Vectores Q

Los vectores Q se utilizan en la dinámica atmosférica para comprender procesos físicos como el movimiento vertical y la frontogénesis . No son magnitudes físicas medibles en la atmósfera, sino que se derivan de las ecuaciones cuasi-geostróficas y se emplean en situaciones de diagnóstico previas. En los mapas meteorológicos, los vectores Q indican movimiento ascendente y se alejan del movimiento descendente. Los vectores Q constituyen una alternativa a la ecuación omega para diagnosticar el movimiento vertical en las ecuaciones cuasi-geostróficas.

Derivada por primera vez en 1978, ^{[ 1 ]} la derivación del vector Q se puede simplificar para las latitudes medias, utilizando las ecuaciones de predicción cuasi-geostróficas del plano β de latitud media: ^{[ 2 ]}

1. ${\displaystyle {\frac {D_{g}u_{g}}{Dt}}-f_{0}v_{a}-\beta yv_{g}=0}$(componente x de la ecuación de momento cuasi-geostrófico)
2. ${\displaystyle {\frac {D_{g}v_{g}}{Dt}}+f_{0}u_{a}+\beta yu_{g}=0}$(componente y de la ecuación de momento cuasi-geostrófico)
3. ${\displaystyle {\frac {D_{g}T}{Dt}}-{\frac {\sigma p}{R}}\omega ={\frac {J}{c_{p}}}}$(ecuación termodinámica cuasi geostrófica)

Y las ecuaciones del viento térmico :

${\displaystyle f_{0}{\frac {\partial u_{g}}{\partial p}}={\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial y}}}$(componente x de la ecuación del viento térmico)

${\displaystyle f_{0}{\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}=-{\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial x}}}$(componente y de la ecuación del viento térmico)

dónde${\displaystyle f_{0}}$es el parámetro de Coriolis , aproximado por la constante 1e ⁻⁴ s ⁻¹ ;${\displaystyle R}$es la constante atmosférica de los gases ideales ;${\displaystyle \beta }$es el cambio latitudinal en el parámetro de Coriolis${\displaystyle \beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}}$;${\displaystyle \sigma }$es un parámetro de estabilidad estática;${\displaystyle c_{p}}$es el calor específico a presión constante;${\displaystyle p}$es presión;${\displaystyle T}$es la temperatura; cualquier cosa con un subíndice${\displaystyle g}$indica geostrófico ; todo lo que tenga un subíndice${\displaystyle a}$indica ageostrófico ;${\displaystyle J}$es una tasa de calentamiento diabático; y${\displaystyle \omega }$es la tasa de cambio lagrangiana de la presión con el tiempo.${\displaystyle \omega ={\frac {Dp}{Dt}}}$. Tenga en cuenta que, debido a que la presión disminuye con la altura en la atmósfera, un valor negativo de${\displaystyle \omega }$es un movimiento vertical ascendente, análogo a${\displaystyle +w={\frac {Dz}{Dt}}}$.

A partir de estas ecuaciones podemos obtener expresiones para el vector Q:

${\displaystyle Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]}$

Y en forma vectorial:

${\displaystyle Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial x}}\cdot {\vec {\nabla }}T}$

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial y}}\cdot {\vec {\nabla }}T}$

Sustituyendo estas ecuaciones del vector Q en la ecuación omega cuasi-geostrófica se obtiene:

${\displaystyle \left(\sigma {\overrightarrow {\nabla ^{2}}}+f_{\circ }^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial p^{2}}}\right)\omega =-2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}+f_{\circ }\beta {\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}-{\frac {\kappa }{p}}{\overrightarrow {\nabla ^{2}}}J}$

Si las segundas derivadas se aproximan como un signo negativo, como ocurre con una función sinusoidal, lo anterior en un contexto adiabático puede considerarse una afirmación sobre el movimiento ascendente:

${\displaystyle -\omega \propto -2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}}$

Al expandir el lado izquierdo de la ecuación omega cuasi-geostrófica en una serie de Fourier se obtiene:${\displaystyle -\omega }$arriba, lo que implica que un${\displaystyle -\omega }$Se puede asumir una relación con el lado derecho de la ecuación omega cuasi-geostrófica .

Esta expresión muestra que la divergencia del vector Q (${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}}$) está asociado con el movimiento descendente. Por lo tanto, convergente${\displaystyle {\vec {Q}}}$fuerzas ascendentes y divergentes${\displaystyle {\vec {Q}}}$Las fuerzas descienden. ^{[ 3 ]} Los vectores Q y todo el flujo ageostrófico existen para preservar el equilibrio del viento térmico . Por lo tanto, los vectores Q de bajo nivel tienden a apuntar en la dirección de los vientos ageostróficos de bajo nivel. ^{[ 4 ]}

Los vectores Q se pueden determinar completamente con: altura geopotencial (${\displaystyle \Phi }$) y temperatura en una superficie de presión constante. Los vectores Q siempre apuntan en la dirección del aire ascendente. Para un ciclón y anticiclón idealizados en el hemisferio norte (donde${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial y}}<0}$), los ciclones tienen vectores Q que apuntan paralelos al viento térmico y los anticiclones tienen vectores Q que apuntan antiparalelos al viento térmico. ^{[ 5 ]} Esto significa movimiento ascendente en el área de advección de aire cálido y movimiento descendente en el área de advección de aire frío.

En la frontogénesis , los gradientes de temperatura deben estrecharse para que se inicie. En esas situaciones, los vectores Q apuntan hacia el aire ascendente y los gradientes térmicos cada vez más estrechos. ^{[ 6 ]} En áreas de vectores Q convergentes, se crea vorticidad ciclónica , y en áreas divergentes, se crea vorticidad anticiclónica. ^{[ 1 ]}