Simetría tetraédrica

Un tetraedro regular tiene 12 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación ) y un orden de simetría de 24, incluyendo transformaciones que combinan una reflexión y una rotación.

El grupo de todas las simetrías (no necesariamente las que preservan la orientación) es isomorfo al grupo S₄ _, el grupo simétrico de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una de estas simetrías para cada permutación de los vértices del tetraedro. El conjunto de simetrías que preservan _la orientación forma un grupo denominado subgrupo alternante A₄ de _S₄ .

Las simetrías quirales y completas (o simetría tetraédrica aquiral y simetría piritoédrica ) son simetrías puntuales discretas (o, equivalentemente, simetrías en la esfera ). Se encuentran entre los grupos puntuales cristalográficos del sistema cristalino cúbico .

En proyección estereográfica, las aristas del tetrakis hexaedro forman 6 círculos (o líneas radiales centrales) en el plano. Cada uno de estos 6 círculos representa una línea de simetría tetraédrica. La intersección de estos círculos coincide en los puntos de giro de orden 2 y 3.

T , 332 , [3,3] ⁺ , o 23 , de orden 12 – simetría tetraédrica quiral o. Hay tres ejes de rotación ortogonales de orden 2, como la simetría diedral quiral D ₂ o 222, con además cuatro ejes de orden 3, centrados entre las tres direcciones ortogonales. Este grupo es isomorfo a A ₄ , el grupo alternante en 4 elementos; de hecho, es el grupo de permutaciones pares de los cuatro ejes de orden 3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Las clases de conjugación de T son:

• identidad
• 4 × rotación de 120° en sentido horario (vista desde un vértice): (234), (143), (412), (321)
• 4 × rotación de 120° en sentido antihorario (ídem)
• 3 rotaciones de 180°

Las rotaciones de 180°, junto con la identidad, forman un subgrupo normal de tipo Dih ₂ , con un grupo cociente de tipo Z ₃ . Los tres elementos de este último son la identidad, la "rotación en sentido horario" y la "rotación en sentido antihorario", que corresponden a permutaciones de los tres ejes ortogonales de orden 2, conservando la orientación.

A ₄ es el grupo más pequeño que demuestra que el recíproco del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no necesariamente existe un subgrupo de G con orden d : el grupo G = A ₄ ​​no tiene subgrupo de orden 6. Aunque es una propiedad para el grupo abstracto en general, es claro a partir del grupo de isometría de simetría tetraédrica quiral: debido a la quiralidad el subgrupo tendría que ser C ₆ o D ₃ , pero ninguno de los dos aplica.

Subgrupos de simetría tetraédrica quiral

T _d , *332 , [3,3] o 4 3m, de orden 24 – simetría tetraédrica aquiral o completa , también conocido como el grupo triangular (2,3,3) . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos de simetría, cada uno a través de dos ejes de simetría triple. Los ejes de simetría doble son ahora ejes S ₄ ( 4 ). T _d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S ₄ , el grupo simétrico en 4 objetos. T _d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O \ T con inversión. Véanse también las isometrías del tetraedro regular .

Las clases de conjugación de T _d son:

• identidad
• 8 × rotación de 120° (C ₃ )
• 3 × rotación de 180° (C ₂ )
• 6 × reflexión en un plano que pasa por dos ejes de rotación (C _s )
• 6 × reflexión del rotor por 90° (S ₄ )

Subgrupos de simetría tetraédrica aquiral

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] o m 3 , de orden 24 – simetría piritoédrica . ^{[ 1 ]} Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, con planos de simetría que pasan por dos de las direcciones ortogonales. Los ejes de simetría triple son ahora ejes S ₆ ( 3 ), y hay una simetría de inversión central. T _h es isomorfo a T × Z ₂ : cada elemento de T _h es un elemento de T, o uno combinado con inversión. Aparte de estos dos subgrupos normales, también hay un subgrupo normal D _2h (el de un cuboide ), de tipo Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Es el producto directo del subgrupo normal de T (ver arriba) con C _i . El grupo cociente es el mismo que el anterior: de tipo Z ₃ . Los tres elementos de este último son la identidad, la "rotación en sentido horario" y la "rotación en sentido antihorario", que corresponden a permutaciones de los tres ejes ortogonales de simetría doble, preservando la orientación.

Es la simetría de un cubo con un segmento de línea en cada cara que la divide en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de caras adyacentes no se encuentran en la arista. Las simetrías corresponden a las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y a la combinación de estas con la inversión. También es la simetría de un piritoedro , que es extremadamente similar al cubo descrito, con cada rectángulo reemplazado por un pentágono con un eje de simetría y 4 lados iguales y 1 lado diferente (el que corresponde al segmento de línea que divide la cara del cubo); es decir, las caras del cubo se abomban en la línea divisoria y se estrechan allí. Es un subgrupo del grupo de simetría icosaédrica completo (como grupo de isometría, no solo como grupo abstracto), con 4 de los 10 ejes de simetría triple.

Las clases de conjugación de T _h incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:

• identidad
• 8 × rotación de 120° (C ₃ )
• 3 × rotación de 180° (C ₂ )
• inversión (S ₂ )
• 8 × reflexión del rotor por 60° (S ₆ )
• 3 × reflexión en un plano (C _s )

Subgrupos de simetría piritoédrica

El icosaedro coloreado como un tetraedro truncado tiene simetría quiral.

• Simetría octaédrica
• Simetría icosaédrica
• Grupo tetraédrico binario

• Weisstein, Eric W. "Grupo tetraédrico" . MathWorld .
• Materiales de aprendizaje relacionados con el grupo simétrico S4 en Wikiversidad.