Denominadores de equilibrio

En matemáticas , el método de eliminar denominadores , también llamado eliminar fracciones , es una técnica para simplificar una ecuación que iguala dos expresiones que son sumas de expresiones racionales , incluidas las fracciones simples .

Consideremos la ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.}$

El múltiplo común más pequeño de los dos denominadores 6 y 15z es 30z , por lo que se multiplican ambos lados por 30z :

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

El resultado es una ecuación sin fracciones.

La ecuación simplificada no es del todo equivalente a la original. Porque cuando sustituimos y = 0 y z = 0 en la última ecuación, ambos lados se simplifican a 0, por lo que obtenemos 0 = 0 , una verdad matemática. Pero la misma sustitución aplicada a la ecuación original da como resultado x /6 + 0/0 = 1 , lo cual carece de sentido matemático .

Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que el lado derecho de la ecuación es 0, ya que una ecuación E ₁ = E ₂ puede reescribirse equivalentemente en la forma E ₁ − E ₂ = 0 .

Entonces, supongamos que la ecuación tiene la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

El primer paso es determinar un denominador común D de estas fracciones, preferiblemente el mínimo común denominador , que es el mínimo común múltiplo de Q _i .

Esto significa que cada Q _i es un factor de D , por lo que D = R _i Q _i para alguna expresión R _i que no sea una fracción. Entonces

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,}$

siempre que R _i Q _i no tome el valor 0, en cuyo caso D también es igual a 0.

Así que ahora tenemos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

Siempre que D no tome el valor 0, la última ecuación es equivalente a

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,}$

en las que los denominadores han desaparecido.

Como lo demuestran las advertencias, hay que tener cuidado de no introducir ceros de D – vistos como una función de las incógnitas de la ecuación – como soluciones espurias .

Consideremos la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.}$

El mínimo común denominador es x ( x + 1)( x + 2) .

Siguiendo el método descrito anteriormente se obtiene

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

Simplificando aún más esto obtenemos la solución x = −3 .

Se puede comprobar fácilmente que ninguno de los ceros de x ( x + 1)( x + 2) – es decir, x = 0 , x = −1 , y x = −2 – es una solución de la ecuación final, por lo que no se introdujeron soluciones espurias.

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Álgebra: Nivel principiante e intermedio (3.ª  ed.). Cengage Learning. pág.  88. ISBN 978-1-133-70939-8.