Expectativa pitagórica

La expectativa pitagórica es una fórmula de análisis deportivo ideada por Bill James para estimar el porcentaje de partidos que un equipo de béisbol "debería" haber ganado según el número de carreras anotadas y permitidas. Comparar el porcentaje de victorias real de un equipo con el porcentaje de victorias pitagórico permite realizar predicciones y evaluar qué equipos tienen un rendimiento superior o inferior al esperado. Su nombre proviene de la semejanza de la fórmula con el teorema de Pitágoras . ^{[ 1 ]}

La fórmula básica es:

${\displaystyle \mathrm {Win\ Ratio} ={\frac {{\text{runs scored}}^{2}}{{\text{runs scored}}^{2}+{\text{runs allowed}}^{2}}}={\frac {1}{1+({\text{runs allowed}}/{\text{runs scored}})^{2}}}}$

donde la proporción de victorias es el índice de victorias generado por la fórmula. El número esperado de victorias sería la proporción de victorias esperada multiplicada por el número de partidas jugadas.

Empíricamente, esta fórmula se correlaciona bastante bien con el rendimiento real de los equipos de béisbol. Sin embargo, desde su invención, los estadísticos han descubierto que presenta un margen de error bastante habitual, generalmente de unos tres juegos de diferencia.

Por ejemplo, los Yankees de Nueva York de 2002 anotaron 897 carreras y permitieron 697: según la fórmula original de James, los Yankees deberían haber terminado con un porcentaje de victorias de .624.

${\displaystyle {\text{Win}}={\frac {897^{2}}{897^{2}+697^{2}}}=0.624}$

Basándose en una temporada de 162 juegos, los Yankees de 2002 deberían haber terminado con un récord de 101-61: en realidad terminaron con 103-58. ^{[ 2 ]}

En un intento por corregir este error habitual, los estadísticos han realizado numerosas búsquedas para encontrar el exponente ideal.

Si se utiliza un exponente de un solo número, 1,83 es ​​el más preciso, y es el que utiliza baseball-reference.com. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, la fórmula actualizada se lee de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{Win}}={\frac {{\text{runs scored}}^{1.83}}{{\text{runs scored}}^{1.83}+{\text{runs allowed}}^{1.83}}}={\frac {1}{1+({\text{runs allowed}}/{\text{runs scored}})^{1.83}}}}$

La más conocida es la fórmula de Pythagenport ^{[ 4 ]} desarrollada por Clay Davenport de Baseball Prospectus :

${\displaystyle \mathrm {Exponent} =1.50\log \left({\frac {{\text{runs scored}}+{\text{runs allowed}}}{\text{games}}}\right)+0.45}$

Concluyó que el exponente debía calcularse a partir de un equipo determinado en función de las carreras anotadas, las carreras permitidas y los juegos del equipo. Al no reducir el exponente a un solo número para los equipos en ninguna temporada, Davenport pudo reportar un error cuadrático medio de 3,991 en comparación con un error cuadrático medio de 4,126 para un exponente de 2. ^{[ 4 ]}

Menos conocida pero igualmente (si no más) efectiva es laFórmula de Pitágoras , desarrollada por David Smyth. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{Exponent}}=\left({\frac {{\text{runs scored}}+{\text{runs allowed}}}{\text{games}}}\right)^{0.287}}$

Davenport expresó su apoyo a esta fórmula, diciendo:

After further review, I (Clay) have come to the conclusion that the so-called Smyth/Patriot method, aka Pythagenpat, is a better fit. In that, X = ((rs + ra)/g)^0.287, although there is some wiggle room for disagreement in the exponent. Anyway, that equation is simpler, more elegant, and gets the better answer over a wider range of runs scored than Pythagenport, including the mandatory value of 1 at 1 rpg.^[6]

These formulas are only necessary when dealing with extreme situations in which the average number of runs scored per game is either very high or very low. For most situations, simply squaring each variable yields accurate results.

There are some systematic statistical deviations between actual winning percentage and expected winning percentage, which include bullpen quality and luck. In addition, the formula tends to regress toward the mean, as teams that win a lot of games tend to be underrepresented by the formula (meaning they "should" have won fewer games), and teams that lose a lot of games tend to be overrepresented (they "should" have won more).

A notable example is the 2016 Texas Rangers, who beat their predicted record by 13 games, finishing 95-67 while having an expected win–loss record of 82-80.

In their Adjusted Standings Report,^[7]Baseball Prospectus refers to different "orders" of wins for a team. The basic order of wins is simply the number of games they have won. However, because a team's record may not reflect its true talent due to luck, different measures of a team's talent were developed.

First-order wins, based on pure run differential, are the number of expected wins generated by the "pythagenport" formula (see above). In addition, to further filter out the distortions of luck, Sabermetricians can also calculate a team's expected runs scored and allowed via a runs created-type equation (the most accurate at the team level being Base Runs). These formulas result in the team's expected number of runs given their offensive and defensive stats (total singles, doubles, walks, etc.), which helps to eliminate the luck factor of the order in which the team's hits and walks came within an inning. Using these stats, sabermetricians can calculate how many runs a team "should" have scored or allowed.

Al introducir las carreras esperadas (anotadas y permitidas) en la fórmula pitagórica, se pueden generar victorias de segundo orden, es decir, el número de victorias que un equipo merece según las carreras que debería haber anotado y permitido, considerando sus estadísticas ofensivas y defensivas. Las victorias de tercer orden son victorias de segundo orden ajustadas según la dificultad del calendario (la calidad del pitcheo y el bateo del oponente). Se ha demostrado que el porcentaje de victorias de segundo y tercer orden predice mejor el porcentaje de victorias real futuro de un equipo que el porcentaje de victorias real y el porcentaje de victorias de primer orden.

Inicialmente, la correlación entre la fórmula y el porcentaje real de victorias era simplemente una observación experimental. En 2003, Hein Hundal proporcionó una derivación inexacta de la fórmula y demostró que el exponente pitagórico era aproximadamente 2/( σ √ π ), donde σ era la desviación estándar de las carreras anotadas por todos los equipos dividida por el número promedio de carreras anotadas. ^{[ 8 ]} En 2006, el profesor Steven J. Miller proporcionó una derivación estadística de la fórmula ^{[ 9 ]} bajo ciertas suposiciones sobre los juegos de béisbol: si las carreras de cada equipo siguen una distribución de Weibull y las carreras anotadas y permitidas por juego son estadísticamente independientes , entonces la fórmula da la probabilidad de ganar. ^{[ 9 ]}

De forma más sencilla, la fórmula pitagórica con exponente 2 se deduce inmediatamente de dos supuestos: que los equipos de béisbol ganan en proporción a su "calidad" y que su "calidad" se mide por la relación entre las carreras anotadas y las carreras permitidas. Por ejemplo, si el Equipo A ha anotado 50 carreras y permitido 40, su medida de calidad sería 50/40 o 1,25. La medida de calidad para su oponente (colectivo) el equipo B, en los juegos jugados contra A, sería 40/50 (ya que las carreras anotadas por A son carreras permitidas por B, y viceversa), o 0,8. Si cada equipo gana en proporción a su calidad, la probabilidad de que A gane sería 1,25  /  (1,25  +  0,8), que es igual a 50² ^/  (  50² ⁺  40²  ) ^, la fórmula pitagórica. La misma relación es válida para cualquier número de carreras anotadas y permitidas, como se puede ver escribiendo la probabilidad de "calidad" como [50/40] / [ 50/40  +  40/50] y eliminando las fracciones .

La suposición de que una medida de la calidad de un equipo viene dada por la proporción de carreras anotadas respecto a las permitidas es natural y plausible; esta es la fórmula con la que se determinan las victorias individuales (partidos). [Existen otras candidatas naturales y plausibles para medir la calidad de un equipo, que, asumiendo un modelo de "calidad", conducen a fórmulas de porcentaje de victorias correspondientes que son aproximadamente tan precisas como las pitagóricas.] La suposición de que los equipos de béisbol ganan en proporción a su calidad no es natural, pero sí plausible. No es natural porque el grado en que los competidores deportivos ganan en proporción a su calidad depende del papel que juega el azar en el deporte. Si el azar juega un papel muy importante, entonces incluso un equipo con mucha más calidad que sus oponentes ganará solo un poco más a menudo de lo que pierde. Si el azar juega muy poco, entonces un equipo con solo una calidad ligeramente superior a la de sus oponentes ganará mucho más a menudo de lo que pierde. Esto último se da más en el baloncesto, por varias razones, entre ellas que se anotan muchos más puntos que en el béisbol (lo que da al equipo de mayor calidad más oportunidades de demostrar esa calidad, con consiguiente menos oportunidades para que el azar o la suerte permitan que gane el equipo de menor calidad).

El béisbol tiene la cantidad justa de azar para permitir que los equipos ganen aproximadamente en proporción a su calidad, es decir, para producir un resultado aproximadamente pitagórico con exponente dos. El exponente más alto del baloncesto, alrededor de 14 (ver más abajo), se debe al papel menos importante que juega el azar en el baloncesto. El hecho de que el exponente pitagórico (constante) más preciso para el béisbol sea alrededor de 1,83, un poco menos de 2, se puede explicar por el hecho de que hay (aparentemente) un poco más de azar en el béisbol de lo que permitiría a los equipos ganar en proporción precisa a su calidad. Bill James se dio cuenta de esto hace mucho tiempo cuando notó que una mejora en la precisión de su fórmula pitagórica original con exponente${\displaystyle 2}$Esto podría lograrse simplemente sumando una constante al numerador y el doble de esa constante al denominador. Esto acerca ligeramente el resultado a 0,500, que es lo que sucedería si el azar tuviera un papel un poco mayor, y lo que también ocurre al usar el exponente de 1,83 (o cualquier exponente positivo menor que dos). Se pueden probar varios valores para esa constante para ver cuál se ajusta mejor a los datos reales.

El hecho de que el exponente más preciso para las fórmulas pitagóricas del béisbol sea una variable que depende del total de carreras por partido también se explica por el papel del azar, ya que cuantas más carreras se anoten, menos probable será que el resultado se deba al azar, en lugar de a la mayor calidad del equipo ganador manifestada durante las oportunidades de anotar. Cuanto mayor sea el exponente, más se alejará el resultado de la fórmula pitagórica correspondiente de un porcentaje de victorias del 50%, lo cual es el mismo efecto que produce una menor influencia del azar. Por lo tanto, el hecho de que las fórmulas precisas para exponentes variables produzcan exponentes mayores a medida que aumenta el total de carreras por partido concuerda con la comprensión del papel que desempeña el azar en los deportes.

En su obra Baseball Abstract de 1981, James desarrolló explícitamente otra de sus fórmulas, denominada fórmula log5 (que desde entonces ha demostrado ser empíricamente precisa), utilizando la noción de que dos equipos tienen un porcentaje de victorias en enfrentamientos directos proporcional a una medida de "calidad". Su medida de calidad era la mitad del "índice de victorias" del equipo (o "probabilidades de ganar"). El índice de victorias o las probabilidades de ganar son la relación entre las victorias del equipo contra la liga y sus derrotas contra la liga. [James no parecía ser consciente en ese momento de que su medida de calidad podía expresarse en términos del índice de victorias. Dado que en el modelo de calidad cualquier factor constante en una medida de calidad se cancela con el tiempo, hoy en día es mejor considerar la medida de calidad simplemente como el índice de victorias en sí mismo, en lugar de la mitad de este.] Luego afirmó que la fórmula pitagórica, que había desarrollado empíricamente con anterioridad para predecir el porcentaje de victorias a partir de las carreras, era "lo mismo" que la fórmula log5, aunque sin una demostración o prueba convincente. Su supuesta demostración de que eran lo mismo se redujo a mostrar que las dos fórmulas diferentes se simplificaban a la misma expresión en un caso particular, que a su vez se trata de forma vaga, sin reconocer que dicho caso particular no es el general. Tampoco promulgó posteriormente ningún modelo explícito, basado en la calidad, para la fórmula pitagórica. A fecha de 2013, todavía existe poca conciencia pública en la comunidad sabermétrica de que un modelo simple de "los equipos ganan en proporción a la calidad", utilizando la proporción de carreras como medida de calidad, conduce directamente a la fórmula pitagórica original de James.

En el resumen de 1981, James también afirma que primero intentó crear una fórmula "log5" utilizando simplemente los porcentajes de victorias de los equipos en lugar de las carreras en la fórmula pitagórica, pero que no arrojó resultados válidos. La razón, desconocida para James en ese momento, es que su formulación implica que la calidad relativa de los equipos viene dada por la proporción de sus porcentajes de victorias. Sin embargo, esto no puede ser cierto si los equipos ganan en proporción a su calidad, ya que un equipo con un porcentaje de victorias de .900 gana a sus oponentes, cuyo porcentaje de victorias general es aproximadamente de .500, en una proporción de 9 a 1, en lugar de la proporción de 9 a 5 de sus porcentajes de victorias de .900 a .500. El fracaso empírico de su intento lo llevó a su enfoque final, más indirecto (e ingenioso) y exitoso, para el log5, que aún utilizaba consideraciones de calidad, aunque sin apreciar completamente la simplicidad última del modelo y su aplicabilidad más general y verdadera similitud estructural con su fórmula pitagórica.

El ejecutivo deportivo estadounidense Daryl Morey fue el primero en adaptar la expectativa pitagórica de James al baloncesto profesional mientras era investigador en STATS, Inc. Descubrió que usar 13,91 para los exponentes proporcionaba un modelo aceptable para predecir los porcentajes de victorias y derrotas:

${\displaystyle \mathrm {Win\ Ratio} ={\frac {{\text{points for}}^{13.91}}{{\text{points for}}^{13.91}+{\text{points against}}^{13.91}}}.}$

El "Teorema de Pitágoras Modificado" de Daryl se publicó por primera vez en STATS Basketball Scoreboard, 1993–94 . ^{[ 10 ]}

El reconocido analista de baloncesto Dean Oliver también aplicó la teoría pitagórica de James al baloncesto profesional. El resultado fue similar.

Otro destacado estadístico de baloncesto , John Hollinger , utiliza una fórmula pitagórica similar, excepto que con 16,5 como exponente.

La fórmula también ha sido utilizada en la Liga Nacional de Fútbol Americano (NFL) por el sitio web y editor de estadísticas de fútbol Football Outsiders , donde se la conoce como proyección pitagórica .

La fórmula se utiliza con un exponente de 2,37 y proporciona un porcentaje de victorias proyectado. Este porcentaje se multiplica por 17 (el número de partidos jugados en una temporada de la NFL de 2021) para obtener un número proyectado de victorias. Este número proyectado, obtenido mediante la ecuación, se conoce como victorias pitagóricas.

${\displaystyle {\text{Pythagorean wins}}={\frac {{\text{points for}}^{2.37}}{{\text{points for}}^{2.37}+{\text{points against}}^{2.37}}}\times 17}$

La edición de 2011 del Football Outsiders Almanac ^{[ 11 ]} afirma: "Desde 1988 hasta 2004, 11 de los 16 Super Bowls fueron ganados por el equipo que lideró la NFL en victorias pitagóricas, mientras que solo siete fueron ganados por el equipo con la mayor cantidad de victorias reales. Los campeones del Super Bowl que lideraron la liga en victorias pitagóricas pero no en victorias reales incluyen a los Patriots de 2004 , los Ravens de 2000 , los Rams de 1999 y los Broncos de 1997 ".

Aunque Football Outsiders Almanac reconoce que la fórmula había tenido menos éxito al elegir participantes del Super Bowl entre 2005 y 2008, se reafirmó en 2009 y 2010. Además, "[l]a proyección pitagórica sigue siendo un predictor valioso de la mejora año tras año. Los equipos que ganan al menos un juego completo más que su proyección pitagórica tienden a retroceder al año siguiente; los equipos que ganan al menos un juego completo menos que su proyección pitagórica tienden a mejorar al año siguiente, particularmente si estaban en o por encima de .500 a pesar de su bajo rendimiento.

Por ejemplo, los New Orleans Saints de 2008 tuvieron un récord de 8-8 a pesar de 9.5 victorias pitagóricas, lo que sugiere la mejora que se produjo con la temporada del campeonato del año siguiente .

Los Minnesota Vikings de 2022 fueron una gran excepción en este sentido, con un récord de 13-4 a pesar de tener 8.4 victorias pitagóricas. ^{[ 12 ]} Dos años después, los Kansas City Chiefs de 2024 superaron esta discrepancia con un récord de 15-2 y un total de victorias pitagóricas de 10.2. ^{[ 13 ]}

En 2013, el estadístico Kevin Dayaratna y el matemático Steven J. Miller proporcionaron una justificación teórica para aplicar la esperanza pitagórica al hockey sobre hielo. En particular, descubrieron que, al hacer las mismas suposiciones que Miller hizo en su estudio de 2007 sobre béisbol, específicamente que los goles marcados y los goles recibidos siguen distribuciones de Weibull estadísticamente independientes , la esperanza pitagórica funciona igual de bien para el hockey sobre hielo que para el béisbol. El estudio de Dayaratna y Miller verificó la legitimidad estadística de hacer estas suposiciones y estimó que el exponente pitagórico para el hockey sobre hielo es ligeramente superior a 2. ^{[ 14 ]}

• Estadísticas de béisbol
• Sabermetría

• Miller (2007) [2005]. "Una derivación de la fórmula pitagórica de victorias y derrotas en el béisbol". Chance Magazine . 20 (1): 40– 48. arXiv : math.ST/0509698 . Bibcode : 2005math......9698M . doi : 10.1080/09332480.2007.10722831 . S2CID 8103486 . 
• Expectativa pitagórica actual de las Grandes Ligas de Béisbol.
• Ajustando el teorema de Pitágoras al fútbol