Número piramidal

Un número piramidal es el número de puntos en una pirámide con base poligonal y caras triangulares. ^{[ 1 ]} El término suele referirse a números piramidales cuadrados , que tienen una base cuadrada con cuatro caras, pero también puede referirse a una pirámide con cualquier número de caras. ^{[ 2 ]} El número de puntos en la base y en las capas paralelas a la base viene dado por números poligonales del número de caras dado, mientras que el número de puntos en cada cara triangular viene dado por un número triangular . Es posible extender los números piramidales a dimensiones superiores.

La fórmula para el n- ésimo número piramidal r -gonal es

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

dónde${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$, r ≥ 3 . ^{[ 1 ]}

Esta fórmula se puede factorizar:

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

donde T _n es el n- ésimo número triangular .

Los primeros números piramidales triangulares (o, equivalentemente, números tetraédricos ) son:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (secuencia A000292 en el OEIS )

Los primeros números piramidales cuadrados son:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... (secuencia A000330 en el OEIS ) .

Los primeros números piramidales pentagonales son:

1 , 6 , 18 , 40 , 75 , 126 , 196 , 288 , 405, 550, 726, 936, 1183, ... (secuencia A002411 en el OEIS ) .

Los primeros números piramidales hexagonales son:

1 , 7 , 22 , 50 , 95 , 161 , 252 , 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 (secuencia A002412 en el OEIS ) .

Los primeros números piramidales heptagonales son: ^{[ 3 ]}

1 , 8 , 26 , 60 , 115 , 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... (secuencia A002413 en el OEIS )