cdot F}$se puede obtener descontando el precio a plazo${\displaystyle F}$por el factor${\displaystyle D}$Utilizando el precio al contado${\displaystyle S}$en lugar del precio a plazo${\displaystyle F}$nos da:

${\displaystyle CP=SD\cdot K}$.

Reorganizando los términos se obtiene una primera interpretación:

${\displaystyle C+D\cdot K=P+S}$.

Aquí, el lado izquierdo es una opción de compra fiduciaria , que es una opción de compra larga y suficiente efectivo (o bonos) para ejercerla pagando el precio de ejercicio. El lado derecho es una opción de venta casada , que es una opción de venta larga emparejada con el activo, de modo que el activo se puede vender al precio de ejercicio al momento del ejercicio. Al vencimiento, el valor intrínseco de las opciones desaparece, por lo que ambas partes obtienen ganancias.${\displaystyle \max(K,S)}$igual al menos al precio de ejercicio${\displaystyle K}$o el valor${\displaystyle S}$del activo si es mayor.

Que una opción de compra larga con efectivo sea equivalente a una opción de venta larga con activos es uno de los significados de la paridad put-call.

Reorganizando los términos de otra manera, obtenemos una segunda interpretación:

${\displaystyle D\cdot K-P=S-C}$.

Ahora, el lado izquierdo es una opción de venta con garantía en efectivo, es decir, una opción de venta corta y suficiente efectivo para entregar al propietario de la opción de venta si la ejerce. El lado derecho es una opción de compra cubierta , que es una opción de compra corta emparejada con el activo, donde el activo está listo para ser comprado por el propietario de la opción de compra si la ejerce. Al vencimiento, el escenario anterior se invierte. Ahora ambos lados tienen un pago.${\displaystyle \min(K,S)}$igual a cualquiera de los precios de ejercicio${\displaystyle K}$o el valor${\displaystyle S}$del activo, el que sea menor .

Así pues, vemos que la paridad put-call también puede entenderse como la equivalencia entre una opción put (corta) con garantía en efectivo y una opción call (corta) cubierta. Esto puede resultar sorprendente, ya que vender una opción put con garantía en efectivo se considera generalmente más arriesgado que vender una opción call cubierta. ^{[ 1 ]}

Para explicitar el valor temporal del efectivo y la dependencia temporal de las variables financieras, la ecuación original de paridad put-call se puede expresar como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

dónde

${\displaystyle C(t)}$es el valor de la llamada en el momento${\displaystyle t}$,

${\displaystyle P(t)}$es el valor de la opción de venta con la misma fecha de vencimiento,

${\displaystyle S(t)}$es el precio al contado del activo subyacente,

${\displaystyle K}$es el precio de ejercicio, y

${\displaystyle B(t,T)}$es el valor presente de un bono cupón cero que vence a $1 en el momento${\displaystyle T}$, es decir, el factor de descuento para${\displaystyle K.}$

Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación también es el precio de compra de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega.${\displaystyle K}$Por lo tanto, una forma de interpretar la ecuación es que una cartera con una opción de compra (call) y una opción de venta (put) en corto equivale a tener una posición larga en un contrato a plazo (forward). En particular, si el activo subyacente no es negociable, pero existen contratos a plazo sobre él, podemos sustituir la expresión del lado derecho por el precio de un contrato a plazo.

Si la tasa de interés del bono ,${\displaystyle r}$, se supone que es constante entonces

${\displaystyle B(t,T)=e^{-r(T-t)}}$

Nota:${\displaystyle r}$se refiere a la fuerza de interés , que es aproximadamente igual a la tasa anual efectiva para tasas de interés bajas. Sin embargo, se debe tener cuidado con la aproximación, especialmente con tasas más altas y períodos de tiempo más largos. Para encontrar${\displaystyle r}$exactamente, usar${\displaystyle r=\ln(1+i)}$, dónde${\displaystyle i}$es la tasa de interés anual efectiva.

Al valorar opciones europeas sobre acciones con dividendos conocidos que se pagarán durante la vigencia de la opción, la fórmula se convierte en:

${\displaystyle C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)}$

dónde${\displaystyle D(t)}$representa el valor total de los dividendos de una acción que se pagarán durante la vida restante de las opciones, descontados a valor presente .

Podemos reescribir la ecuación como:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)}$

y tenga en cuenta que el lado derecho es el precio de un contrato a plazo sobre la acción con precio de entrega.${\displaystyle K}$, como antes.

Supondremos que las opciones de compra y venta se basan en acciones cotizadas, pero el activo subyacente puede ser cualquier otro activo negociable. La posibilidad de comprar y vender el activo subyacente es crucial para el argumento de "no arbitraje" que se presenta a continuación.

En primer lugar, cabe señalar que, bajo el supuesto de que no existen oportunidades de arbitraje (los precios están libres de arbitraje ), dos carteras que siempre tienen la misma rentabilidad en el momento T deben tener el mismo valor en cualquier momento anterior. Para demostrarlo, supongamos que, en algún momento t anterior a T , una cartera era más barata que la otra. En ese caso, se podría comprar (abrir una posición larga) la cartera más barata y vender (abrir una posición corta) la más cara. En el momento T , esta cartera larga/corta, excluyendo el efectivo, tendría, para cualquier valor del precio de la acción, un valor cero (todos los activos y pasivos se han cancelado). El beneficio en efectivo obtenido en el momento t es, por lo tanto, un beneficio sin riesgo, pero esto contradice nuestro supuesto de ausencia de arbitraje.

Derivaremos la relación de paridad put-call creando dos carteras con los mismos rendimientos ( replicación estática ) e invocando el principio anterior ( valoración racional ).

Consideremos una opción de compra y una opción de venta con el mismo precio de ejercicio K y vencimiento en la misma fecha T sobre una acción S que no paga dividendos. Suponemos la existencia de un bono que paga 1 dólar al vencimiento T. El precio del bono puede ser aleatorio (al igual que el de la acción), pero debe ser igual a 1 al vencimiento.

Sea S(t) el precio de S en el instante t. Ahora, construyamos una cartera comprando una opción de compra C y vendiendo una opción de venta P con el mismo vencimiento T y precio de ejercicio K. El rendimiento de esta cartera es S(T) - K. Ahora, construyamos una segunda cartera comprando una acción y tomando prestados K ​​bonos. Nótese que el rendimiento de esta última cartera también es S(T) - K en el instante T , ya que nuestra acción comprada por S(t) valdrá S(T) y los bonos tomados prestados valdrán K.

Según nuestra observación preliminar de que los pagos idénticos implican que ambas carteras deben tener el mismo precio en un momento general${\displaystyle t}$Existe la siguiente relación entre el valor de los distintos instrumentos:

${\displaystyle C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,}$

Por lo tanto, si no existen oportunidades de arbitraje, se cumple la relación anterior, conocida como paridad put-call , y para cualesquiera tres precios de la opción de compra, la opción de venta, el bono y la acción se puede calcular el precio implícito del cuarto.

En el caso de los dividendos, la fórmula modificada se puede derivar de manera similar a la anterior, pero con la modificación de que una cartera consiste en comprar una opción de compra, vender una opción de venta y comprar bonos D(T) que pagan 1 dólar cada uno al vencimiento T (los bonos valdrán D(t) en el momento t ); la otra cartera es igual que antes: comprar una acción y vender bonos K que pagan 1 dólar cada uno en T. La diferencia es que en el momento T , la acción no solo vale S(T) , sino que también ha pagado D(T) en dividendos.

Las formas de paridad put-call aparecieron en la práctica ya en la Edad Media, y fueron descritas formalmente por varios autores a principios del siglo XX.

En su libro *Las raíces antiguas de la innovación financiera moderna: la historia temprana del arbitraje regulatorio* , Michael Knoll describe el importante papel que desempeñó la paridad put-call en el desarrollo del derecho de reembolso , la característica definitoria de una hipoteca moderna, en la Inglaterra medieval.

En el siglo XIX, el financiero Russell Sage utilizó la paridad put-call para crear préstamos sintéticos, que tenían tipos de interés más altos de los que normalmente permitían las leyes de usura de la época.

Nelson, un operador de arbitraje de opciones en Nueva York, publicó en 1904 el libro "The ABC of Options and Arbitrage", que describe en detalle la paridad put-call. Espen Gaarder Haug redescubrió su libro a principios de la década de 2000, y en su obra "Derivatives Models on Models" se citan numerosas referencias del libro de Nelson.

Henry Deutsch describe la paridad put-call en 1910 en su libro "Arbitraje en lingotes, monedas, letras, acciones, participaciones y opciones, 2.ª edición". Londres: Engham Wilson, pero con menos detalle que Nelson (1904).

El profesor de matemáticas Vinzenz Bronzin también derivó la paridad put-call en 1908 y la utilizó como parte de su argumento de arbitraje para desarrollar una serie de modelos matemáticos de opciones bajo diversas distribuciones. El trabajo del profesor Bronzin fue redescubierto recientemente por los profesores Wolfgang Hafner y Heinz Zimmermann. La obra original de Bronzin es un libro escrito en alemán, ahora traducido y publicado en inglés en una edición de Hafner y Zimmermann ("Vinzenz Bronzin's option pricing models", Springer Verlag ).

Su primera descripción en la literatura académica moderna parece ser la de Hans R. Stoll en el Journal of Finance . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La paridad put-call implica:

• Equivalencia de opciones de compra y venta : La paridad implica que una opción de compra y una opción de venta pueden usarse indistintamente en cualquier cartera delta-neutral . Si${\displaystyle d}$es el delta de la opción de compra, luego comprar una opción de compra y vender${\displaystyle d}$acciones de acciones, es lo mismo que vender una opción de venta al mismo precio de ejercicio y vender${\displaystyle 1-d}$acciones. La equivalencia entre opciones de compra y venta es muy importante al operar con opciones.
• Paridad de volatilidad implícita : En ausencia de dividendos u otros costos de mantenimiento (como cuando una acción es difícil de tomar prestada o vender en corto), la volatilidad implícita de las opciones de compra y venta debe ser idéntica. ^{[ 4 ]}

• Paridad spot-futuro
• Vinzenz Bronzin

• Paridad Put-Call
  • Paridad put-call , tutorial de Salman Khan (educador)
  • Paridad Put-Call y Oportunidad de Arbitraje , investopedia.com
  • Las raíces antiguas de la innovación financiera moderna: la historia temprana del arbitraje regulatorio , la historia de la paridad put-call de Michael Knoll.
• Otras relaciones de arbitraje
  • Relaciones de arbitraje para opciones , Prof. Thayer Watkins
  • Reglas racionales y condiciones límite para la valoración de opciones ( PDFDi ), Prof. Don M. Chance
  • Límites de no arbitraje para las opciones , Prof. Robert Novy-Marx
• Herramientas
  • Relaciones de arbitraje de opciones , Prof. Campbell R. Harvey