q - Símbolo de Pochhammer

En el campo matemático de la combinatoria , el símbolo q -Pochhammer , también llamado factorial q -desplazado , es el producto $${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$ con${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$ Es un análogo q del símbolo de Pochhammer.${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$, en el sentido de que $${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=x^{(n)}.}$$ El símbolo q -Pochhammer es un componente fundamental en la construcción de q -análogos; por ejemplo, en la teoría de series hipergeométricas básicas , desempeña el papel que el símbolo Pochhammer ordinario desempeña en la teoría de series hipergeométricas generalizadas .

A diferencia del símbolo de Pochhammer ordinario, el símbolo q -Pochhammer se puede extender a un producto infinito : $${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$ Esta es una función analítica de q en el interior del disco unitario , y también puede considerarse como una serie de potencias formal en q . El caso especial $${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$ Se la conoce como la función de Euler y es importante en combinatoria , teoría de números y teoría de formas modulares .

El producto finito puede expresarse en términos del producto infinito: $${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$ lo que extiende la definición a enteros negativos n . Por lo tanto, para n no negativo , se tiene $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$ y $${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$ Alternativamente, $${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$ lo cual resulta útil para algunas de las funciones generadoras de funciones de partición.

El símbolo q -Pochhammer es el objeto de varias identidades de series q , en particular las expansiones en series infinitas.$${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$ y $${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$ que son ambos casos especiales del teorema q -binomial : $${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$Fridrikh Karpelevich encontró la siguiente identidad (véase Olshanetsky y Rogov ( 1995 ) para la demostración):  $${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$$

El símbolo q -Pochhammer está estrechamente relacionado con la combinatoria enumerativa de particiones. El coeficiente de${\displaystyle q^{m}a^{n}}$en $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$ es el número de particiones de m en como máximo n partes. Dado que, por conjugación de particiones, esto es lo mismo que el número de particiones de m en partes de tamaño como máximo n , por identificación de series generadoras obtenemos la identidad $${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$ como en la sección anterior.

También tenemos que el coeficiente de${\displaystyle q^{m}a^{n}}$en $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$ es el número de particiones de m en n o n -1 partes distintas.

Al eliminar una partición triangular con n − 1 partes de dicha partición, nos queda una partición arbitraria con como máximo n partes. Esto da una biyección que conserva el peso entre el conjunto de particiones en n o n − 1 partes distintas y el conjunto de pares que consisten en una partición triangular con n − 1 partes y una partición con como máximo n partes. Al identificar series generadoras, esto conduce a la identidad $${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$ También se describe en la sección anterior. El recíproco de la función${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$de manera similar surge como la función generadora para la función de partición ,${\displaystyle p(n)}$, que también se expande mediante las dos últimas expansiones de la serie q que se dan a continuación: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

El teorema q -binomial en sí también puede ser tratado mediante un argumento combinatorio un poco más complejo de un tipo similar (véanse también las expansiones que se dan en la siguiente subsección ).

Similarmente, $${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

Dado que las identidades que involucran símbolos q -Pochhammer con tanta frecuencia implican productos de muchos símbolos, la convención estándar es escribir un producto como un solo símbolo de múltiples argumentos: $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

Una serie q es una serie en la que los coeficientes son funciones de q , típicamente expresiones de${\displaystyle (a;q)_{n}}$. ^{[ 2 ]} Los primeros resultados se deben a Euler , Gauss y Cauchy . El estudio sistemático comienza con Eduard Heine (1843). ^{[ 3 ]}

El q -análogo de n , también conocido como el q- corchete o q -número de n , se define como $${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$ A partir de esto se puede definir el q- análogo del factorial , el q -factorial , como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

Estos números son análogos en el sentido de que $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$ y también $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

El valor límite n ! cuenta las permutaciones de un conjunto S de n elementos . De forma equivalente, cuenta el número de secuencias de conjuntos anidados.${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$de tal manera que${\displaystyle E_{i}}$contiene exactamente i elementos. ^{[ 4 ]} En comparación, cuando q es una potencia prima y V es un espacio vectorial n- dimensional sobre el campo con q elementos, el q -análogo${\displaystyle [n]!_{q}}$es el número de banderas completas en V , es decir, es el número de secuencias${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$de subespacios tales que${\displaystyle V_{i}}$tiene dimensión i . ^{[ 4 ]} Las consideraciones anteriores sugieren que se puede considerar una secuencia de conjuntos anidados como una bandera sobre un campo conjetural con un elemento .

Un producto de q -paréntesis de enteros negativos se puede expresar en términos del q -factorial como $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los coeficientes q- binomiales, también conocidos como coeficientes binomiales gaussianos , como $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

donde es fácil ver que el triángulo de estos coeficientes es simétrico en el sentido de que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

a pesar de${\displaystyle 0\leq m\leq n}$. Uno puede comprobar que

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

También se puede observar a partir de las relaciones de recurrencia anteriores que las siguientes variantes de la${\displaystyle q}$-El teorema binomial se expande en términos de estos coeficientes de la siguiente manera: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

Se pueden definir además los coeficientes q -multinomiales.$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$ donde los argumentos${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$son enteros no negativos que satisfacen${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$El coeficiente anterior cuenta el número de banderas. ${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ de subespacios en un espacio vectorial n -dimensional sobre el campo con q elementos tales que${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$.

El límite${\displaystyle q\to 1}$da el coeficiente multinomial habitual${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$, que cuenta palabras en n símbolos diferentes${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$de tal manera que cada${\displaystyle s_{i}}$aparece${\displaystyle k_{i}}$veces.

También se obtiene un análogo q de la función gamma , llamado función q-gamma , y ​​definido como $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$ Esto converge a la función gamma usual cuando q se aproxima a 1 desde el interior del disco unitario. Nótese que $${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$ para cualquier x y $${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$ para valores enteros no negativos de n . Alternativamente, esto puede tomarse como una extensión de la función q -factorial al sistema de números reales .

• Lista de análogos q
• Series hipergeométricas básicas
• Función gamma elíptica
• función theta de Jacobi
• Serie Lambert
• Teorema del número pentagonal
• q -derivada
• función q -theta
• q - Identidad de Vandermonde
• Identidades Rogers-Ramanujan
• Fracción continua de Rogers-Ramanujan

• George Gasper y Mizan Rahman , Series hipergeométricas básicas, 2.ª edición , (2004), Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek y Rene F. Swarttouw, El esquema Askey de polinomios ortogonales y sus q-análogos , sección 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• MA Olshanetsky y VBK Rogov (1995), Las funciones q-Bessel modificadas y las funciones q-Bessel-Macdonald, arXiv:q-alg/9509013.

• Weisstein, Eric W. " q -Análogo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Bracket" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Factorial" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. " q -Coeficiente Binomial" . MathWorld .