Grupo tetraédrico binario

En matemáticas , el grupo tetraédrico binario , denotado 2T o ⟨2,3,3⟩ , ^[2] es un cierto grupo no abeliano de orden 24. Es una extensión del grupo tetraédrico T o (2,3,3) de orden 12 por un grupo cíclico de orden 2, y es la preimagen del grupo tetraédrico bajo el homomorfismo de recubrimiento 2:1 Spin(3) → SO(3) del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . De ello se deduce que el grupo tetraédrico binario es un subgrupo discreto de Spin(3) de orden 24. El grupo de reflexión complejo denominado 3(24)3 por GC Shephard o 3[3]3 ypor Coxeter , es isomorfo al grupo tetraédrico binario.

El grupo tetraédrico binario se describe más fácilmente de manera concreta como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismo Spin(3) ≅ Sp(1) , donde Sp(1) es el grupo multiplicativo de los cuaterniones unitarios. (Para una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ).

Explícitamente, el grupo tetraédrico binario se da como el grupo de unidades en el anillo de números enteros de Hurwitz . Hay 24 unidades de este tipo dadas por

${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\frac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}}$

con todas las combinaciones de signos posibles.

Las 24 unidades tienen valor absoluto 1 y, por lo tanto, se encuentran en el grupo de cuaterniones unitarios Sp(1). La envoltura convexa de estos 24 elementos en el espacio de 4 dimensiones forma un politopo regular convexo de 4 elementos denominado 24 celdas .

El grupo tetraédrico binario, denotado por 2T, encaja en la secuencia exacta corta

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2\mathrm {T} \to \mathrm {T} \to 1.}$

Esta secuencia no se divide , lo que significa que 2T no es un producto semidirecto de {±1} por T. De hecho, no existe ningún subgrupo de 2T isomorfo a T.

El grupo tetraédrico binario es el grupo que recubre al grupo tetraédrico. Si consideramos al grupo tetraédrico como el grupo alternado de cuatro letras, T ≅ A ₄ , tenemos entonces al grupo tetraédrico binario como el grupo que recubre, 2T ≅ .${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A}_{4}}}}$

El centro de 2T es el subgrupo {±1}. El grupo de automorfismos internos es isomorfo a A ₄ , y el grupo de automorfismos completo es isomorfo a S ₄ . ^[3]

El grupo tetraédrico binario se puede escribir como un producto semidirecto

${\displaystyle 2\mathrm {T} =\mathrm {Q} \rtimes \mathrm {C} _{3}}$

donde Q es el grupo de cuaterniones que consiste en las 8 unidades de Lipschitz y C ₃ es el grupo cíclico de orden 3 generado por ω = − ⁠1/2⁠ (1 + i + j + k ) . El grupo Z ₃ actúa sobre el subgrupo normal Q por conjugación . La conjugación por ω es el automorfismo de Q que rota cíclicamente i , j y k .

Se puede demostrar que el grupo tetraédrico binario es isomorfo al grupo lineal especial SL(2,3) – el grupo de todas las matrices 2 × 2 sobre el cuerpo finito F ₃ con determinante unitario, cubriendo este isomorfismo el isomorfismo del grupo lineal especial proyectivo PSL(2,3) con el grupo alterno A ₄ .

El grupo 2T tiene una presentación a cargo de

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=rst\rangle }$

o equivalentemente,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .}$

Los generadores con estas relaciones se dan por

${\displaystyle r=i\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+j-k),}$

con . ${\displaystyle r^{2}=s^{3}=t^{3}=-1}$

Una tabla de Cayley con estas propiedades, elementos ordenados por GAP, es

  1 2 r 4 -1 6 7 8 9 10 11 12 13 s 15 16 17 t 19 20 21 22 23 24
  2 6 7 8 9 1 13 s 15 16 17 pa 4 -1 20 21 22 23 10 11 12 24 19
  8-1 10 11 20 23 9 t 12 1 19 s 21 24 7 16 2 4 15 22 13 17 6
  4 16 19 -1 12 13 8 17 23 r 10 1 15 20 21 9 t 7 11 22 6 24 2 s
 -1 9 11 12 1 15 17 2 19 4 21 22 6 23 7 8 10 24 13 16 20
  6 1 13 s 15 2 r 4 -1 20 21 22 7 8 9 10 11 12 24 16 17 t 19 23
  7 s 9 16 17 10 24 15 22 t 2 23 4 11 19 13 20 6 8 -1 12 r 21 1
  8 20 23 9 21 24 7 16 2 -1 10 11 15 22 13 17 12 1 19 6 4
  9 15 17 t2 -1 21 22 6 23 7 8 11 12 1 24 13 s 16 19 r 4 20 10
 10 7 4 11 19 s 9 16 17 -1 12 r 24 15 22 t 2 23 1 13 20 6 8 21
 11 t 1 19 r 24 16 2 8 4 -1 10 22 13 20 17 23 9 12 6 s 21 7 15
 12 23 10 1 4 21 7 16 11 19 -1 6 24 13 2 8 17 rs 15 20 9 22
 13 4 15 20 21 16 19 -1 12 22 6 24 8 17 23 r 10 1 s 9 t 7 11 2
  10 24 15 22 7 4 11 19 13 20 6 9 16 17 -1 12 r 21 t 2 23 1 8
 15 -1 21 22 6 9 11 12 1 24 13 s 17 t 2 19 r 4 20 23 7 8 10 16
 16 13 8 17 23 4 15 20 21 9 t 7 19 -1 12 22 6 24 2 r 10 1 s 11
 17 22 2 23 7 19 20 6 s 8 9 16 12 r 10 21 24 15 t 1 4 11 13 -1
  24 16 2 8 11 22 13 20 17 23 9 1 19 6 s 21 7 4 -1 10 15 12
 19 17 12 10 22 2 23 7 1 4 11 20 6 8 9 16 -1 21 24 15 13
 20 rs 21 24 8 -1 10 11 15 22 13 23 9 t 12 1 19 6 7 16 2 4 17
 21 12 6 24 13 23 10 1 4 s 15 20 t 7 16 11 19 -1 22 2 8 17 r 9
 22 19 20 6 s 17 12 r 10 21 24 15 2 23 7 1 4 11 13 8 9 16 -1 t
 23 21 7 16 12 6 24 13 2 8 17 10 1 4 s 15 20 9 11 19 -1 22 r
 24 11 22 13 20 1 19 6 s 21 16 2 8 4 -1 10 15 17 23 9 12 7

Hay 1 elemento de orden 1 (elemento 1), un elemento de orden 2 ( ), 8 elementos de orden 3, 6 elementos de orden 4 (incluido ), 8 elementos de orden 6 (que incluyen y ). ${\displaystyle e_{5}=-1}$${\displaystyle e_{3}=r}$${\displaystyle e_{14}=s}$${\displaystyle e_{18}=t}$

El grupo de cuaterniones que consta de las 8 unidades de Lipschitz forma un subgrupo normal de 2T de índice 3. Este grupo y el centro {±1} son los únicos subgrupos normales no triviales.

Todos los demás subgrupos de 2T son grupos cíclicos generados por los diversos elementos, con órdenes 3, 4 y 6. ^[4]

Así como el grupo tetraédrico se generaliza al grupo de simetría rotacional del n - símplex (como un subgrupo de SO( n )), existe un grupo binario superior correspondiente que es una cubierta doble, que proviene de la cubierta Spin( n ) → SO( n ).

El grupo de simetría rotacional del n -símplex puede considerarse como el grupo alterno en n  + 1 puntos, A _{n +1} , y el grupo binario correspondiente es un grupo de recubrimiento de 2 pliegues . Para todas las dimensiones superiores excepto A ₆ y A ₇ (que corresponden a los símplex de 5 y 6 dimensiones), este grupo binario es el grupo de recubrimiento (cobertura máxima) y es superperfecto , pero para las dimensiones 5 y 6 hay una cobertura de 3 pliegues excepcional adicional, y los grupos binarios no son superperfectos.

El grupo tetraédrico binario fue utilizado en el contexto de la teoría de Yang-Mills en 1956 por Chen Ning Yang y otros. ^[5] Fue utilizado por primera vez en la construcción de modelos de física del sabor por Paul Frampton y Thomas Kephart en 1994. ^[6] En 2012 se demostró ^[7] que una relación entre dos ángulos de mezcla de neutrinos, derivada ^[8] mediante el uso de esta simetría de sabor tetraédrica binaria, concuerda con el experimento.

• Grupo poliédrico binario
• Grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
• Grupo diedro binario , ⟨2,2, n ⟩, ^[2] orden 4 n
• Grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2] orden 48
• Grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2] orden 120

• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos, 4.ª edición . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 Los grupos poliédricos binarios, pág. 68
• "Grupo lineal especial SL(2,3)".